I vettori - 1
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1
I vettori
Un uomo parte da una casa e cammina
per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7
km a SE.
In che direzione deve muoversi, e per che
distanza deve camminare per tornare
alla stessa casa?
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I vettori

Anzitutto determiniamo le coordinate
dei punti raggiunti

Attenzione alle cifre significative...
O   0, 0 0, 0  P1   0, 0 4, 0 
P2   3,5 4, 0  P3   ? ? 

Abbiamo bisogno di un formalismo più
completo: il formalismo vettoriale
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I vettori

Definiamo i vettori spostamento
S1  (0, 0 4, 0)
S2  (3,5 0, 0)
 2, 7
S3  
 2

2, 7 

  1,9  1,9 
2
Lo spostamento finale è la somma dei tre
(testa coda…)
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I vettori

In totale S  S1  S 2  S3 
 0, 0  3,5  1,9
 5, 4 2,1
4, 0  0, 0  1,9  

Per tornare alla casa lo spostamento necessario

Con modulo S 
S   5, 4  2,1
 5, 4   2,1
2
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 5,8 km
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I vettori


In che direzione?
Questo ci porta di nuovo ai sistemi di
coordinate
Come misuriamo gli angoli?
Rispetto a cosa?
In che senso: orario o antiorario?
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I vettori


Non è immediato passare dalle coordinate
cartesiane a quelle polari!
Nel nostro caso
Sy
2,1
  arctan  arctan
 21, 2
Sx
5, 4
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I vettori

Ed in definitiva…  180  21, 2  201, 2



A partire da e, in senso antiorario
Fate sempre molta attenzione a quando
calcolate angoli
Gli schizzi aiutano molto
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I vettori
Calcoliamo il prodotto scalare fra i
vettori
v1  1,5 2,3 v 2   2,5 4,3
E quindi i loro moduli e l’angolo
compreso fra di essi.
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I vettori

La definizione ci dà subito
v1 v2  1,5  2,5  2,3  4,3  13,6

I moduli dei vettori si calcolano come
prodotti scalari dei vettori per sé stessi
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I vettori

Dunque: v1 v 2  1,5  2,3  2, 75
2
2
v1 v 2  2,5  4,3  4,97
2


2
Ricordiamo ora che il prodotto scalare si
può anche scrivere come
…E da questa relazione possiamo
calcolarci l’angolo! v1 v2  v1v2 cos12
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I vettori

Riprendiamo… v1 v2  v1v2 cos12
v1 v 2
14, 2
cos 12 

 0,998
v1v2
2, 75  4,97
12  3, 6

Notate che i calcoli intermedi sono stati
effettuati con più cifre significative, mentre il
risultato è stato espresso con sole due cifre
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I vettori
Determinare le componenti del
vettore prodotto esterno dei due
vettori
v1  1,5 2,3 0 v2   4,3 2,5 0 
Inoltre determinare il suo modulo,
verificare che esso è
perpendicolare ai due vettori dati
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I vettori

Calcoliamo le componenti del vettore
con il calcolo del determinante
xˆ
yˆ zˆ
V  v1  v 2  1,5 2,3 0 
4,3 2,5 0
 xˆ  2,3  0  0  2,5  yˆ 1,5  0  0  4,3 
zˆ 1,5  2,5  2,3  4,3
 6,14 zˆ
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I vettori


Il suo modulo è uguale alla sua
componente z (unica diversa da zero)
Il prodotto scalare con i vettori
componenti è nullo quindi il vettore è
sicuramente perpendicolare ai vettori
componenti
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I vettori
Siano dati i vettori
A   3 4 0 B   1 3 2
Trovare la componente di A nella
direzione di B.
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I vettori
 1 
 
A B   3 4 0   3 
 2 
 
  3 1   4  3   1 0   15
1

 1  

 
B   1 3 2   3    14  3, 74



 Fisica 
2
Marina Cobal
- Dipt.di


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I vettori

Infine
A B 15
AB 

 4,01
B
3,74
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I vettori
Dati tre vettori A   3  2 2 
B  1 0 4 
C   2  3 0
calcolare
A B  C 
A  B  C
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I vettori


Anzitutto calcoliamo il prodotto esterno
 xˆ yˆ zˆ 


B  C   1 0 4   12 8 3
 2 3 0 


quindi (il risultato è uno scalare…)
 12 
 
A B  C    3 2 2   8   14
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - 3 
 
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I vettori
Ed il secondo prodotto (doppio prodotto
vettore)
zˆ 
 xˆ yˆ


A  B  C    3 2 2    10 33 48
12 8 3 




Notate che non vale la proprietà
associativa! A  B  C   A  B  C
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I vettori

E come calcolereste
 A B  C
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?
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