Il prodotto scalare
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Vettori
il prodotto scalare

Attenzione: il nome di “prodotto” può
trarre in inganno

Si tratta di sempre operazioni nuove, su enti
nuovi, le cui proprietà vengono definite caso
per caso


Ci sono solo analogie superficiali col prodotto fra
numeri reali!
Definizione
v w  vx wx  v y wy  vz wz
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Vettori
il prodotto scalare

Il risultato è uno scalare

Numero indipendente dal sistema di
riferimento!


La dimostrazione è un po’ lunga e non la
facciamo
Comunque il prodotto scalare fornisce
un
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Vettori
il prodotto scalare
numero indipendente
dal sistema di
riferimento

È detto prodotto scalare o interno

Inner product, dot product
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Vettori
il prodotto scalare

Si dà significato al prodotto scalare di
un vettore per sé stesso
v2  v v  vx2  vy2  vz2

Questo è detto il quadrato del vettore
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Vettori
il prodotto scalare

Si definisce come modulo del vettore il
numero
v  v v  v v v
2
x

2
y
2
z
Attenzione: non confondete un vettore
col suo modulo!

Questa è una ragione per cui i vettori vengono
segnalati in modo tipograficamente diverso
dacli scalari o dai numeri in generale
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Vettori
il prodotto scalare

Un vettore con modulo unitario viene
detto versore
V̂
unit vector


Viene indicato con un simbolo che lo
distingue


Di solito
Prendiamo ora un vettore generico...
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Vettori
il prodotto scalare


v

v

x
Dato un vettore

Calcolare il suo modulo

Definire il vettore
vy
vz  potremo
v  v  vx2  v y2  vz2
v  vx
vˆ   
v v
vy
v
Per definizione questo ha modulo unitario
vz 

v
vˆ  1
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Vettori
il prodotto scalare

Chiameremo questo vettore un versore, e
precisamente il versore del vettore v


Unit vector in inglese
Quindi il vettore potrà essere scritto
sempre come
v  v vˆ  v vˆ
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Vettori
il prodotto scalare

Sono importanti i versori degli assi coordinati

xˆ  1 0 0   ˆi

ˆ
ˆ
y

0
1
0

j



ˆ
ˆ
z

0
0
1

k



Ogni vettore può sempre essere scritto come
V  Vx xˆ  Vy yˆ  Vz zˆ
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Ecco i versori coordinati
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Vettori
il prodotto scalare

Vediamo ora il significato geometrico
del prodotto scalare


Mettiamoci in 2D
Scegliamo un sistema di riferimento
speciale
V  V
0   V xˆ  0 yˆ

Dato che si tratta di vettori…
W  Wx Wy   Wx xˆ  Wy yˆ
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W
q
V
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Vettori
il prodotto scalare

Calcoliamo il prodotto scalare
V W  VxWx  VyWy  V Wx

E quindi
V W V
W W
2
y
W W
2
y
2
x
2
x
Wx  V W
Wx
W W
2
x
2
y
 V W cosqVW
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Vettori
il prodotto scalare

Attenzione: è il prodotto dei moduli per il
coseno dell’angolo compreso...

Se usiamo l’interpretazione tramite “freccette”

Utile, però da prendere con le molle…
…non il modulo del primo per la componente
del secondo nella direzione del primo


Questione
E perché non viceversa?
NON banale

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La ritroveremo!
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Vettori
il prodotto scalare

Proprietà del prodotto scalare




Commutativa
Distributiva rispetto alla somma di vettori
NON associativa!
Attenzione: il prodotto scalare viene
definito solo fra DUE operandi!

Ecco una differenza dal prodotto numerico!
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Vettori
il prodotto scalare


Ogni vettore si può sempre scrivere
come
V  Vx xˆ  Vy yˆ  Vz zˆ
Notate che

V xˆ  Vx
Etc...
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Vettori
il prodotto scalare
Dato il significato geometrico V W  VW cosq
applichiamolo ad un versore generico e ad un
versore fondamentale

ˆ xˆ  V
ˆ xˆ cosq  cosq
V
x
LE COMPONENTI DI UN VERSORE
SONO I COSENI DEGLI ANGOLI
FRA IL VERSORE E L’ASSE
CORRISPONDENTE
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Ecco gli angoli in questione
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Vettori
il prodotto scalare

Si chiamano
COSENI DIRETTORI
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