Dinamica dei fluidi
Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine
1
Caratteristiche di un fluido
In generale:
FLUIDO à sostanza senza “forma” propria
(assume la forma del recipiente che la contiene)
à liquidoà volume limitato dalla superficie libera
gas à diffusione nell’intero volume disponibile
Un fluido puo’ essere:
omogeneo à caratteristiche fisiche costanti
per qualsiasi volume
disomogeneoà caratteristiche fisiche non costanti
Sangue
Es.
sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche
Marina Cobal - Dipt.di Fisica omogeneo a livello macroscopico,
disomogeneo a livello microscopico2
Universita' di Udine
Portata di un fluido
volume di liquido
portata =
intervallo di tempo
Q= V/∆t
m3/s
SI
cgs
pratico
m3/s cm3/s l/min
V
∆t
Portata del sangue:
Es.
5 l/min = (5000 cm 3)/(60 s) = 83.33 cm 3/s
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3
Moto in un condotto
Tipo di moto:
stazionario à portata costante nel tempo
pulsatile
à portata variabile in modo periodico
Tipo di condotto:
rigido
à non cambia forma sotto qualunque forza
deformabile à cambia forma sotto una forza
à deformaz.elastica
à deformaz.non elastica à arterie e vene
ideale
reale
Tipo di fluido:
à senza attriti (non viscoso)
àMarina
conCobal
attriti
(viscoso)
- Dipt.di Fisica
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4
Flusso Laminare e Turbolento
n
Flusso laminare:
n
n
n
Gli elementi di fluido si muovono su traiettorie che non si
intersecano
L’ attrito nei flussi laminari e’ detto viscosita’
Flusso turbolento
n
n
Traiettorie irregolari
Si verifica in presenza di gradienti elevati (alte velocita’ o
tubi piccoli)
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Regime laminare
Modello di liquido come
lamine che scorrono
le une sulle altre
A
→
v2
δ
→
v1
Forza di attrito:
si oppone al moto à FA ∝ - v
→
FA
A
→
= – η Av
δ
v=v1-v 2 = velocita’ relativa tra lamine
A
= area lamine
δ
= distanza tra lamine
- Dipt.di Fisica - di viscosita’
η Marina=Cobal
coefficiente
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Moto in regime laminare
Condizione per il moto
di un liquido:
differenza di pressione
π r4 (p – p )
Q=
1
2
8ηh
La portata è direttamente proporzionale
alla differenza di pressione
asse del
condotto
→
v
Q
p1
p1 > p2
h
Q ∝ ∆p
Q = ∆p/R
La velocità è maggiore
al centro del condotto
(profilo parabolico)
Il moto
è Cobal
silenzioso
Marina
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p2 r
Resistenza meccanica
di un condotto
dipende da:
raggio-lunghezza del tubo
viscosità del liquido
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Regime turbolento
Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica,
il modello laminare non funziona più:
il moto si fa disordinato, si creano vortici.
v>vc
velocità critica
La portata non è più direttamente proporzionale
alla differenza di pressione
Q ∝ ∆p
Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore!
La velocità non ha più un profilo regolare
Marina
- Dipt.di Fisica Il moto
è Cobal
rumoroso
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Moto dei fluidi: sintesi
MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE
e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO
approx.
iniziale
REGIME LAMINARE
v > vc
- lamine e profilo velocità parabolico
- Q ∝ ∆p
- silenzioso (conservazione dell’energia)
REGIME TURBOLENTO
- vortici
- Q ∝ ∆p
dissipazione
di energia
per attrito)
- rumoroso (alta
Marina
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Fluidi Ideali
Flusso laminare
n Velocita’ in un qualsiasi punto costante. Non ci
sono turbolenze
n Non-viscoso
n Non ci sono attriti tra gli strati di fluido
nIncompressibile
n La densita’ e’ la stessa dappertutto
n Flusso non-rotazionale: non c’e’ un flusso a
traiettoria circolare (quindi:
flusso non turbolento)
Marina Cobal - Dipt.di Fisica n
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Linee di flusso
Linea di flusso: traiettoria seguita da una
particella nel condotto
Il vettore velocita’ della particella e’ sempre
tangente alla linea di flusso.
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Sistema circolatorio - 1
POLMONI
pressione media
(nel tempo)
VENA
CAVA
AORTA
CUORE
valvole
ARTERIE
VENE
ARTERIOLE
VENULE
CAPILLARI Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine
velocità media
(nel tempo)
AORTA
ARTERIE
ARTERIOLE
CAPILLARI
VENULE
VENE
VENA CAVA
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Sistema circolatorio - 2
4
mmHg
100
mmHg
CUORE
AD VD
25
mmHg
5 litri/
min
Circuito
chiuso
AS VS
8
mmHg
5 litri/
min
POLMONI
GRANDE CIRCOLO
10
mmHg
40
mmHg
CAPILLARI
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Portata
costante
(no immissioni,
no fuoruscite)
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Sistema circolatorio – 3
pressione media (nel tempo)
velocità media (nel tempo)
CUORE
AORTA
ARTERIE
ARTERIOLE
CAPILLARI
VENULE
VENE
VENA CAVA
deve sempre diminuire
diminuisce poi aumenta
velocità media
pressione media
(cm/s)
(mmHg)
50÷40
100
100÷40
40÷10
10÷0.1
40÷25
<0.1
25÷12
12÷8
<0.3
8÷3
0.3÷5
5÷25
2
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Equazione di continuita’ - 1
Q = costante
nel tempo
in ogni sezione
senza SORGENTI
senza BUCHI
MOTO STAZIONARIO
v ∆t
v'∆t
S
v
v'
Nello stesso intervallo di tempo ∆t:
S'
Sv∆t = S’v’∆t
Q = V = S v ∆t = S v = costante
∆t
∆t
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Equazione di continuita’
Si consideri un tubo di flusso:
Fluido incomprimibile: in un piccolo intervallo
di tempo ∆t, il volume di fluido che passa
attraverso A1, A1v1∆t, e’ pari al volume di fluido
che passa attraverso A2, A2v2 ∆t
A1v1 = A2 v 2
O:
Conservazione
massa
R = Av = costante
R: flusso volumico [m3/s]
Alta densita’ di linee
di flusso (piccolo A)
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Equazione di
continuita’
Alta velocita’
del fluido (v)
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Equazione di continuita’ - 2
Se il condotto si apre in piu’ diramazioni,
bisogna considerare la superficie totale.
A
C
B
Q = 100
cm3/s
S3 = 0.5 cm2
S2 = 1.25 cm2
S1 = 5 cm2
S1 = 5 cm2
v1 = 20 cm/s
S2 = 1.25 cm2
v2 = 80 cm/s
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S3 = 2.5 cm2
v3 = 40 cm/s
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Velocita’ del sangue - 1
4 miliardi
160
140mila
cm2
300 milioni
200
ARTERIE
VENE
ARTERIOLE
VENULE
5000
4000
3000
2000
1000
S totale
4500+
25
400
cm2
4000
60
CAPILLARI
Paradossalmente,
al contrario di quanto
prevederebbe l’equazione
di continuita’, la velocita’
e’ bassissima nei capillari
perche’ il loro numero e’
altissimo!
cm/s
v
50
40
30
20
10
CAPILLARI
VENE
ARTERIE
ARTERIOLE
VENULE
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5000
4000
3000
2000
1000
cm/s
50
40
30
20
10
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Velocita’ del sangue - 2
Portata del sangue:
Es.
Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s
Es.
Velocita’ del sangue nei vari distretti:
AORTA (r=0.8 cm)
ARTERIOLE
CAPILLARI
VENA CAVA (r=1.1 cm)
S = π r2 ≈ 2 cm2
S ≈ 400 cm2
S ≈ 4000 cm2
S = π r2 ≈ 4 cm2
v = Q/S ≈
v = Q/S ≈
v = Q/S ≈
v = Q/S ≈
40 cm/s
0.2 cm/s
0.02 cm/s
20 cm/s
La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette
gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita.
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Equazione di Bernoulli
1 2
P + ρv + ρgy = costante
2
n
Contenuto fisico:
La somma della pressione, dell’energia
cinetica per unita’ di volume e della
energia potenziale per unita’ di volume
ha lo stesso valore in tutti I punti di una
linea di flusso.
How can we
derive this?
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20
F = p ⋅ ∆A =
Equazione di Bernoulli
p
∆V
∆L
∆m = ρ∆V
Considerate un elemento di massa ∆m = θ∆V
che passa attraverso un tubo. Si applichi il
principio di conservazione dell’energia del fluido
ai punti 1 e 2
1
1
2
F1∆L1 + ∆mv1 + ∆mgh1 = F2 ∆L2 + ∆mv 22 + ∆mgh2
2
2
Lavoro
Cinetico
Potenziale
1
2
p + ρ v + ρ gh = constant
2
Equazione
di Bernoulli
A livello costante,
Velocita’ piu’ alta
Pressione piu’ bassa
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Derivazione
equazione
Bernoulli
Physical basis: Work-energy relation
All together now:
With
We get:
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Un esempio
Si consideri una tanica di acqua che presenta un
foro sul lato a distanza h dalla superficie.
Si assuma che la tanica sia grande abbastanza che
la superficie libera dell’ acqua risulti ferma.
Le pressioni alla superficie ed al foro sono p0:
1 2
ρvh + ρgyh = ρgy s
2
vh = 2 g ( y s − y h ) = 2 gh
p+
1 2
ρv + ρgh = const.
2
E’ la stessa velocita’ di un oggetto che cade nel vuoto
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Tre nuovi termini
•Viscosita’
•Diffusione
•Osmosi
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Viscosita’
Av
F=η
d
La viscosita’ si riferisce all’
attrito tra strati adiacenti di
fluido
nE’ richiesto un calo di
pressione per forzare il
passaggio dell’acqua
attraverso I tubi (legge di
Poiselle’s)
nA velocita’ sufficientemente
Marina Cobal - Dipt.di Fisica grandi si creano turbolenzeUniversita' di Udine
n
25
Viscosita’
η coefficiente di viscosità
→
FA
→
Unita’ di misura cgs:
poise = g/(s• cm)
= – η Av
δ
La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura.
Acqua
Es.
a 0o ηacqua = 0.0178 poise
Sangue
a 20o η acqua = 0.0100 poise
Plasma à ηplasma = 1.5 η acqua
Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% à ηsangue = 5 η
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acqua
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Diffusione
n
n
n
Le molecole si muovono dalle regioni a piu’ alta
concentrazione alle regioni a bassa concentrazione.
Massa
 C2 − C1 
Legge di Fick: Rate di diffusione = Tempo = DA L 


D = coefficiente
di diffusione
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Osmosi
n
L’ Osmosi e’ il moto dell’acqua
attraverso un setto, che invece
impedisce il passaggio di altre specifich
molecole, come per esempio sali etc…
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Osmosi
nPressione
osmotica: spinge
l’acqua (solvente) dal lato
della membrana in cui vi sono
più soluti (ioni/biomolecole)
rispetto che acqua.
L’osmosi di acqua non è
“diffusione” ma “pressione”
perché non dipende dalla
concentrazione assoluta di
acqua ma da quella dei soluti
rispetto all’acqua
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