Dinamica dei fluidi Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 1 Caratteristiche di un fluido In generale: FLUIDO sostanza senza “forma” propria (assume la forma del recipiente che la contiene) liquido volume limitato dalla superficie libera gas diffusione nell’intero volume disponibile Un fluido puo’ essere: omogeneo caratteristiche fisiche costanti per qualsiasi volume disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti Sangue Es. sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche Marina Cobal - Dipt.di Fisica - a livello microscopico omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo Universita' di Udine 2 Portata di un fluido volume di liquido portata = intervallo di tempo Q= V/Dt m3/s SI cgs pratico m3/s cm3/s l/min V Dt Portata del sangue: Es. 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 3 Moto in un condotto Tipo di moto: stazionario portata costante nel tempo pulsatile portata variabile in modo periodico Tipo di condotto: rigido non cambia forma sotto qualunque forza deformabile cambia forma sotto una forza deformaz.elastica deformaz.non elastica arterie e vene Tipo di fluido: ideale reale senza attriti (non viscoso) Marina conCobal attriti (viscoso) - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 4 Flusso Laminare e Turbolento Flusso laminare: Gli elementi di fluido si muovono su traiettorie che non si intersecano L’ attrito nei flussi laminari e’ detto viscosita’ Flusso turbolento Traiettorie irregolari Si verifica in presenza di gradienti elevati (alte velocita’ o tubi piccoli) Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 5 Regime laminare Modello di liquido come lamine che scorrono le une sulle altre A v2 d v1 Forza di attrito: si oppone al moto FA - v FA A =–hAv d v=v1-v2 = velocita’ relativa tra lamine A = area lamine d = distanza tra lamine - Dipt.di Fisica - di viscosita’ h Marina=Cobal coefficiente Universita' di Udine 6 Moto in regime laminare Condizione per il moto di un liquido: differenza di pressione p r4 (p – p ) Q= 1 2 8hh La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione asse del condotto v Q p1 p2 r p1 > p2 h Q Dp Q = Dp/R Resistenza meccanica di un condotto La velocità è maggiore al centro del condotto dipende da: raggio-lunghezza del tubo (profilo parabolico) viscosità del liquido Il moto è Cobal silenzioso Marina - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 7 Regime turbolento Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica, il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si creano vortici. v>vc velocità critica La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q Dp Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore! La velocità non ha più un profilo regolare Marina - Dipt.di Fisica Il moto è Cobal rumoroso Universita' di Udine 8 Moto dei fluidi: sintesi MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO approx. iniziale REGIME LAMINARE v > vc - lamine e profilo velocità parabolico - Q Dp - silenzioso (conservazione dell’energia) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q Dp dissipazione di energia per attrito) - rumoroso (alta Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 9 Fluidi Ideali Flusso laminare Velocita’ in un qualsiasi punto costante. Non ci sono turbolenze Non-viscoso Non ci sono attriti tra gli strati di fluido Incompressibile La densita’ e’ la stessa dappertutto Flusso non-rotazionale: non c’e’ un flusso a traiettoria circolare (quindi: flusso non turbolento) Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 10 Linee di flusso Linea di flusso: traiettoria seguita da una particella nel condotto Il vettore velocita’ della particella e’ sempre tangente alla linea di flusso. Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 11 Sistema circolatorio - 1 POLMONI pressione media (nel tempo) VENA CAVA AORTA CUORE valvole ARTERIE VENE ARTERIOLE VENULE CAPILLARI Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine velocità media (nel tempo) AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA 12 Sistema circolatorio - 2 4 mmHg 100 mmHg CUORE AD VD 25 mmHg 5 litri/ min Circuito chiuso AS VS 8 mmHg 5 litri/ min POLMONI GRANDE CIRCOLO 10 mmHg 40 mmHg CAPILLARI Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine Portata costante (no immissioni, no fuoruscite) 13 Sistema circolatorio – 3 pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) CUORE AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA velocità media (cm/s) deve sempre diminuire diminuisce poi aumenta pressione media (mmHg) 5040 4010 100.1 <0.1 <0.3 0.35 525 Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 100 10040 4025 2512 128 83 2 14 Equazione di continuita’ - 1 Q = costante nel tempo in ogni sezione senza SORGENTI senza BUCHI MOTO STAZIONARIO v Dt v'Dt S v v' Nello stesso intervallo di tempo Dt: S' SvDt = S’v’Dt V Q = = S v Dt = S v = costante Dt Dt Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 15 Equazione di continuita’ Si consideri un tubo di flusso: Fluido incomprimibile: in un piccolo intervallo di tempo Dt, il volume di fluido che passa attraverso A1, A1v1Dt, e’ pari al volume di fluido che passa attraverso A2, A2v2 Dt A1v1 A2 v2 O: Conservazione massa R Av costante R: flusso volumico [m3/s] Alta densita’ di linee di flusso (piccolo A) Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine Equazione di continuita’ Alta velocita’ del fluido (v) 16 Equazione di continuita’ - 2 Se il condotto si apre in piu’ diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. A C B Q = 100 cm3/s S3 = 0.5 cm2 S2 = 1.25 cm2 S1 = 5 cm2 S1 = 5 cm2 v1 = 20 cm/s S2 = 1.25 cm2 v2 = 80 cm/s Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine S3 = 2.5 cm2 v3 = 40 cm/s 17 Velocita’ del sangue - 1 4 miliardi 160 140mila cm2 300 milioni 200 ARTERIE VENE ARTERIOLE VENULE 5000 4000 3000 2000 1000 S totale 4500+ 25 400 cm2 4000 60 CAPILLARI Paradossalmente, al contrario di quanto prevederebbe l’equazione di continuita’, la velocita’ e’ bassissima nei capillari perche’ il loro numero e’ altissimo! cm/s v 50 40 30 20 10 CAPILLARI VENE ARTERIE ARTERIOLE VENULE Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 5000 4000 3000 2000 1000 cm/s 50 40 30 20 10 18 Velocita’ del sangue - 2 Portata del sangue: Es. Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s Es. Velocita’ del sangue nei vari distretti: AORTA (r=0.8 cm) ARTERIOLE CAPILLARI VENA CAVA (r=1.1 cm) S = p r2 2 cm2 S 400 cm2 S 4000 cm2 S = p r2 4 cm2 v = Q/S 40 cm/s v = Q/S 0.2 cm/s v = Q/S 0.02 cm/s v = Q/S 20 cm/s La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita. Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 19 Equazione di Bernoulli 1 2 P v gy costante 2 Contenuto fisico: La somma della pressione, dell’energia cinetica per unita’ di volume e della energia potenziale per unita’ di volume ha lo stesso valore in tutti I punti di una linea di flusso. How can weMarina derive this? Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 20 F p DA Equazione di Bernoulli p DV DL Dm DV Considerate un elemento di massa Dm = DV che passa attraverso un tubo. Si applichi il principio di conservazione dell’energia del fluido ai punti 1 e 2 1 1 2 F1DL1 Dmv1 Dmgh1 F2 DL2 Dmv22 Dmgh2 2 2 Lavoro Cinetico Potenziale 1 p v 2 gh constant 2 A livello costante, Velocita’ piu’ alta Equazione di Bernoulli Pressione piu’ bassa Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 21 Derivazione equazione Bernoulli Physical basis: Work-energy relation All together now: With We get: Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 22 Un esempio Si consideri una tanica di acqua che presenta un foro sul lato a distanza h dalla superficie. Si assuma che la tanica sia grande abbastanza che la superficie libera dell’ acqua risulti ferma. Le pressioni alla superficie ed al foro sono p0: 1 2 vh gyh gys 2 vh 2 g ( y s y h ) 2 gh p 1 2 v gh const. 2 E’ la stessa velocita’ di un oggetto che cade nel vuoto Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 23 Tre nuovi termini •Viscosita’ •Diffusione •Osmosi Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 24 Viscosita’ Av Fh d La viscosita’ si riferisce all’ attrito tra strati adiacenti di fluido E’ richiesto un calo di pressione per forzare il passaggio dell’acqua attraverso I tubi (legge di Poiselle’s) A velocita’ sufficientemente Marina Cobal - Dipt.di Fisica grandi si creano turbolenzeUniversita' di Udine 25 Viscosita’ h coefficiente di viscosità FA Unita’ di misura cgs: poise = g/(scm) =–hAv d La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura. Acqua Es. a 0o hacqua = 0.0178 poise Sangue a 20o h acqua = 0.0100 poise Plasma hplasma = 1.5 h acqua Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% hsangue = 5 h acqua Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 26 Diffusione Le molecole si muovono dalle regioni a piu’ alta concentrazione alle regioni a bassa concentrazione. Massa C 2 C1 Legge di Fick: Rate di diffusione Tempo DA L D = coefficiente di diffusione Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 27 Osmosi L’ Osmosi e’ il moto dell’acqua attraverso un setto, che invece impedisce il passaggio di altre specifich molecole, come per esempio sali etc… Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 28 Osmosi Pressione osmotica: spinge l’acqua (solvente) dal lato della membrana in cui vi sono più soluti (ioni/biomolecole) rispetto che acqua. L’osmosi di acqua non è “diffusione” ma “pressione” perché non dipende dalla concentrazione assoluta di acqua ma da quella dei soluti rispetto all’acqua Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 29
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