Come disegnare i diagrammi di
Bode
• Per disegnare il diagramma di Bode di una
funzione è necessario prima analizzare la sua
funzione di trasferimento. Essa può essere
espressa come un rapporto tra polinomi:
I poli nella funzione
• Le radici del polinomio al denominatore,
ovvero i valori di s che lo annullano, sono detti
poli della funzione di trasferimento. Il loro
numero, ovvero il grado del polinomio al
denominatore della funzione di trasferimento,
indica l’ordine del sistema rappresentato dalla
funzione di trasferimento
Gli zeri nella funzione
• Le radici del polinomio al numeratore invece
sono dette zeri della funzione di
trasferimento. Si tenga presente che il numero
dei poli, oltre che coincidere con il grado del
polinomio al denominatore, corrisponde
anche al numero di elementi reattivi distinti
presenti nel circuito del sistema considerato.
Prima forma fattorializzata
• Fattorializzando i polinomi al numeratore e al
denominatore è possibile scrivere la funzione
di trasferimento nel seguente modo:
• K è detto fattore di guadagno, mentre z sono
gli zeri non nulli e p i poli non nulli di G(s).
La seconda forma fattorializzata
• Questa forma è molto più sintetica ed
efficiente della prima e permette finalmente
di disegnare il diagramma. Si ottiene scrivendo
la seguente formula:
• Il termine µ esprime il guadagno di G(s)
• Dopo aver ottenuto la funzione di
trasferimento sotto forma di seconda forma
fattorializzata troviamo eventuale presenza,
numero e posizione di zeri e poli. Dopo averli
trovati esaminiamo i cinque “mattoncini” su
cui basarci per il disegno dei nostri diagrammi.
“Mattoncino” M1: Guadagno
• Guadagno µ: determina una retta orizzontale
posizionata al valore
|G|
1
101
10 2
10 3
W
[
]
1
101
10 2
10 3
W
[
]
LG
“Mattoncino” M2: zero non
nell’origine
• 0 dB per ω<| |; pendenza +20dB/dec per ω>
| |
|G|
40dB
20dB
1
101
10 2
10 3
W
[
]
1
101
10 2
10 3
W
[
]
LG 90°
45°
“Mattoncino” M3: polo non
nell’origine
• 0 dB per ω<| |; pendenza -20dB/dec per ω>
| |
|G|
1
101
10 2
10 3
-20dB
W
- 40dB
LG
1
101
10 2
[
]
[
]
10 3
W
-45°
-90°
“Mattoncino” M4: zero nell’origine
• Determina una pendenza +20dB/dec per tutti i
valori di ω; intersezione con l’asse a 0dB per
ω = 1 rad/s
|G|
40dB
20dB
1
101
10 2
10 3
W
[
]
1
101
10 2
10 3
W
[
]
LG 90°
45°
“Mattoncino” M5: polo non
nell’origine
• Determina una pendenza -20dB/dec per tutti i
valori di ω; intersezione con l’asse a 0dB per
ω = 1 rad/s
|G|
1
101
10 2
10 3
-20dB
W
- 40dB
LG
1
101
10 2
[
]
[
]
10 3
W
-45°
-90°
Il diagramma del modulo nell’ipotesi che non ci siano
zeri o poli nell’origine
• Seguendo questa ipotesi il diagramma può essere disegnato
seguendo questo procedimento:
• A)Si individuano tutti i poli e gli zeri e li si indicano
simbolicamente sull’asse x in corrispondenza della relativa
pulsazione
• B)Si traccia una retta parallela all’asse x di ordinata pari al
valore in dB del guadagno µ(che, mancando poli e zeri
nell’origine, assume il significato di guadagno statico)
partendo dalla sinistra del primo polo e del primo zero.
• C)Per ogni zero incontrato percorrendo l’asse x da sinistra
verso destra si introduce una pendenza di +20 dB/dec e per
ogni polo una pendenza di -20 dB/dec.
Il diagramma del modulo nell’ipotesi che ci siano zeri o
poli nell’origine
• Seguendo questa ipotesi il diagramma può essere disegnato seguendo
questo procedimento:
• A)Si individuano tutti i poli e gli zeri e li si indicano simbolicamente
sull’asse x in corrispondenza della relativa pulsazione
• B)Se non esistono poli o zeri nell’origine, si traccia una retta parallela
all’asse x di ordinata pari al valore in dB del guadagno µ(che, mancando
poli e zeri nell’origine, assume il significato di guadagno statico) partendo
dalla sinistra del primo polo e del primo zero.
• C)Se esistono poli o zeri nell’origine si traccia una retta con pendenza
determinata dal numero di poli o zeri nell’origine(-20*g dB/dec) e che in ω
= 1 rad/s presenti un modulo pari a |µ|dB
• D)Per ogni zero incontrato percorrendo l’asse x da sinistra verso destra si
introduce una pendenza di +20 dB/dec e per ogni polo una pendenza di 20 dB/dec.