Il luogo delle radici
Andrea Munafò
Università di Pisa
April 14, 2012
Luogo delle radici (Evans 1948)
I
Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e la sintesi
di sistemi di controllo a retroazione.
r
e
−
G(s)
y
ym
H(s)
I
(s)
(s)
Dinamica del sistema in ciclo chiuso YR(s)
= 1+GG(s)H(s)
dipende dalla
posizione nel piano complesso delle radici del polinomio
caratteristico 1 + G (s)H(s) = 0
Luogo delle radici
I
Tramite il luogo delle radici si studia la posizione nel piano
complesso delle radici di 1 + G (s)H(s) = 0 al variare di un
parametro reale K
I
Esprimiamo:
G (s)H(s) = K
I
Posto:
G1 (s) =
I
Allora:
(s − z1 )(s − z2 )...(s − zm )
(s − p1 )(s − p2 )...(s − pn )
(s − z1 )(s − z2 )...(s − zm )
(s − p1 )(s − p2 )...(s − pn )
n≥m
n≥m
1 + KG1 (s) = 0
I
I
K proporzionale alla costante di guadagno (forma di Bode)
K ∈ (−∞, ∞)
I
G1 (s) ∈ C allora 1 + KG1 (s) = 0 possiamo scriverla come:
K >0
I
1
K
∠G1 (s) = (2k + 1)π
1
∠G1 (s) = (2k)π
K
Condizione d’angolo → disegnare il luogo delle radici (n.s.)
K <0
I
|G1 (s)| =
|G1 (s)| = −
Condizione modulo → per ogni punto s del luogo consente di
trovare il corrispondente valore di guadagno K.
Esempio: costruzione per punti
G1 (s) =
I
I
(s − z1 )
(s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )(s − p4 )
s ∈ LR ⇔ ∠G1 (s) = ϑ − ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 − ϕ4 = (2k + 1)π
se ∠G1 (s) = (2k + 1)π allora il valore di K per cui s ∈ LR:
r1
1
=
ρ1 ρ2 ρ3 ρ4
K
Esempio
G1 (s) =
p∈R
Poli in ciclo aperto: s = −2
Root Locus
0.4
0.3
Imaginary Axis (seconds−1)
I
1
(s + 2)
0.2
0.1
s = −2
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−8
−6
−4
−2
Real Axis (seconds−1)
0
Root Locus
0.4
Imaginary Axis (seconds−1)
0.3
0.2
0.1
s = −2
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−8
−6
−4
−2
Real Axis (seconds−1)
I
K >0
I
Punto s > −2: ∠(s + 2) = 0 6= (2k + 1)π
I
I
Punto s < −2: ∠(s + 2) = π = (2k + 1)π,
Punto s = −3: |G1 (s)| =
1
K
0
k=0
→ |(s + 2)|s=−3 = K → K = 1
Root Locus
0.4
Imaginary Axis (seconds−1)
0.3
0.2
0.1
s = −2
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−3
−2
−1
0
1
2
Real Axis (seconds−1)
I
K <0
I
Punto s > −2: ∠(s + 2) = 0 = (2k)π,
I
Punto s < −2: ∠(s + 2) = π 6= (2k)π
3
k=0
4
Proprietà (1)
Luogo radici presenta proprietà che agevolano la sua costruzione:
I
P1 Tanti rami quanti sono i poli della f.d.t in anello aperto (KG1 (s)
ha n ≥ m)
I
P2 I rami si intersecano sulle radici multiple
I
P3 Ogni ramo parte da un polo di G1 (s) (K = 0) e termina in uno
zero di G1 (s) o in un punto all’infinito
(
m
rami tendono agli zeri della G1 (s);
|K | → ∞
n − m rami tendono a ∞;
I
P4 Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse Reale.
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
Se K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Proprietà (2)
I
P6 Radici multiple
Una radice multipla di ordine µ corrisponde a un punto a comune a
µ rami del luogo delle radici
I
P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
Proprietà (2)
I
P6 Radici multiple
Una radice multipla di ordine µ corrisponde a un punto a comune a
µ rami del luogo delle radici
I
P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
µ=2
µ=3
Proprietà (3)
I
P8 Punto di distacco (dall’asse reale): corrisponde ai punti dove
abbiamo radici multiple
Eq. caratteristica: f (s) = 1 + KG1 (s) = 0
I
f (s) = 0 ha radici multiple se
I
df (s)
ds
=0
dG1 (s)
I
=0
ds
I Esempio:
1 + KG1 (s) = 0 → 1 + K
1
1
= 0 → 1+K 3
s(s + 1)(s + 2)
s + 3s 2 + 2s
dG1 (s)
−(3s 2 + 6s + 2)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 2))2
−(3s 2 + 6s + 2) = 0 → s = −0.4226, s = −1.5774
Proprietà (4)
I
P9 Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella con centro
nel punto dell’asse reale
Pm
Pn
i=1 zi
i=1 pi −
σa =
n−m
Se K > 0 gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:
ϑa,n =
(2k + 1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1)
Se K < 0 gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:
ϑa,n =
(2k)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1)
Proprietà (5)
I
P10 Intersezione con l’asse immaginario: limite di stabilità del
sistema in retroazione (K critico).
Proprietà (5)
I
P10 Intersezione con l’asse immaginario: limite di stabilità del
sistema in retroazione (K critico).
I
Criterio di Routh
I
Alternativa: s = jw in eq. caratteristica
(
Re(1 + KG1 (jw )) = 0
1 + KG1 (jw ) = 0 →
Im(1 + KG1 (jw )) = 0
ricavare w e K .
Riassumendo
Dato un processo descritto da: G1 (s) =
Qm
(s−zi )
Qni=1
i=1 (s−pi )
I
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
I rami del luogo partono dai poli e terminano negli zeri (zeri finiti o
zeri all’infinito)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo (per
K > 0 e/o K < 0).
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
4. Determinare
Pn
Pmgli asintoti del luogo
i=1 pi −
i=1 zi
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
I
5. Determinare intersezione con asse immaginario
I
6. Tracciare il luogo delle radici
Esempio 1
e
r
−
G(s)
y
ym
H(s)
G (s) =
K
s(s+1)(s+2)
H(s) = 1
Tracciare il luogo delle radici per K > 0
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
Poli in ciclo aperto: s = 0, s = −1, s = −2
3
2
1
Im
s=−2
s=−1
s=0
0
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
G (s) =
K
s(s+1)(s+2)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
3
2
1
Im
s=−2
s=−1
s=0
0
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
K
s(s+1)(s+2)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
3
2
1
Im
s=−2
s=−1
s=0
0
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G (s) =
K
s(s+1)(s+2)
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
−(3s 2 + 6s + 2)
dG1 (s)
=0
=
ds
(s(s + 1)(s + 2))2
−(3s 2 + 6s + 2) = 0 → s = −0.4226, s = −1.5774
1+
K
= 0 → K = 0.3849
s(s + 1)(s + 2) s=−0.4226
G (s) =
K
s(s+1)(s+2)
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
dG1 (s)
−(3s 2 + 6s + 2)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 2))2
−(3s 2 + 6s + 2) = 0 → s = −0.4226, s = −1.5774
3
2
1
Im
s=−2
s=−1
s=0
0
K = 0.3849
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
4. Determinare
Pn
Pmgli asintoti del luogo
i=1 pi −
i=1 zi
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
0−1−2
= −1 ∈ R
3
ϑa = 60◦ (k = 0)
σa =
ϑa = 180◦ (k = 1)
ϑa = 300 = −60◦ (k = 2)
G (s) =
4. Determinare
Pn
Pmgli asintoti del luogo
i=1 pi −
i=1 zi
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
3
2
1
s=−2
Im
I
K
s(s+1)(s+2)
s=0
s=−1
0
K = 0.3849
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
5. Intersezione con asse immaginario
G (s) =
I
K
s(s+1)(s+2)
5. Intersezione con asse immaginario
K
+1=0
s(s + 1)(s + 2)
s 3 + 3s 2 + 2s + K = 0
(jw )3 + 3(jw )2 + 2(jw ) + K = 0
(K − 3w 2 ) + j(2w − w 3 ) = 0
(K − 3w 2 ) = 0
2w − w 3 = 0
√
w = ± 2, K = 6
w = 0, K = 0
G (s) =
5. Intersezione con asse immaginario
3
2
K=6
1
s=−2
Im
I
K
s(s+1)(s+2)
s=0
s=−1
0
K = 0.3849
−1
K=6
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
5
4
3
Imaginary Axis (seconds−1)
I
K
s(s+1)(s+2)
2
K=6
1
s=−2
0
s=0
s=−1
K = 0.3849
−1
K=6
−2
−3
−4
−5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
Real Axis (seconds−1)
−1
0
1
2
Esempio 2
r
e
−
G(s)
y
ym
H(s)
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
H(s) = 1
Tracciare il luogo delle radici per K > 0
G (s) =
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
√
√
Poli in ciclo aperto: s = −1 + j 2, s = −1 − j 2
I
3
2
√
s = −1 + j 2
Im
1
s =-2
0
−1
√
s = −1 − j 2
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
3
2
√
s = −1 + j 2
Im
1
s =-2
0
−1
√
s = −1 − j 2
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
3
2
√
s = −1 + j 2
Im
1
s =-2
0
−1
√
s = −1 − j 2
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
dG1 (s)
−(s 2 + 4s + 1)
= 2
=0
ds
(s + 2s + 3)2
(s 2 + 4s + 1) = 0 → s = −3.7320, s = −0.2680
1+
K (s + 2)
= 0 → K = 5.4641
s 2 + 2s + 3) s=−3.7320
G (s) =
K (s+2)
s 2 +2s+3
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
dG1 (s)
−(s 2 + 4s + 1)
= 2
=0
ds
(s + 2s + 3)2
(s 2 + 4s + 1) = 0 → s = −3.7320, s = −0.2680
3
2
√
s = −1 + j 2
1
Im
K=5.4641
s =-2
0
s =-3.7320
−1
√
s = −1 − j 2
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
G (s) =
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s) =
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
ϑa = 180◦ (k = 0)
G (s) =
4. Determinare
P gli asintoti del luogo
Pn
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
3
2
√
s = −1 + j 2
1
K=5.4641
Im
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
s =-2
0
s =-3.7320
−1
√
s = −1 − j 2
−2
−3
−4
−3
−2
−1
Re
0
1
(s+2)
G (s) = sK2 +2s+3
I 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
I Convergenza verso l’asse reale o verso asintoti
I Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
I Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
I Allora (condizione d’angolo):
φ11 − (θ1 + θ21 ) = ±(2k + 1)π
o anche:
θ1 = π − θ21 + φ11 = π − θ2 + φ1
da cui:
angolo partenza p1 = θ1 = 145◦ , angolo partenza p2 = −145◦
3
s
2
θ
1
1
φ11
Im
I
θ1 = π − θ2 + φ1 = 180◦ − 90◦ + 55◦
φ1
0
1
θ2
−1
−2
θ2
G (s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
2
√
s = −1 + j 2
1.5
Imaginary Axis (seconds−1)
I
K (s+2)
s 2 +2s+3
1
0.5
K=5.4641
s =-2
0
s =-3.7320
−0.5
√
s = −1 − j 2
−1
−1.5
−2
−8
−7
−6
−5
−4
−3
Real Axis (seconds−1)
−2
−1
0
1