Teoria dei Circuiti
Lez. 1
Funzioni di Rete
Si consideri una rete lineare e tempo invariante a stato zero avente
come ingresso un solo generatore di corrente o di tensione con
andamento temporale arbitrario x( . ). Sia y( . ) la risposta* della rete
dovuta all’ingresso x( . ).
Si definisce funzione di rete H(s) la seguente espressione:
H (s) =
Y (s)
X(s)
Dove s è la frequenza complessa s=σ+jω , mentre X(s) e Y(s) sono
rispettivamente la trasformata di Laplace di x( . )e y( . ) (X(s)=L{x( . )} e
X(s)=L{x( . )})
*Dove per risposta si intende o una tensione ai capi di una coppia qualsiasi di nodi della rete o
una corrente in un qualsiasi lato della rete
Tipi di Funzioni di Rete
•
Autoimpedenza (risposta tensione, ingresso corrente entrambi riferiti alla stessa
•
Autoammettenza (risposta corrente, ingresso tensione entrambi riferiti alla stessa
coppia di morsetti della rete)
coppia di morsetti della rete)
•
Impedenza di trasferimento (risposta tensione, ingresso corrente riferiti a due
divese coppie di morsetti della rete)
•
Ammettenza di trasferimento (risposta corrente, ingresso tensione corrente riferiti a
due divese coppie di morsetti della rete)
•
Un rapporto di tensione di trasferimento (risposta tensione, ingresso tensione
•
Un rapporto di corrente di trasferimento (risposta corrente, ingresso corrente
riferiti a due divese coppie di morsetti della rete)
riferiti a due divese coppie di morsetti della rete)
Autoimpedenza e
Autoammettenza
Poichè l’autoimpedenza e l’autoammettenza sono casi speciali di funzioni di
rete, si può estendere la definizione di autoimpedenza (autoammettenza) di un
bipolo come il rapporto tra la trasformata di Laplace della risposta di tensione
(corrente) con stato zero e la trasformata di Laplace della corrente (tensione) di
pilotaggio.
Autoimpedenze (autoammettenze) notevoli
Resistore: R (1/R)
Induttore: sL (1/sL)
Condensatore: 1/sC (sC)
Osservazioni:
Data la linearità della trasformata di Laplace, delle leggi di Kirchhoff e delle relazioni di lato (a
stato zero) è facile dimostrare che le regole per combinare le le impedenze (ammettenze) sono le
stesse a quelle che si applicano in regime sinusoidale, inoltre anche i metodi si stematici di analisi
delle reti (nodi,maglia, etc…) si applicano allo stesso modo.
L’analisi delle reti fatta utilizzando variabili trasformate secondo Laplace viene detta analisi nel
domino della frequenza.
Esempi di funzioni di rete
Autoimpedenza
V(s)
R
H (s) =
=
I(s) 1+ sRC
Autoammettenza
H (s) =
I(s)
sC
=
V(s) 1+ sRC
Impedenza di trasferimento
H(s) =
V(s)
R
=
I(s) 1+ sRC + s 2 LC
Esempi di funzioni di rete
Ammettenza di trasferimento
I(s) 1 R1 + R2 æ L1 + L2 ö
H(s) =
=
+
ç
÷
V(s) sL1
s 2 è L12 L2 ø
Un rapporto di tensione di trasferimento
Vout (s) R2 R2 R1 + R22 æ L1 + L2 ö
H(s) =
=
+
ç 2
÷
2
Vin (s) sL1
s
è L1 L2 ø
Un rapporto di corrente di trasferimento
H (s) =
I out (s)
1
=
Iin (s) 1+ sRC + s 2 LC
Proprietà generali delle
funzioni di rete
Le funzioni di rete sono funzioni razionali fratte nella variabile complessa s con
coefficienti reali:
P(s) b0 s m + b1s m-1 +
H(s) =
=
Q(s) a0 s n + a1s n-1 +
+ bm-1s + bm
+ an-1s + an
I coefficienti a0, a1,…, an, b1,…, bm sono numeri reali in quanto ognuno è somma
dei prodotti di resistenze, induttanze, capacità, etc..,e tali valori sono numeri reali.
H(s) può essere anche scritta:
m
Õ (s - z )
K è un fattore di scala (reale); zi : zeri di H(s) ; pj: poli di H(s)
i
H (s) = K
i=1
m
Õ (s - p )
j
j=1
Proprietà:
Se Q(p)=0 con p=σ+jω => Q(σ-jω )=0
Se P(p)=0 con p=σ+jω => P(σ-jω )=0
Queste proprietà derivano dal fatto:
F(s) = F(s) ovvero F(s + jw ) = F(s - jw )
se F(s) polinomioa coefficienti reali
Poli e zeri e risposta in
frequenza
Sostituendo s con jω in una funzione di rete si ottiene H(jω) definita
come il rapporto del fasore della risposta con quello dell’ingresso.
H( jw ) = H( jw ) e jj (w ) H( jw ) = ampiezza j (w )= fase
Le curve di ampiezza e fase quando ω varia tra 0 e ∞ costituiscono la
risposta in frequenza della funzione H(s).
Osservazione: La conoscenza della la risposta in frequenza ci consente
di calcolare la risposta a stato zero a qualunque ingresso.
Poli e zeri e risposta in
frequenza (esempi)
R
1+ sRC
1
1
H ( jw ) =
C jw - p
H (s) =
j ( jw ) = - tan -1 w RC
p=-
1
RC
Poli e zeri e risposta in
frequenza (esempi)
1
s
C s2 + G s + 1
C
LC
1
s-z
1 l
H ( jw ) =
=
C jw - p1 * jw - p2 C d1 * d1'
H (s) =
j ( jw ) = f1 - q1 - q1'
z = 0, p1 = -a + jw d , p2 = -a - jw d
dove a =
G
1
e wd =
-a2
2C
LC
Poli e zeri e risposta in
frequenza (caso generale)
In genere, si ha una funzione di rete razionale fratta con coefficienti
reali.
b0 s m + b1s m-1 +
H(s) =
a0 s n + a1s n-1 +
+ bm-1s + bm
+ an-1s + an
Per ottenere la risposta in fequenza:
1. Si determinano I poli (pj) e gli zeri (zi)
2. Si esprime ogni polinomio come prodotto di fattori del 1° ordine (nel caso in
esame si è illustrata la procedura con una funzione di rete con tre zeri e 4 poli)
b0
(s - z1 )(s - z2 )(s - z2* )
H(s) =
a0 (s - p1 )(s - p2 )(s - p3 )(s - p3* )
1. Ponendo s=jω si ottengono:
Poli e zeri e risposta in
frequenza (caso generale)
Il guadagno:
jw - z1 jw - z2 jw - z2*
b0
b0 l1l2l2'
H (s) =
=
*
a0 s - p1 s - p2 s - p3 s - p3 a0 d1d2 d3d3'
La fase:
æ b0 ö
j ( jw ) = j ç ÷ + j z1 ( jw ) + j z2 ( jw ) + j z* ( jw ) +
2
è a0 ø
(
(
)
)
- j p1 ( jw ) + j p2 ( jw ) + j p3 ( jw )j p* ( jw )
3
Poli e zeri e risposta
all’impulso
L’antitrasformata di Laplace di una funzione di rete è la risposta
all’impulso corrispondente.
h(t) = L-1{X(s)})
Illustreremo la relazione tra la posizione dei poli e degli zeri e la risposta
all’impulso con due esempi.
•
Il circuito RC parallelo
•
Il circuito RLC parallelo
Poli e zeri e risposta
all’impulso (RC parallelo)
all’impulso (RLC
parallelo)
Proprietà di simmetria
delle funzioni di rete
Sia H(s) una funzione di rete con coefficienti a0, a1, … , an, b0, … , bm reali
b0 s m + b1s m-1 +
H(s) =
a0 s n + a1s n-1 +
+ bm-1s + bm
+ an-1s + an
Posto s=jω e raggruppando I termini si ha:
éë polinomio in w 2 ùû + jw éë polinomio in w 2 ùû
H ( jw ) =
éë polinomio in w 2 ùû + jw éë polinomio in w 2 ùû
Poichè I coefficienti dei polinomi sono reali si ha:
éë polinomio in w 2 ùû - jw éë polinomio in w 2 ùû
H ( jw ) =
éë polinomio in w 2 ùû - jw éë polinomio in w 2 ùû
Proprietà di simmetria
delle funzioni di rete
Da cui ne deriva:
ì
é
ù
H ( jw ) = H ( jw )
ï Reë H ( jw )û = Re [ H ( jw )]
ï
( jw ) = -j H ( jw ) ( jw )
ï Im éë H ( jw )ùû = -Im [ H ( jw )] j
H
(
j
w
)
H ( jw ) = H (- jw ) Þ í
ï Re [ H ( jw )] = Re [ H (- jw )]
H ( jw ) = H ( jw )
ï
ï Im [ H ( jw )] = -Im [ H (- jw )] j H ( jw ) ( jw ) = -j H (- jw ) ( jw )
î
La parte reale Re[H(jω)] e l’ampiezza di una funzione di rete |H(jω)|
sono funzioni pari di ω; La parte immaginaria Im[H(jω)] e la fase ϕH(jω)(jω)
di una funzione di rete sono funzioni dispari di ω.
Legame tra la Funzione di Rete
e la Risposta in Frequenza
La funzione di rete è:
H (s) =
VOUT (s)
R
=
VIN (s) 1+ sRC
Si supponga che vIN(t)sia un generatore sinusoidale:
vIN = V0 cos(wt + j )
Si può dimostrare che la conoscenza della funzione di rete H(s) valutata
in jω permette di trovare il valore di vOUT(t)a regime.
Legame tra la Funzione di Rete
e la Risposta in Frequenza
Dimostrazione
Legame tra la Funzione di Rete
e la Risposta in Frequenza
Legame tra la Funzione di Rete
e la Risposta in Frequenza
Legame tra la Funzione di Rete
e la Risposta in Frequenza
Sintesi Passiva RLC
Si consideri F(s)=N(s)/D(s), si vuole determinare quando è possibile realizzare
con solo componenti passivi RLC (e al massimo trasformatori M), cioè senza
generatori pilotati né operazionali, una impedenza o una ammettenza con
tali poli e zeri.
Si possono individuare alcune condizioni necessarie e sufficienti ricavate
per la prima volta da Otto Brüne.
Teorema 1:
Sia F(s) una funzione complessa in variabile complessa. Condizione necessaria e
sufficiente affinchè F(s) sia fisicamente realizzabile è che F(s) sia positiva reale (PR).
Sintesi Passiva RLC
Una funzione F(s) si definisce positiva reale (PR) se e solo se valgono le seguenti
due condizioni:
I. F(s) reale per s reale. Vuol dire che tutti i coefficienti che compaiono in F(s)
devono essere numeri reali.
II. Re[F(s)] ≥ 0 per Re[s] ≥ 0 Cioè un punto del primo semipiano destro finisce
sempre nel secondo semipiano destro.
Sintesi Passiva RLC
Se un bipolo è composto solo da RLC consegue che Z(s) è un PR e
se Z(s) è un PR allora il bipolo corrispondente è composto solo da
RLC.
Dimostrazione RLC =>Z(s) è un PR
Per Tellegen
åV I
*
i i
=0
i
Se si considera il bipolo in figura si ha che:
V(s)× I * (s) = åVi (s)× Ii* (s) = å Ri ×Ii (s)× Ii* (s) + å s × L j × I j (s)× I *j (s) + åVk (s)× s* ×Ck ×Vk* (s)
i
i
j
k
Sintesi Passiva RLC
Dove si sono evidenziati i contributi delle resistenze, degli induttori e
dei condensatori contenuti all’interno del bipolo
Inoltre
Da cui
Sintesi Passiva RLC
Si è ottenuto che: Re[Z(s)] ≥ 0 se σ ≥ 0 come volevasi dimostrare.
Nella definizione di una funzione PR sono nascoste le proprietà di passività e
stabilità del circuito.
La seconda condizione necessaria affinchè F(s) sia PR può quindi essere sostituita
da condizioni sulla passività e stabilità del circuito.
Teorema 2
•
•
•
F(s) reale per s reale
Re[F(jω)] ≥ 0 per ogni ω (passività)
Poli e zeri, cioè le singolarità, devono trovarsi nel semipiano sinistro aperto;
se si trovano sull’asse immaginario devono essere semplici e con il residuo
maggiore di zero (condizione sulla stabilità)
Si definiscono polinomi di Hurwitz quei polinomi con parte reale delle radici negativa.
Si dice che sono strettamente di Hurwiz se le singolarità sono nel semipiano sinistro
aperto.
Esempi
Metodo per determinare se Re[F(jω)] ≥ 0
Esempio
s+2
F(s) = 2
s + 4s + 3
Applicando la formula precedente si ha:
N P DP - N D DD = 2(s2 + 3)- 4s 2 = 6 + 2w 2 = A(w 2 )
A(w 2 ) ³ 0 "w Þ Re[F( jw )] ³ 0
Per la stabilità si sfruttano i polinomi di Hurwitz
s+a = 0 => radice negativa se a > 0
s2+as+b =0 => radici negative se a > 0, b > 0
Determinare se le radici sono negative è più complicato quando l’ordine del polinomio è
maggiore ouguale al terzo. Infatti la condizione che i coefficienti siano tutti maggiori di
zero è sempre necessaria ma non più sufficiente.