Il luogo delle radici: esercizi
Università di Pisa
May 11, 2012
Luogo delle radici (Evans 1948)
I
Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e la sintesi
di sistemi di controllo a retroazione.
r
e
−
G(s)
y
ym
H(s)
I
(s)
(s)
Dinamica del sistema in ciclo chiuso YR(s)
= 1+GG(s)H(s)
dipende dalla
posizione nel piano complesso delle radici del polinomio
caratteristico 1 + G (s)H(s) = 0
I
1 + KG1 (s) = 0 possiamo scriverla come:
K >0
I
1
K
∠G1 (s) = (2k + 1)π
1
∠G1 (s) = (2k)π
K
Condizione d’angolo → disegnare il luogo delle radici (n.s.)
K <0
I
|G1 (s)| =
|G1 (s)| = −
Condizione modulo → per ogni punto s del luogo consente di
trovare il corrispondente valore di guadagno K.
Riassumendo
Dato un processo descritto da: G1 (s) =
Qm
(s−zi )
Qni=1
i=1 (s−pi )
I
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
I rami del luogo partono dai poli e terminano negli zeri (zeri finiti o
zeri all’infinito)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo (per
K > 0 e/o K < 0).
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
4. Determinare
Pn
Pmgli asintoti del luogo
i=1 pi −
i=1 zi
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
I
5. Determinare intersezione con asse immaginario
I
6. Tracciare il luogo delle radici
Esercizio 1
r
e
−
G(s)
y
ym
H(s)
G (s)H(s) =
I
Luogo radiciK > 0 e K < 0
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
Poli in ciclo aperto: s = 0, s = −1 s = −3 s = −4
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
G (s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G (s)H(s) =
I
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
P8 dGds1 (s) = 0
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12)
dG1 (s)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4))2
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
1+K
1
=0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−3.5811
→1+K
1+K
→1+K
−1
1
=0→K =
= 2.25
−2.25
−0.4444
1
=0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−0.42
1
−1
=0→K =
= 2.25
−2.25
−0.4444
G (s)H(s) =
I
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
P8 dGds1 (s) = 0
dG1 (s)
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4))2
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Im
K=2.25
K=2.25
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
K=2.25
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
K=2.25
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
K=2.25
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
K=2.25
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
0−1−3−4
= −1 ∈ R
4
ϑa = 45◦ (k = 0)
ϑa = 135◦ (k = 1)
ϑa = 225◦ (k = 2)
ϑa = 315◦ (k = 3)
G (s)H(s) =
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
Centro asintoti
4
3
2
1
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
K=2.25
0
K=2.25
−1
−2
−3
−4
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
(
1 + KG1 (jw ) = 0 →
ricavare w e K .
Re(1 + KG1 (jw )) = 0
Im(1 + KG1 (jw )) = 0
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
1+K
1
=0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4)
s 4 + 8s 3 + 19s 2 + 12s + K = 0
(jω)4 + 8(jω)3 + 19(jω)2 + 12(jω) + K = 0
(ω 4 − 19ω 2 + K ) + j(8ω 3 + 12ω) = 0
(ω 4 − 19ω 2 + K ) = 0
(8ω 3 + 12ω) = 0
ω = ±1.2247, K = 26.25
ω = 0, K = 0
G (s)H(s) =
5. Intersezione con asse immaginario
Centro asintoti
4
3
2
K=26.2482
1
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
K=2.25
0
K=2.25
−1
K=26.2482
−2
−3
−4
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
4
Imaginary Axis (seconds−1)
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3
2
K=26.2482
1
K=2.25
0
−1
K=2.25
K=26.2482
−2
−3
−4
−8
−6
−4
−2
0
Real Axis (seconds−1)
2
4
K <0
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
Poli in ciclo aperto: s = 0, s = −1 s = −3 s = −4
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).
G (s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).
I
P5
Se K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).
I
P5
Se K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Asse reale
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G (s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
dG1 (s)
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4))2
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
1+K
1
=0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−2.0
→1+K
−1
1
=0→K =
= −4
4
−0.25
G (s)H(s) =
I
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
P8 dGds1 (s) = 0
dG1 (s)
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12)
=
=0
ds
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4))2
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Im
K=−4
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
K=−4
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
0−1−3−4
= −1 ∈ R
4
ϑa = 0◦ (k = 0)
ϑa = 90◦ (k = 1)
ϑa = 180◦ (k = 2)
ϑa = 270◦ (k = 3)
G (s)H(s) =
4. Determinare
Pn
Pmgli asintoti del luogo
i=1 pi −
i=1 zi
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
K=−4
Im
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
(
1 + KG1 (jw ) = 0 →
ricavare w e K .
Re(1 + KG1 (jw )) = 0
Im(1 + KG1 (jw )) = 0
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
(
1 + KG1 (jw ) = 0 →
ricavare w e K .
Re(1 + KG1 (jw )) = 0
Im(1 + KG1 (jw )) = 0
Possiamo immaginarcelo...
G (s)H(s) =
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
(
1 + KG1 (jw ) = 0 →
Re(1 + KG1 (jw )) = 0
Im(1 + KG1 (jw )) = 0
ricavare w e K .
real axis and root locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Im
K=−4
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s)H(s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
4
Imaginary Axis (seconds−1)
I
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
3
2
1
K=−4
0
−1
−2
−3
−4
−8
−6
−4
−2
0
Real Axis (seconds−1)
2
4
Esercizio 2
Esercizio 2
r
e
−
G(s)
ym
H(s)
G (s) =
I
Luogo radici K > 0
s
s 3 +5s 2 +4s+20
y
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s) =
s
(s+j2)(s−j2)(s+5)
Poli in ciclo aperto: s = ±2j, s = −5
Zeri in ciclo aperto: s = 0
poli
2.5
2
1.5
1
Im
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
G (s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
poli
2.5
2
1.5
1
Im
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
real axis and root locus
2.5
2
1.5
1
Im
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G (s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
I
Un polo va verso lo zero (s=0)
I
Poli complessi vanno verso zeri all’infinito
dG1 (s)
ds
=0
G (s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
I
Un polo va verso lo zero (s=0)
I
Poli complessi vanno verso zeri all’infinito
=0
real axis and root locus
2.5
2
1.5
1
0.5
Im
dG1 (s)
ds
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s) =
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
−5 − 0
−5
=
= −2.5 ∈ R
3−1
2
ϑa = 90◦ (k = 0)
ϑa = 270◦ (k = 1)
G (s) =
4. Determinare
Pn
P gli asintoti del luogo
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
Centro asintoti
2.5
2
1.5
1
0.5
Im
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
I
5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
I
Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
I
Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
I
Allora (condizione d’angolo):
∠G (s) = ±(2k + 1)π
o anche:
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
I
angolo partenza p1 = θ1 = 158.2◦ , angolo partenza p2 = −158.2◦
s
G (s) = s 3 +5s 2 +4s+20
I 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
I Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
I Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
I Allora (condizione d’angolo):
∠G (s) = ±(2k + 1)π
o anche:
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
angolo partenza p1 = θ1 = 158.2◦ , angolo partenza p2 = −158.2◦
Centro asintoti
2.5
2
1.5
1
0.5
Im
I
90
21.8
0
−0.5
−1
−1.5
90
−2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
s
G (s) = s 3 +5s 2 +4s+20
I 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
I Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
I Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
I Allora (condizione d’angolo):
∠G (s) = ±(2k + 1)π
o anche:
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
angolo partenza p1 = θ1 = 158.2◦ , angolo partenza p2 = −158.2◦
real axis and root locus
2.5
158.2
2
1.5
1
0.5
Im
I
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−158.2
−2.5
−8
−6
−4
−2
Re
0
2
4
G (s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
20
15
10
Imaginary Axis (seconds−1)
I
s
s 3 +5s 2 +4s+20
5
0
−5
−10
−15
−20
−6
−5
−4
−3
−2
Real Axis (seconds−1)
−1
0
1
Esercizio 3
Esercizio 3
r
e
−
G(s)
ym
H(s)
G (s) =
I
Luogo radici K > 0
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
y
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
1. Tracciare poli {p1 , ..., pn } e zeri {z1 , ..., zm } sul piano complesso.
0.1∗(s−1)
G (s) = K s(s+0.5)(s+0.2)(s+1)
Poli in ciclo aperto: s = −0.5, s = −0.2 s = −1
Zeri in ciclo aperto: s = 1
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−5
−4
−3
−2
−1
0
Re
1
2
3
4
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−5
−4
−3
−2
−1
0
Re
1
2
3
4
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
poli
0.3
0.2
Im
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−1.5
−1
−0.5
0
Re
0.5
1
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
I
P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
poli
0.3
0.2
Im
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−1.5
−1
−0.5
0
Re
0.5
1
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
(s − 1)
dG1 (s)
= 4
=0
ds
s + 1.7s 3 + 0.8s 2 + 0.1s
s 4 + 1.7s 3 + 0.8s 2 + 0.1s − (s − 1)(4s 3 + 5.1s 2 + 1.6s + 0.1)
den2
s 4 + 1.7s 3 + 0.8s 2 + 0.1s+
4s 3 + 5.1s 2 + 1.6s + 0.1+
4
−4s − 5.1s 3 − 1.6s 2 − 0.1s
−3s 4 + 0.6s 3 + 4.3s 2 + 1.6s + 0.1 = 0
s1 = 1.45, s2 = −0.81, s3 = −0.35, s4 = −0.078
G (s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
I
3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
I
P8
dG1 (s)
ds
=0
s1 = 1.45, s2 = −0.81, s3 = −0.35, s4 = −0.078
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Re
0.5
1
1.5
2
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
4. Determinare gli asintoti del luogo
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
4. Determinare
P gli asintoti del luogo
Pn
pi − m
i=1 zi
σa = i=1 n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
σa =
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
0 − 0.5 − 0.2 − 1 − 1
−5
=
= −0.9 ∈ R
4−1
3
ϑa = 180/3 = 60◦ (k = 0) K > 0
ϑa = 3 ∗ 180/3 = 180◦ (k = 1) K > 0
ϑa = 5 ∗ 180/3 = 300◦ (k = 1) K > 0
ϑa = 0 ∗ 180/3 = 0◦ (k = 0) K < 0
ϑa = 2 ∗ 180/3 = 120◦ (k = 1) K < 0
ϑa = 4 ∗ 180/3 = 240◦ (k = 1) K < 0
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
4. Determinare
Pmgli asintoti del luogo
Pn
i=1 zi
i=1 pi −
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
K >0
poli
0.3
0.2
Im
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−1.5
−1
−0.5
0
Re
0.5
1
G (s) =
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
4. Determinare
Pmgli asintoti del luogo
Pn
i=1 zi
i=1 pi −
σa =
n−m
ϑa,n =
(2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
K <0
poli
1
0.8
0.6
0.4
Im
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Re
0.5
1
1.5
2
G (s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
5
Imaginary Axis (seconds−1)
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
0
−5
−6
−4
−2
Real Axis (seconds−1)
0
2
G (s) =
6. Tracciare il luogo delle radici
Root Locus
1
0.8
0.6
Imaginary Axis (seconds−1)
I
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−5
−4
−3
−2
−1
0
Real Axis (seconds−1)
1
2
3
4