1
Controlli automatici
Luogo delle radici
Ing. Alessandro Pisano
[email protected]
2
Il luogo delle radici nasce per risolvere il seguente problema:
Dati due polinomi P1(s) e P2(s), determinare come variano, al
variare del numero reale positivo k, le radici del polinomio
P(s)  P1 s   kP2 s 
k [0, )
3
Nel contesto della teoria dei controlli, tale problema si incontra nel
momento in cui si analizza il seguente sistema di controllo in retroazione
ydes t  
k
Gs 
y (t )

H s 
e ci si pone il problema di determinare la dipendenza dei poli della FdT a
ciclo chiuso dal guadagno k.
N.B. La FdT G(s) “accorpa”, a meno del guadagno k, le FdT del regolatore
e del processo
4
Schema equivalente
ydes t 
Siano
kGs 
1  kGs   H s 
N G s 
Gs  
DG s 
y(t )
N H s 
H s  
DH s 
La FdT a ciclo chiuso è
N G s 
DG s 
kNG s DH s 
kGs 
y
Wydes s  






N
s
N
s
1  kGs   H s  1  k G
DG s DH s   kNG s N H s 
H
DG s DH s 
k
5
N G s 
DG s 
kNG s DH s 
kGs 
Wyydes s  


1  kGs   H s  1  k N G s N H s  DG s DH s   kNG s N H s 
DG s DH s 
k
I suoi poli sono le radici del polinomio caratteristico
Pcar s   DG s DH s   kNG s N H s 
che può essere espresso nella forma
Pcar (s)  P1 s   kP2 s 
Operativamente, è conveniente riferirsi alla
FdT a ciclo aperto (escludendo dal ciclo il
guadagno k)
Ls   Gs  H s 
P1 s   DG s DH s 
P2 s   NG s N H s 
6
parametrizzata nella maniera seguente (fattorizzazione poli-zeri, o “PZ”)

s  z1 s  z2 ...s  zm 
Ls   k
s  p1 s  p2 ...s  pn 
Nei sistemi di controllo fisicamente realizzabili si avra sempre
nm
Il coefficiente k viene denominato “guadagno in alta frequenza”
Guadagno in HF della L(s)
k  lim s nm Ls 
s 
Pcar s   s  p1 s  p2 ...s  pn   kk s  z1 s  z2 ...s  zm 
Grado n
Poli della FdT a
ciclo aperto L(s)
Zeri della FdT a
ciclo aperto L(s)
7
Esempio
Analisi del carrello in movimento su piano con pendenza nulla
vdes t 

ev t 

kP s  kI
s
Il regolatore PI può essere espresso come
vdes t 

ev t 

kp
F (t )
1
ms  b
RPI s  
s  kI / kP
s
v(t )
kP s  kI
s  kI / kP
 kP
s
s
F (t )
1
ms  b
v(t )
8
Esempio
vdes t 

ev t 

kp
s  kI / kP
s
F (t )
1
ms  b
v(t )
L(s)
Il guadagno proporzionale kp è il parametro k rispetto al quale si desidera
“tracciare” il luogo delle radici, analizzando cosi la dipendenza dei poli a ciclo
chiuso del sistema di controllo dal guadagno kp sotto l’ipotesi che il rapporto tra
le costanti proporzionale ed integrale, ki/kp, venga mantenuto costante.
9
Esempio
vdes t 

ev t 
kp

s  kI / kP
s
F (t )
1
ms  b
v(t )
L(s)
FdT a ciclo aperto
(escludendo dal ciclo la kp)
Ls  
s  kI / kP 1
1

s
ms  b m
Sviluppiamo ulteriormente la FdT a ciclo aperto
k
k
s I
s I
1
1
s  z1
kP 1
kP
Ls  

k
b
s  p1 s  p2 
m s s b m 
s s  
m
 m
kI
kP 1
s s b
m
s
1
k
m
p1  0
kI
kP
b
p2  
m
z1  
Il valore del rapporto ki/kp, con il meno davanti, definisce la posizione dello zero z1=-ki/kp
che il regolatore “aggiunge” alla FdT L(s) a ciclo aperto. Il regolatore aggiunge alla L(s)
anche un polo nell’origine (p1=0).
10
Esempio
vdes t 

ev t 

kI
1
kP
b
m 
s s  
 m
s
kp
v(t )
L(s)
b
1
kI 

Pcar s   s s    k p  s  
m
m
kP 

Poli della L(s)
Guadagno in
HF della L(s)
Zeri della L(s)
Si osservi come nella L(s) vadano a confluire i poli e gli zeri sia del regolatore che
del processo.
La posizione dello zero è un ulteriore grado di liberta rispetto al guadagno.
La analisi del luogo delle radici associato alla L(s), che costruiremo di qui a breve,
ci fornirà importanti indicazioni in merito alla taratura del regolatore.
11
Guadagno in alta frequenza
k  lim s nm Ls 
s 
E’differente dal guadagno in bassa frequenza
Es.
Ls  
k  lim s
s 
nm
s 0
2s  1
s 2  2s  6
2ss  1
2s 2  2s
F s   lim s 2
 lim 2
2
s  s  2s  6
s  s  2s  6
1
  lim Ls   L0 
s 0
3
Ls  
  lim Ls   L0
s  1
1
31 2 1

 s  s  1
3
6

12
Il LdR è una costruzione grafica che consiste nell’insieme delle “traiettorie”
che i poli a ciclo chiuso (le n radici del polinomio Pcar(s)) percorrono nel
piano complesso quando il parametro k varia tra zero e infinito.
Si avranno pertanto n curve parametriche nel piano, orientate secondo il
verso crescente del parametro k
Es. Un possibile LdR
per n=3
k  
Im
k 0
 k
k 0
k 0
k  
Re
13
La costruzione del luogo ha inizio riportando sul piano complesso le
posizione dei poli pi e degli zeri zi della FdT a ciclo aperto
Es.
Im
n=3 m=1
x
poli
zeri
x
x
x
Re
x
I punti di partenza (k=0) degli n rami del LdR sono gli n poli della Fdt a
ciclo aperto identificati in figura.
Cio non deve stupire perché:
k 0
Pcar s   s  p1 s  p2 ...s  pn   kk s  z1 s  z2 ...s  zm 
14
Il luogo ha n rami, dei quali, per k  
m convergono verso gli zeri
n-m convergono verso direzioni asintotiche (una “stella” di
semirette che si dipartono dal punto dell’asse reale avente
ascissa xs)
Sia il luogo delle radici che l’insieme delle direzioni asintotiche risultano
essere simmetrici rispetto all’asse reale.
ASINTOTI
Centro stella
Angoli formati con l’asse
reale positivo
n
xs 
m
 p z
i 1
i
i 1
i
nm

2k  1
k 
nm
k  0,1,..., n  m 1
15
2
nm
Direzioni asintotiche adiacenti formano sempre lo stesso angolo
Se il numero delle direzioni asintotiche (n-m) è dispari, ve ne è sempre
una diretta come l’asse reale negativo, sovrapposta ad esso.
Se il numero delle direzioni asintotiche (n-m) è pari, nessuna di queste è
diretta come l’asse reale
Im
Im
16
Direzioni asintotiche adiacenti formano sempre lo stesso angolo
2
nm
Se il numero delle direzioni asintotiche è dispari, ve ne è sempre una
diretta come l’asse reale negativo, sovrapposta ad esso.
Se il numero delle direzioni asintotiche è pari, nessuna direzione
asintotica è diretta come l’asse reale
Im
Im
17
n  m 1
0  
k 0
Im
nm 3
k  0 Im
1  3 / 2
xs
nm
Re
xs
nm  2
0   / 2

2k  1
k 
Re
2  5 / 3  300
Im
0   / 3
1  
k 1
k 0
k 1
nm  4
Im
k 2
xs
k 2
k 0
k 1
Re
Re
xs
k 3
18
Appartengono al luogo delle radici tutti i segmenti dell’asse reale che
lasciano alla propria destra un numero dispari di poli e zeri
Es.
Im
n=4 m=1
zeri
x
x
x
x
poli
Re
x
I segmenti dell’asse reale identificati a seguito di tale proprietà sono tali che:
se uno di essi unisce un polo ad uno zero allora tale segmento costituisce
uno dei rami del luogo delle radici.
se uno di essi parte da un polo e poi evolve verso meno infinito allora tale
segmento costituisce uno dei rami del luogo delle radici.
19
Capita talvolta che due (o più) rami del luogo delle radici confluiscano
l’uno verso l’altro fino a incontrarsi in un punto.
Tali punti vengono chiamati punti doppi.
Tutti i punti doppi s*, se ve ne sono, soddisfano la relazione
m
n
1
1

0


*
*
i 1 s  zi
i 1 s  pi
detta “equazione dei punti doppi”
NB L’equazione dei punti doppi fornisce anche soluzioni addizionali
“non ammissibili” (in quanto non appartenenti al luogo delle radici)
che vanno scartate.
L’insieme di tutte le “regole di tracciamento” date consente di definire
in maniera alquanto attendibile l’andamento del luogo
20
Lista delle regole di tracciamento
1. Riporto sul piano complesso le posizione dei poli pi e degli zeri zi della L(s)
2. Gli n rami partono per k=0 dai poli pi e convergono, per valori di k tendenti a +,
verso gli zeri zi o verso le direzioni asintotiche
n
3. Centro stella degli asintoti
4. Direzioni asintotiche
n  m 1
nm 3
xs 
m
 p z
i 1
i
i 1
i
nm
nm  2
nm  4
21
5. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.
6. Appartengono al luogo delle radici tutti i segmenti dell’asse reale che lasciano alla
propria destra un numero dispari di poli e zeri. Se qualcuno di tali segmenti unisce un
polo ad uno zero, oppure se va da un polo verso meno infinito, allora è uno dei rami del
luogo delle radici.
7. Equazione dei punti doppi
m
n
1
1

0


*
*
i 1 s  zi
i 1 s  pi
22
Es. 1
Ls  
1
s p
ydes t 


k
1
s p
y (t )
23
Ls  
ydes t 
1
s p


1
s p
k
y (t )
Due casi:
p0
p0
Im
x
Re
p
“Velocizzazione” della
dinamica del sistema a
ciclo chiuso
Im
x
p
Re
Stabilizzazione di un
sistema instabile a ciclo
aperto (k>p)
Appartiene al luogo il segmento alla sinistra del polo, ed è anche uno dei
rami del luogo (l’unico ramo in questo caso)
Wyydes s  
k
s pk
Pcar s   s  p  k
s  pk
24
Es. 1A
1
Ls  
s2
ydes t 

k

p  2
Im
x
1
s2
y (t )
s  (2  k )
Re
2
1

2k
Guadagno a ciclo chiuso (guadagno statico)
Wyydes s  
k
s2k
g  Wyydes 0 
k
2k
Il guadagno dipende da k, e
tende ad 1 per k che tende a
infinito
25
Ci attendiamo che al crescere di k la risposta sarà sempre monotona crescente, con
tempi di assestamento via via più ridotti a seguito dell’allontanamento dall’origine
del polo a ciclo chiuso (cui corrisponde una riduzione della costante di tempo
associata). Il valore di regime delle risposte è differente al variare di k.
k
g
2k
Step Response
1
0.8
Il guadagno determina il
valore di regime della
risposta al gradino, e in
questo caso risulta
influenzato anche dai
parametri del sistema (la
posizione del polo in -2)
Amplitude
k=0.1
0.6
k=1
k=5
k=10
k=100
k=200
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
2
2.5
3
26
Es. 2
Ls  
ydes t 
1
ss  3

1
ss  3
k

Im
x
3
x
Re
Ci sarà necessariamente un punto doppio compreso tra 0 e -3.
y (t )
27
Ls  
ydes t 
1
ss  3

1
ss  3
k

Im
x
3
x
Re
 1.5
Ci sarà necessariamente un punto doppio compreso tra 0 e -3.
Centro stella
xs 
30
 1.5
2
Asintoti a + e – 90 gradi
y (t )
28
Ls  
ydes t 
1
ss  3


Se il punto doppio sta a
sinistra del centro stella
si avra un LdR
1
ss  3
k
Se il punto doppio sta a
destra del centro stella
si avra un LdR
Im
x
x
3
 1.5
y (t )
Im
Re
x
3
 1.5
x
Re
29
Equazione dei punti doppi
1
1

0
*
*
s s 3
s*  3  s*
2s *  3
*


0

s
 3 / 2  1.5
* *
* *
s s  3 s s  3
I punto doppio si trova a meta strada tra i due poli.
Per FdT L(s) del secondo ordine con poli reali e senza zeri, come il sistema a ciclo aperto
L(s) dell’esempio, questo vale sempre.
I rami del LdR avranno il
seguente andamento
Im
Interpretazione
x
3
 1.5
x
Re
30
Ls  
1
ss  3
Wyydes s  
k
ss  3  k
ydes t 

1
ss  3
k

Pcar s   s  3s  k
2
y (t )
3
9
s 
k
2
4
Per k < 9/4=2.25 abbiamo a ciclo chiuso due poli real distinti
Per k =2.25 abbiamo a ciclo chiuso due poli reali coincidenti (entrambi pari a -3/2)
Per k >2.25 abbiamo a ciclo chiuso due poli complessi coniugati (entrambi con parte
reale pari a -3/2)
Guadagno a ciclo chiuso (guadagno statico)
Wyydes s  
k
ss  3  k
g  Wyydes 0  1
Il guadagno vale sempre 1
31
Soglia:
k =2.25
Step Response
1.5
k=0.5
k=1.25
k=2.25
k=3
k=10
k=30
Amplitude
1
k1=0.5;
k2=1.25;
0.5
k3=2.25;
k4=3;
k5=10;
k6=30;
G1=tf(k1,[1 3 k1]);
G2=tf(k2,[1 3 k2]);
G3=tf(k3,[1 3 k3]);
0
0
5
10
15
G4=tf(k4,[1 3 k4]);
Time (sec)
G5=tf(k5,[1 3 k5]);
G6=tf(k6,[1 3 k6]);
step(G1,G2,G3,G4,G5,G6,[0:0.01:30]),grid,axis
legend('k=0.5','k=1.25','k=2.25','k=3','k=10','k=30')
20
25
30
32
Esempio
kI
1
kP
L( s ) 
b
m 
s s  
 m
vdes t 
s
kI
1
kP
b
m 
s s  
 m
s

kp

s  z1
Ls   k
s  p1 s  p2 
1
k
m
b
p2  
m
p1  0
v(t )
kI
z1  
kP
Due casi:
z1  p2
z1  p2
Im
x
p2
x
z1
Im
Re
x
z1
p2
x
Re
33
Esempio
z1  p2
Im
x
z1
x
p2
Punto doppio
Punto doppio
Re
34
Taratura del luogo
Il problema della taratura del luogo delle radici consiste nella determinazione
del valore del guadagno k associato ad un determinato punto P del luogo delle
radici

s  z1 s  z2 ...s  zm 
Ls   k
s  p1 s  p2 ...s  pn 
Pcar s   s  p1 s  p2 ...s  pn   kk s  z1 s  z2 ...s  zm 
k
1 1 2 ... n
k r1r2 ...rm
i  dist ( P, pi )
ri  dist ( P, zi )
dist ( P, pi )
Distanza del punto P dal generico polo pi
dist ( P, zi )
Distanza del punto P dal generico zero zi