istituto professionale “versari-macrelli”, cesena
lorenzo pantieri
matematica per le quinte
san patrignano
Dipartimento di Matematica
Anno scolastico 2015-2016
Questo
lavoro
spiega il programma di matematica agli alunni dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli” di Cesena.
Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver
sostenuto questo progetto. Ringrazio
inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni,
Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l’aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un “grazie” altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un’opera che senza il loro
contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio.
Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed
è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del
secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare
le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino
di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per
chiarire se si tratta di un’incomprensione vostra o
di uno sbaglio mio. È con questo spirito che
ho scritto questo lavoro: spero che
possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere.
♥
Lorenzo Pantieri
Matematica per l’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
c 2015
Copyright + [email protected]
Il frontespizio riproduce la xilografia Altro Mondo II di Maurits Cornelis Escher
e l’incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.
INDICE
1
2
3
4
5
statistica
1
1.1 Fasi di un’indagine statistica
1
1.1.1 Definizione del fenomeno
1
1.1.2 Individuazione della popolazione
1.1.3 Rilevamento dei dati
2
1.1.4 Elaborazione e rappresentazione
1.2 Tabelle di frequenza
4
1.2.1 Frequenze assolute
4
1.2.2 Frequenze relative
5
1.2.3 Frequenze percentuali
5
1.2.4 Raggruppamento per classi
5
1.3 Rappresentazioni grafiche
7
1.4 Indici statistici
8
1.4.1 Moda
8
1.4.2 Media
8
1.4.3 Mediana
9
1.5 Esercizi
12
2
3
equazioni di secondo grado
19
2.1 Radici quadrate e numeri reali
19
2.2 Risoluzione delle equazioni di secondo grado
2.3 Esercizi
27
parabola
35
3.1 Appartenenza di un punto a una parabola
3.2 Disegno di parabole
37
3.3 Esercizi
45
matematica per l’economia
4.1 Problemi di scelta
49
4.2 Problemi di costi e ricavo
4.3 Esercizi
62
49
52
disequazioni
71
5.1 Intervalli sulla retta reale
71
5.2 Diseguaglianze e disequazioni
5.3 Principi di equivalenza
74
5.4 Disequazioni lineari
75
5.5 Disequazioni di secondo grado
73
80
21
36
iv
indice
5.6
5.7
Disequazioni fratte
Esercizi
96
90
1
S TAT I S T I C A
La statistica è una scienza nata per analizzare e descrivere fenomeni d’importanza sociale che riguardano uno Stato. Oggi viene applicata in tutti quei campi
dove intervengono fenomeni collettivi, la cui mancanza di ripetitività ne rende
impossibile lo studio attraverso la sperimentazione.
Sono fenomeni collettivi quei fatti che abbracciano un gran numero di fenomeni
individuali fra loro simili. Per esempio, il fatto che Luciana è alta 165 cm è un
fenomeno individuale, mentre l’altezza dei coetanei di Luciana è un fenomeno
collettivo. Il fatto che io vengo a scuola in auto è fenomeno individuale, mentre
il mezzo impiegato da tutti i docenti e alunni della mia scuola è un fenomeno
collettivo.
L’aumento della popolazione di uno Stato o la diminuzione dei posti di lavoro
in un certo settore sono fenomeni collettivi, e lo studio di un fenomeno collettivo
avviene attraverso la statistica che raccoglie e analizza le informazioni riguardanti
il fenomeno considerato e permette di fare previsioni sul suo andamento.
1.1
fasi di un’indagine statistica
Per compiere un’indagine statistica si segue uno schema che, in linea di massima,
è costituito da quattro fasi essenziali:
1. si definisce il fenomeno su cui si vuole indagare
2. si individua la popolazione interessata
3. si raccolgono i dati
4. si elaborano, rappresentano e interpretano i dati raccolti
1.1.1 Definizione del fenomeno
Il primo passo di un’indagine statistica è definire il fenomeno su cui vogliamo
indagare. Se per esempio vogliamo esaminare il fenomeno “distribuzione demografica in una città”, è opportuno precisare se vogliamo un esame che riguardi:
• il numero degli abitanti
• la distribuzione secondo il reddito
• il numero di maschi e femmine
• la distribuzione secondo l’impiego
2
statistica
1.1.2 Individuazione della popolazione
Definito il fenomeno, va chiarita la collettività a cui il fenomeno si riferisce e
sulla quale verrà quindi svolta l’indagine. In termini statistici tale collettività si
chiama popolazione statistica o, semplicemente, popolazione; ogni singolo elemento
della popolazione si chiama unità statistica. Costituiscono una popolazione, per
esempio:
• gli alunni di una scuola
• gli impiegati di un’azienda
• i docenti di una scuola
• i residenti nel Comune di Cesena
Variabili statistiche
Se consideriamo una popolazione statistica, per esempio gli alunni di una scuola,
ogni unità statistica (ogni alunno) differisce da un’altra unità per una o più caratteristiche: l’età, il sesso, l’altezza, la media dei voti, il mezzo di trasporto usato per
recarsi a scuola, il Comune di residenza, il numero dei fratelli, la professione dei
genitori.
Queste caratteristiche prendono il nome di variabili statistiche (o caratteri statistici)
ed è rispetto a una o più di queste variabili che si effettua l’indagine statistica. Le
variabili statistiche possono essere:
• variabili quantitative, se espresse da un numero
• variabili qualitative, se non possono essere espresse da un numero
Sono variabili quantitative, per esempio:
• l’altezza
• l’età
• il peso
• la media dei voti
mentre sono variabili qualitative:
• il sesso
• il Comune di residenza
• il mezzo di trasporto
• la professione dei genitori
Un’indagine statistica consiste nell’analizzare come una popolazione statistica si
distribuisce rispetto a una certa variabile statistica.
1.1.3 Rilevamento dei dati
Il fenomeno, la popolazione e le variabili statistiche su cui vogliamo indagare ci
suggeriranno come meglio procedere nella fase di rilevamento dei dati.
1.1 fasi di un’indagine statistica
Tabella 1: Altezze di alcuni alunni di quinta del “Versari-Macrelli’: dati grezzi
Nome
Maria
Giulio
Mario
Ernesto
Giorgio
Elena
Vittorio
Marco
Eleonora
Fabio
Altezza
(cm)
165
168
174
177
166
168
174
168
165
165
Nome
Ettore
Massimo
Cristian
Rossana
Elisabetta
Roberto
Walter
Nicoletta
Sara
Nicola
Altezza
(cm)
174
177
165
166
158
165
166
186
165
168
Il rilevamento dei dati può essere diretto (o completo) se viene eseguito direttamente su tutte le unità statistiche della popolazione interessata al fenomeno. Ciò è
possibile quando la popolazione è formata da un numero non eccessivo di unità e
ogni unità statistica può quindi essere contattata e intervistata.
Spesso, però, la popolazione è talmente vasta da non permettere il rilevamento diretto. Si deve quindi scegliere all’interno della popolazione un opportuno
campione rappresentativo su cui si eseguirà l’indagine. In questo caso si parla di
rilevamento indiretto (o per campione), perché viene eseguito solo su una parte della
popolazione.
Scelto il metodo per il rilevamento dei dati, diretto o per campionamento, si passa alla raccolta delle informazioni che può avvenire tramite interviste, questionari,
consultazione di archivi o pubblicazioni specializzate.
1.1.4 Elaborazione e rappresentazione
Questa fase, nel suo complesso, abbraccia diversi momenti:
• si esegue lo spoglio delle informazioni per ricavare i dati statistici
• si trascrivono i dati in una tabella
• dall’esame di questa tabella si arriva all’elaborazione vera e propria dei dati
• si rappresentano i risultati dell’indagine mediante opportuni grafici
3
4
statistica
1.2
tabelle di frequenza
Esercizio 1. Supponiamo di aver indagato sul fenomeno “altezza degli alunni di quinta dell’Istituto Versari-Macrelli” e di avere raccolto informazioni
relative a 20 alunni (tabella 1). Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo
i dati raccolti.
In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle classi quinte del
“Versari-Macrelli”; le unità statistiche sono gli alunni di quinta; la variabile statistica che si vuole studiare è l’altezza, che è un numero intero e quindi è una variabile
quantitativa.
1.2.1 Frequenze assolute
Eseguiamo lo spoglio delle informazioni.
valori in ordine crescente (tabella 2).
Innanzitutto conviene riscrivere i
Tabella 2: Altezze di alcuni alunni di quinta del “Versari-Macrelli’: valori in ordine
crescente
158
168
165
168
165
168
165
168
165
174
165
174
165
174
166
177
166
177
166
186
Dopo di che si realizza una tabella dove nella prima colonna scriveremo tutte
le altezze registrate e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno
quell’altezza (tabella 3).
Tabella 3: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute
Altezza (cm)
Numero di alunni
158
1
165
6
166
3
168
4
174
3
177
2
186
1
Totale
20
La tabella 3 può già fornirci un’immagine del fenomeno. I numeri riportati
nella seconda riga (numero degli alunni) rappresentano la frequenza assoluta di
ciascun valore (altezza), ovvero il numero di volte con cui quel valore si presenta
nell’indagine.
1.2 tabelle di frequenza
Tabella 4: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute, relative e percentuali
Altezza
(cm)
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
158
165
166
168
174
177
186
Totale
1
6
3
4
3
2
1
20
1/20 = 0,05
6/20 = 0,30
3/20 = 0,15
4/20 = 0,20
3/20 = 0,15
2/20 = 0,10
1/20 = 0,05
1
5
30
15
20
15
10
5
100
1.2.2 Frequenze relative
Può essere utile indicare per ciascun valore il rapporto tra la sua frequenza
assoluta e il totale dei dati esaminati; in questo caso si parla di frequenza relativa
di un valore. Per ottenere la frequenza relativa di un valore si applica la seguente
formula:
frequenza assoluta
frequenza relativa =
totale dei dati
Applicando la formula precedente alla tabella 3 delle altezze dei 20 alunni
otteniamo la tabella 4.
1.2.3 Frequenze percentuali
La frequenza percentuale di un valore è la sua frequenza relativa moltiplicata
per 100. Per ottenere la frequenza percentuale di un valore si applica la seguente
formula:
frequenza assoluta
frequenza percentuale =
· 100
totale dei dati
1.2.4 Raggruppamento per classi
Esercizio 2. Supponiamo di eseguire un’indagine sul fenomeno “peso dei
ragazzi iscritti a una scuola di calcio” e di raccogliere i valori relativi a 60
ragazzi nella tabella 5a. Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati
raccolti.
5
6
statistica
Tabella 5: Peso in kg di alcuni ragazzi iscritti a una scuola di calcio
(a) Valori grezzi
50
61
72
65
80
72
60
76
57
78
69
64
65
58
62
66
81
73
70
77
68
61
59
68
66
62
85
71
68
82
57
79
65
54
81
63
71
70
85
70
61
69
67
55
73
54
65
69
67
78
58
68
60
82
75
74
73
74
80
85
59
65
68
72
78
85
60
65
68
72
78
85
(b) Valori in ordine crescente
50
60
65
69
73
79
54
61
65
69
73
80
54
61
66
69
73
80
55
61
66
70
74
81
57
62
67
70
74
81
57
62
67
70
75
82
58
63
68
71
76
82
58
64
68
71
77
85
L’elaborazione di questi valori non è semplice, in quanto si tratta di numeri completamente diversi tra loro. Calcolare le frequenze, assolute o relative, risulterebbe
non solo laborioso, ma sopratutto poco significativo.
In casi del genere si procede raggruppando i valori e realizzando tabelle suddivise per classi. Innanzitutto riscriviamo i valori in ordine crescente (tabella 5b).
Consideriamo l’intervallo numerico tra il valore più piccolo e quello più grande,
ovvero 50 kg ÷ 85 kg; esso rappresenta il campo di variazione della variabile statistica considerata. Consideriamo gli estremi del campo di variazione ed eseguiamo la
loro differenza, che vale 35 kg (85 kg − 50 kg = 35 kg). Questa differenza è detta ampiezza del campo di variazione, ed è l’ampiezza del raggruppamento di tutti i valori.
Suddividiamo l’ampiezza in opportuni intervalli uguali, ciascuno di ampiezza
5 kg, definendo le classi di peso riportate nella tabella 6.
Tabella 6: Classi di peso (in kg) dei ragazzi
Classe
Intervallo
1
50 ÷ 54
2
55 ÷ 59
3
60 ÷ 64
4
65 ÷ 69
5
70 ÷ 74
6
75 ÷ 79
7
80 ÷ 84
8
85 ÷ 89
In queste otto classi sistemiamo la nostra popolazione: basterà considerare i
ragazzi appartenenti a ogni classe per avere la frequenza della classe, ovvero la
distribuzione di frequenza del raggruppamento dei valori (tabella 7).
1.3 rappresentazioni grafiche
Tabella 7: Peso in kg dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio, suddivisi per classe
1.3
Classi
di peso (kg)
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
50 ÷ 54
55 ÷ 59
60 ÷ 64
65 ÷ 69
70 ÷ 74
75 ÷ 79
80 ÷ 84
85 ÷ 89
Totale
3
6
9
15
12
6
6
3
60
0,05
0,10
0,15
0,25
0,20
0,10
0,10
0,05
1
5
10
15
25
20
10
10
5
100
rappresentazioni grafiche
I dati raccolti nelle tabelle precedenti si possono rappresentare graficamente. I
grafici più usati sono gli istogrammi e i diagrammi a torta. La scelta del grafico
dipende dal tipo di tabelle che abbiamo creato.
Esistono vari software che, partendo dalla serie dei dati raccolti, realizzano automaticamente il grafico desiderato. I più usati sono i programmi per l’elaborazione
dei cosiddetti “fogli elettronici” (tra cui il popolare Microsoft Excel).
Se si ha una tabella delle frequenze assolute (come la tabella 3), il grafico più
opportuno è l’istogramma, serie di barre verticali la cui altezza è proporzionale
al valore della frequenza. La figura 1a, per esempio, rappresenta i valori della
tabella 3, relativi all’esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta.
Se si ha una tabella delle frequenze relative o percentuali (come la tabella 4), il
grafico più opportuno è il diagramma a torta, che dà un immediato messaggio visivo
di come sono distribuiti i valori statistici. La figura 1b, per esempio, rappresenta i
valori della tabella 4, relativi al caso dell’esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di
quinta.
Una tabella per classi differisce da una tabella semplice solo per il fatto che si ha
a che fare non con singoli valori ma con intervalli di valori. Una tabella per classi
come la 7, per esempio, relativa all’esercizio 2 dei pesi dei 60 ragazzi iscritti alla
scuola di calcio, può quindi essere rappresentata da un istogramma (figura 2a) o
da un diagramma a torta (figura 2b).
7
statistica
1.4
indici statistici
Gli indici statistici sono i risultati di funzioni matematiche che vengono utilizzati per effettuare una sintesi dei dati. Gli indici usati più spesso sono gli indici
di posizione, che danno un’idea approssimata dell’ordine di grandezza dei valori
esistenti. I principali indici di posizione sono la moda, la media e la mediana.
1.4.1 Moda
Si chiama moda di un’indagine statistica il valore che ha la frequenza maggiore.
In una distribuzione può esserci un solo valore che ha la frequenza maggiore,
oppure due valori o più: in tal caso si parla di distribuzione unimodale, bimodale,
trimodale, e così via.
Per esempio, la moda dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 4.
Nel caso dell’esercizio 1 la frequenza maggiore è 6, e corrisponde al numero di
alunni alti 165 cm. Quindi la moda è 165 cm.
1.4.2 Media
La media aritmetica (o semplicemente media) è la somma di tutti i valori, ciascuno
sommato tante volte quante figura nei dati, divisa per il numero dei dati. Per
esempio, la media dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è:
media =
35
4 + 4 + 8 + 9 + 10
=
=7
5
5
165
6
6
Numero di alunni
8
166
4
4
3
30%
15%
158
5%
3
5%
2
2
1
168
0
158 165 166 168 174 177 186
Altezza in cm
(a) Istogramma
186
20%
1
10%
15%
177
174
(b) Diagramma a torta (altezza in cm)
Figura 1: Rappresentazioni grafiche del fenomeno “altezza degli alunni di quinta”
1.4 indici statistici
15
Numero di alunni
15
12
10
60 ÷ 64
9
6
6
6
55 ÷ 59
15%
65 ÷ 69
10%
5
3
3
25%
0
5
55 4
÷
5
60 9
÷
6
65 4
÷
6
70 9
÷
7
75 4
÷
7
80 9
÷
8
85 4
÷
89
10%
50
÷
Peso in kg
(a) Istogramma
85 ÷ 89
10%
20%
70 ÷ 74
50 ÷ 54
5%
5%
80 ÷ 84
75 ÷ 79
(b) Diagramma a torta (peso in kg)
Figura 2: Rappresentazioni del fenomeno “peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio”
In presenza di una tabella delle frequenze assolute (come la 3 dell’esercizio 1),
la media si calcola più agevolmente sommando il prodotto di ciascun valore per la
propria frequenza assoluta e dividendo il risultato per il numero dei dati.
media =
158 · 1 + 165 · 6 + 166 · 3 + 168 · 4 + 174 · 3 + 177 · 2 + 186 · 1
cm = 169 cm
20
1.4.3 Mediana
Si dice mediana di un insieme di valori statistici numerici disposti in ordine crescente, ciascuno preso tante volte quante figura nei dati, il valore che occupa il posto
centrale se i dati sono in numero dispari, oppure la media aritmetica dei due valori
centrali se i dati sono in numero pari.
Per esempio, la mediana dei cinque valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 8 (il termine centrale è
il terzo, che ha due valori a sinistra e due valori a destra).
Per calcolare in maniera semplice qual è o quali sono i termini centrali, basta
dividere per 2 il numero totale dei dati. Nell’esercizio 1 abbiamo una serie di venti
valori. Poiché venti è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due
valori centrali. Poiché 20 diviso 2 fa 10, i termini centrali sono il decimo (che ha
nove valori che lo precedono) e l’undicesimo (che ha nove valori che lo seguono).
Questi valori sono uguali rispettivamente a 166 cm e 168 cm (tabella 8). Quindi la
mediana è (166 + 168)/2 cm= 167 cm.
9
statistica
5
6
Numero di alunni
10
4
4
18.75%
25%
3
4
3
6.25%
2
2
2
12.5%
1
1
12.5%
7
10
6.25%
18.75%
0
4
5
6
7
Voto
8
9
10
8
9
(a)
(b)
Figura 3: Rappresentazioni del fenomeno “voto di matematica degli alunni di prima”
Esercizio 3. Supponiamo di aver svolto un’indagine statistica sul voto finale di matematica degli alunni iscritti al primo anno dell’istituto “VersariMacrelli” e di aver raccolto informazioni relative a 16 alunni (tabella 9). Calcola le frequenze relative e percentuali, rappresenta i dati graficamente e
calcola gli indici di posizione.
In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle prime dell’istituto
“Versari-Macrelli”; le unità statistiche sono gli alunni iscritti al primo anno; la
variabile statistica che si vuole studiare è il voto finale di matematica, che è un
numero intero (compreso tra 1 e 10) e quindi è una variabile quantitativa.
Eseguiamo lo spoglio delle informazioni realizzando la tabella delle frequenza
assolute (dove nella prima colonna scriveremo tutti voti registrati e nella seconda
colonna il numero degli alunni che hanno riportato quel voto), delle frequenze
relative (rapporto tra la frequenza assoluta di un voto e il totale dei voti registrati)
e percentuali (tabella 10).
La figura 3 mostra l’istogramma dei valori e il diagramma a torta.
Determiniamo gli indici di posizione.
• La frequenza maggiore è 4, e corrisponde al numero di alunni che hanno
Tabella 8: I valori centrali sono 166 e 168
158
168
165
168
165
168
165
168
165
174
165
174
165
174
166
177
166
177
166
186
1.4 indici statistici
Tabella 9: Voti finali di matematica di alcuni alunni di prima del “Versari-Macrelli”
Nome
Voto
Marco
Anna
Luigi
Lucia
Francesco
Elena
Carlo
Giulia
Nome
Voto
Angela
Pietro
Giorgia
Michela
Sergio
Roberta
Aldo
Giovanna
6
8
5
9
10
6
9
6
7
4
10
6
5
5
9
7
riportato un voto finale pari a 6: quindi la moda è 6.
• La media è:
media =
4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 4 + 7 · 2 + 8 · 1 + 9 · 3 + 10 · 2
=7
16
• Per calcolare la mediana conviene riscrivere i valori in ordine crescente (tabella 11).
Tabella 11: Voti in ordine crescente
4
7
5
7
5
8
5
9
6
9
6
9
6
10
6
10
Poiché i valori sono sedici, che è un numero pari, la mediana è la media
aritmetica dei due valori centrali, che sono l’ottavo (che ha sette valori che
Tabella 10: Frequenze assolute, relative e percentuali
Voto
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
4
5
6
7
8
9
10
Totale
1
3
4
2
1
3
2
16
0,0625
0,1875
0,2500
0,1250
0,0625
0,1875
0,1250
1
6,25
18,75
25,00
12,50
6,25
18,75
12,50
100
11
12
statistica
lo precedono) e il nono (che ha sette valori che lo seguono); questi valori
sono uguali rispettivamente a 6 e a 7. Quindi la mediana è (6 + 7)/2 =
6,5.
1.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
1
Da un’indagine sulla distribuzione delle altezze in un gruppo di studenti sono stati
rilevati i seguenti valori grezzi (espressi in cm):
175
164
174
190
168
174
175
175
169
185
177
176
173
188
183
188
160
164
174
171
165
175
166
172
170
160
181
181
172
177
173
185
177
176
166
184
172
184
172
183
170
180
174
175
173
176
165
173
182
168
180
181
Raggruppa i valori in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza.
Calcola poi frequenza relativa e percentuale.
2
Data la seguente distribuzione dei risultati dei test d’ingresso di matematica in una
scuola media, sapendo che l’indagine è stata svolta su 200 alunni, determina frequenze
assolute e relative.
Voto
Frequenza percentuale
Frequenza assoluta
Frequenza relativa
3
5%
4
10%
5
25%
6
40%
7
15%
8
3%
9
2%
3
Rappresenta attraverso un diagramma a torta la seguente tabella statistica, che
indica le ore di studio giornaliere di uno studente.
Giorno
Ore di studio
lunedì
2
martedì
6
mercoledì
5
giovedì
2
venerdì
3
sabato
4
domenica
0
4
Rappresenta con un istogramma i dati riportati nella seguente tabella relativi alla
vendita di automobili da un concessionario nell’anno 2014.
Marca automobile
Renault
Fiat
Ford
Toyota
Alfa Romeo
Auto vendute
50
270
120
40
30
1.5 esercizi
Uno studente universitario di Fisica ha superato 28 esami con queste valutazioni:
5
18
28
25
24
26
22
23
25
30
24
21
27
24
24
20
21
29
23
28
28
24
18
21
25
23
26
28
23
Organizza i valori in una tabella e rappresentali tramite un istogramma.
6
Un insegnante di Fisica, per mostrare che le misure di uno stesso oggetto sono
soggette ad errori che dipendono dall’osservatore, ha fatto misurare la lunghezza di una
cattedra con un metro a ciascun alunno della propria classe. I risultati sono stati i seguenti:
Lunghezza (cm)
Frequenza
100,8
1
100,9
7
101,0
6
101,1
3
101,2
3
Qual è la lunghezza media della cattedra?
[101,0 cm]
7
Sono dati i seguenti punteggi a un test sostenuto da un gruppo di otto studenti: 20,
[20; 15; 16]
24, 20, 15, 8, 5, 11, 17. Calcola la moda, la media e la mediana.
8
In un gruppo di studenti universitari la valutazione dell’esame di biologia risulta
così distribuita: 29, 24, 28, 18, 23, 19, 20, 24, 30, 20, 21, 30, 22, 30, 23, 24, 27, 29, 29, 30.
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta i dati in un grafico a piacere
c. Calcola moda, media e mediana
[30; 25; 24]
9
È stata effettuata un’indagine statistica riguardo al numero di libri letti nella scorsa
estate. I dati sono raccolti nella seguente tabella:
Numero di libri letti
Numero di persone
0
6
1
5
2
1
3
4
4
1
5
2
6
0
7
1
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta i dati in un grafico scelto a piacere
c. Calcola moda, media e mediana
10
[0; 2; 1]
Indica la risposta corretta.
a. Se compi un’indagine sul peso degli allievi della tua scuola, la popolazione è costituita?
A
dagli allievi della scuola
C
dal peso di ciascun allievo
B
dai pesi degli allievi della tua scuo-
D
da ciascun allievo della scuola
la
13
14
statistica
b. La frequenza percentuale si ottiene:
A
dividendo la frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute
B
moltiplicando la frequenza assoluta per 100
C
moltiplicando la frequenza relativa per 100
D
dividendo la frequenza relativa per 100
c. La mediana:
A
è la somma dei valori delle singole osservazioni diviso per il loro numero
B
è il valore centrale di un insieme di valori ordinati (se i dati sono dispari)
C
è il valore che si presenta con la massima frequenza in un insieme di valori
D
indica la percentuale di valori al di sopra o al di sotto della media
d. Sia data la seguente distribuzione di valori: 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7. Allora, la moda,
la media e la mediana valgono rispettivamente:
A
la moda è 4, la media è 5, la mediana è 6
B
la moda è 6, la media è 4, la mediana è 5
C
la moda è 6, la media è 5, la mediana è 4
D
la moda è 4, la media è 5, la mediana è 5
e. Nella tua classe la moda dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
in media gli alunni sono alti 165 cm
f. Nella tua classe la media dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
la somma delle altezze degli alunni diviso per il numero degli alunni è 165 cm
g. Nella tua classe la mediana dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
1.5 esercizi
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
in media gli alunni sono alti 165 cm
[Una risposta A, due B, due C e due D]
11
Sono state misurate le pulsazioni al minuto di 20 persone ottenendo i seguenti dati:
66 67 67 68 68 68 69 69 69 70 70 71 72 72 72 72 74 77 79 80.
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta graficamente i dati
c. Calcola moda, media e mediana
[72; 71; 70]
12
Stabilisci se le seguenti proposizioni sono corrette: se lo sono giustificale, altrimenti
mostra che sono false attraverso un controesempio.
a. Se due sequenze di numeri hanno la
stessa media, allora hanno anche la
stessa mediana.
V F
b. Se due sequenze di numeri hanno la
stessa mediana, allora hanno anche la
stessa media.
V F
c. Esistono sequenze di numeri per cui
la moda, la media e la mediana
coincidono.
V
F
d. La moda di una sequenza di numeri interi è sempre un numero
V
intero.
F
e. La mediana di una sequenza di numeri interi è sempre un numero
V
intero.
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
13
Venti ragazzi sono stati sottoposti a una verifica; i dati seguenti indicano il numero
di errori commessi da ciascuno di loro: 3, 0, 0, 5, 1, 6, 8, 3, 9, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 9.
a. Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze
b. Rappresenta graficamente i dati
c. Calcola moda, media e mediana
d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno di 5 errori?
[2; 4; 3]
[60%]
14
I dati riportati in tabella si riferiscono al numero di giorni di assenza degli alunni
di una classe.
15
16
statistica
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Mauro
Antonio
Paola
Luisa
Carla
3
6
2
1
0
Romeo
Anna
Luca
Amedeo
Marco
8
3
6
3
1
Bruna
Pietro
Nicola
Aldo
Luigi
7
9
1
5
2
Silvia
Alessio
Patrizia
Franca
Chiara
0
2
6
9
6
a. Organizza i dati in una tabella comprensiva delle frequenze percentuali
b. Rappresenta i dati con un istogramma
c. Calcola moda, media e mediana
[6; 4; 3]
d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno assenze rispetto alla media? [55%]
15
Quattro amici sostengono l’Esame di Stato conseguendo punteggi la cui media aritmetica è 77,5/100. Se tre di essi hanno conseguito un punteggio, in centesimi, rispettiva[84]
mente di 70, 76 e 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente?
16
La media aritmetica di 11 numeri è 4850. Se ciascuno degli undici numeri viene
[4840]
diminuito di 10, quanto diventa la loro media aritmetica?
17
I 25 alunni della terza C, dopo aver raccolto i voti conseguiti nella verifica scritta di
matematica, hanno costruito il seguente grafico:
5
4
28%
12%
3
4%
4%
32%
8
12%
6
9
8%
7
Quanti ragazzi hanno conseguito come voto 7?
18
[3]
Indica la risposta corretta.
a. Lo sfruttamento medio della capacità ricettiva di un albergo è uguale all’88% durante i tre mesi estivi e al 44% durante i rimanenti mesi dell’anno. Qual è lo
sfruttamento medio relativo all’intero anno?
A
46%
B
50%
C
55%
D
66%
b. Antonio, Carlo, Giovanni, Filippo e Matteo fanno una gara di tiro a segno. Antonio e Filippo totalizzano ciascuno 16 punti, Carlo totalizza 18 punti, Giovanni ne
totalizza 14 e Matteo 10. Qual è il punteggio medio realizzato dai cinque amici?
1.5 esercizi
A
B
11,6
C
14,8
D
15
15,2%
c. La media degli studenti promossi da una scuola, nei quattro anni 2010-2013, è stata
di 325 studenti l’anno, mentre nei cinque anni 2010-2014 la media è stata superiore del 20% rispetto al precedente intervallo temporale. Quanti studenti sono stati
promossi dalla scuola nel 2014?
A
B
390
C
455
D
600
650
d. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è vera.
A
La mediana di un insieme di dati può essere uguale alla media.
B
La media di un insieme di dati non può mai essere uguale a zero.
C
La moda di un insieme di dati non può mai essere uguale alla mediana.
D
La media di un insieme di dati non può mai essere uguale alla moda.
e. Mario, Luigi e Giacomo pesano complessivamente 210 kg. Sapendo che Mario e
Luigi pesano rispettivamente 3 kg in meno e 4 kg in più della media aritmetica fra i
pesi di tutti e tre, quanto pesa Giacomo?
A
B
68 kg
C
69 kg
D
70 kg
71 kg
f. Le temperature massime giornaliere registrate a Cesena in una settimana sono le
seguenti:
Giorno
Temperatura
lunedì
29 ◦ C
martedì
30 ◦ C
mercoledì
32 ◦ C
giovedì
31 ◦ C
venerdì
28 ◦ C
sabato
30 ◦ C
domenica
30 ◦ C
Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A
La temperatura media è quella registrata martedì.
B
La temperatura modale è quella registrata mercoledì.
C
La temperatura mediana è quella registrata sabato.
D
La temperatura mediana è uguale alla temperatura modale.
g. Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell’anno uno stipendio mensile
di 1000 e. Nei 9 mesi successivi lo stipendio mensile è aumentato di 400 e. Qual è
lo stipendio medio nell’anno di quell’impiegato?
A
1250 e
B
1300 e
C
1350 e
D
1400 e
h. La media dei voti ottenuti in un compito in classe è stata 6 e la mediana 5,5. Il
professore decide di alzare tutti i voti di mezzo punto. Allora:
17
18
statistica
A
la media resta invariata e la mediana aumenta di 0,5
B
la media aumenta di 0,5 e la mediana resta invariata
C
sia la media che la mediana restano invariate
D
sia la media che la mediana aumentano di 0,5
i. La mamma di Andrea ha firmato sul libretto scolastico i seguenti voti di matematica: 7, 5, 6, 4. Andrea rientra con un quinto voto dell’ultimo compito in classe e dice
alla mamma: «Ho ottenuto la media aritmetica del 6». Quale voto ha preso Andrea?
A
6
B
C
7
8
D
9
j. Uno studio statistico sulle altezze, misurate in metri, dei componenti di una classe
di 20 studenti ha condotto ai seguenti risultati.
Moda
1,87 m
Media
1,76 m
Mediana
1,74 m
In base a queste informazioni, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
A
Nessuno studente della classe è alto 1,90 m
B
La somma delle altezze degli studenti della classe è 35,2 m
C
Gli studenti della classe che hanno altezza inferiore a 1,74 m sono 9
D
Almeno uno studente della classe ha altezza uguale a 1,76 m
[Due risposte A, tre B, due C e tre D]
2
2.1
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
radici quadrate e numeri reali
Ricordiamo che il quadrato di un numero reale a è il numero, sempre maggiore
o uguale a zero, che si ottiene moltiplicando a per se stesso. L’operazione inversa
dell’elevamento al quadrato si chiama radice quadrata.
Definizione 1. La radice quadrata di un numero a > 0, detto radicando, è quel
√
numero b > 0 che elevato al quadrato dà a. In simboli: b = a ⇐⇒ b2 = a.
Non esiste la radice quadrata di un numero negativo, perché non esiste nessun numero che elevato al quadrato dia come risultato un numero negativo. Per
esempio:
√
√
• 9 = 3, perché 32 = 9
• 1 = 1, perché 12 = 1
√
√
• 0 = 0, perché 02 = 0
• 25 = 5, perché 52 = 25
√
r
2
• −16 non esiste, perché il radican9
9
3
3
=
•
= , perché
do è negativo
16
4
4
16
√
Poniamoci questo problema: quanto vale 2? Dalla definizione di radice qua√ 2
√
drata sappiamo che 2 = 2. Poiché 12 = 1 e 22 = 4, ne segue che che 1 < 2 < 2.
Il valore cercato non è quindi un numero intero. Può essere un numero decimale
finito? Costruiamo una tabella che contenga nella prima riga i numeri con una sola
cifra decimale compresi tra 1 e 2 e nella seconda riga i rispettivi quadrati:
x
x2
1,1
1,21
1,2
1,44
1,3
1,69
1,4
1,96
1,5
2,25
1,6
2,56
1,7
2,89
1,8
3,24
1,9
3,61
Osserviamo che il numero 2 è compreso tra 1,42 e 1,52 , di conseguenza 1,4 <
√
2 < 1,5. Anche se abbiamo
√ ristretto l’intervallo in cui si trova, non possiamo
ancora
precisare
il
valore
di
2. Diciamo che 1,4 è un valore
per difetto
√
√ approssimato √
di 2, mentre
1,5
è
un
valore
approssimato
per
eccesso
di
2.
Scrivendo
2 = 1,4
√
oppure 2 = 1,5 commettiamo un errore minore di 1/10.√
Per migliorare l’approssimazione e tentare di ottenere 2 come numero decimale finito costruiamo una tabella di numeri decimali con due cifre compresi tra 1,4
e 1,5:
20
equazioni di secondo grado
x
x2
1,41
1,9881
1,42
2,0164
1,43
2,0049
1,44
2,0736
√
Ora possiamo dire che 1,41 è un valore approssimato per difetto di 2 mentre 1,42 è un valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordine di 1/100.
Abbiamo quindi migliorato
√ l’approssimazione e di conseguenza abbiamo ristretto
l’intervallo in cui si trova
√ 2, ma ancora non abbiamo trovato un numero decimale
finito che sia uguale a 2.
√
Per migliorare ancora l’approssimazione e tentare di ottenere 2 come numero
decimale finito costruiamo una tabella di numeri decimali con tre cifre compresi
tra 1,41 e 1,42:
x
x
1,411
1,990
1,412
1,993
1,413
1,996
1,414
1,999
1,415
2,002
1,416
2,005
√
Ora possiamo dire che 1,414 è un valore approssimato per difetto di 2 mentre 1,415 è un valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordine
√ di 1/1000,
ma non abbiamo trovato un numero decimale finito che sia uguale a 2.
Continuando con lo stesso procedimento si possono costruire due sequenze di
numeri decimali che approssimano una per difetto e una per eccesso il numero
√
cercato, restringendo ogni volta l’ampiezza dell’intervallo in cui si trova 2. Si
dimostra che il procedimento continua all’infinito
√ e le cifre decimali che troviamo
non si ripetono periodicamente. Il numero 2 è dunque un numero decimale a
infinite cifre non periodico. Riportiamo le prime cifre decimali del numero:
√
2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 . . .
√
Poiché 2 è un numero decimale a infinite
cifre non periodico, esso non si può
√
2
non
è un numero razionale.
scrivere come
frazione.
In
altre
parole,
√
Oltre a 2 ci sono infiniti numeri che non si possono scrivere come frazioni. Per
esempio, tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti.
Per esempio:
√
3 = 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 506 . . .
Un altro famoso numero non razionale che si incontra in geometria è il numero π,
che corrisponde alla misura della circonferenza di diametro 1:
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 280 . . .
Questi numeri sono detti numeri irrazionali. L’insieme dei numeri irrazionali si
indica con J.
2.2 risoluzione delle equazioni di secondo grado
Definizione 2. L’unione dell’insieme Q dei numeri razionali e dell’insieme J
dei numeri irrazionali costituisce l’insieme R dei numeri reali.
Si dimostra che esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti della
retta geometrica e l’insieme R dei numeri reali. Da ciò segue la possibilità di definire sulla retta un sistema di coordinate: a ogni punto corrisponde un numero reale
(la sua ascissa) e viceversa a ogni numero reale è associato uno e un solo punto
sulla retta. Una possibilità analoga si ha nel piano, dove il sistema di assi cartesiani permette di realizzare una corrispondenza biunivoca tra coppie di numeri reali
(ascissa e ordinata del punto) e un punto del piano geometrico.
2.2
risoluzione delle equazioni di secondo grado
Definizione 3. Un’equazione di secondo grado è un’equazione riconducibile alla forma normale ax2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri reali, con a 6= 0.
I valori a, b e c si chiamano coefficienti e, in particolare, c è detto termine
noto.
Un’equazione di secondo grado si dice:
• pura quando il secondo coefficiente è nullo: ax2 + c = 0
• spuria quando il terzo coefficiente è nullo: ax2 + bx = 0
• completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero: ax2 + bx + c = 0
Per esempio, le equazioni
x2 − 9 = 0
x2 − 4x = 0
x2 − 5x + 6 = 0
sono rispettivamente pura, spuria e completa.
Equazioni pure
Un’equazione di secondo grado pura si risolve nel modo seguente:
• si porta al secondo membro il termine noto
• si dividono entrambi i membri per il coefficiente di x2
• se il secondo membro è positivo, si calcola la sua radice quadrata: le soluzioni saranno il valore di questa radice e il suo opposto
• se il secondo membro è negativo, l’equazione è impossibile
21
22
equazioni di secondo grado
Esercizio 4. Risolvi l’equazione 4x2 − 9 = 0.
Soluzione. Portiamo il termine noto a secondo membro:
4x2 = 9
Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x2 :
4x2
9
=
4
4
=⇒
9
x =
4
2
r
=⇒
x=±
9
3
=±
4
2
L’equazione ha due soluzioni opposte:
3 3
S= − ;
2 2
Esercizio 5. Risolvi l’equazione 4x2 + 9 = 0.
Soluzione. Portiamo il termine noto a secondo membro:
4x2 = −9
Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x2 :
4x2
9
=
4
4
=⇒
9
x =−
4
2
r
=⇒
x=±
−
9
4
che è impossibile. L’equazione non ha soluzioni:
S=∅
Equazioni spurie
Un’equazione di secondo grado spuria si risolve nel modo seguente:
• si portano tutti i termini a primo membro
• si raccoglie a fattor comune
• si uguagliano a zero entrambi i fattori
• si risolvono le due equazioni lineari ottenute
• si mettono insieme le soluzioni
2.2 risoluzione delle equazioni di secondo grado
Esercizio 6. Risolvi l’equazione 2x2 − 4x = 0.
Soluzione. Raccogliamo a fattor comune:
2x2 − 4x = 2x(x − 2)
da cui, uguagliando a zero entrambi i fattori:
2x = 0
∨
x−2 = 0
per cui
∨
x=0
x=2
L’equazione ha due soluzioni:
S = { 0, 2 }
Esercizio 7. Risolvi l’equazione x2 + x = 0.
Soluzione. Raccogliamo a fattor comune:
x2 + x = x(x + 1)
da cui, uguagliando a zero entrambi i fattori:
x=0
∨
x+1 = 0
per cui
x=0
∨
x = −1
L’equazione ha due soluzioni:
S = { −1, 0 }
Equazioni complete
Per risolvere un’equazione di secondo grado completa nella forma normale
ax2 + bx + c = 0
ci sono due possibilità:
• se il polinomio al primo membro è un trinomio speciale o il quadrato di un
binomio, lo si scompone, si uguagliano a zero i fattori e si mettono insieme
le soluzioni trovate
23
24
equazioni di secondo grado
• oppure si applica la seguente formula risolutiva:
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
che permette di risolvere tutte le equazioni di secondo grado, comprese
quelle incomplete che abbiamo già studiato.
L’espressione b2 − 4ac si dice discriminante e si indica con la lettera greca ∆ (Delta).
Si possono presentare tre casi:
• se ∆ > 0 l’equazione ha due soluzioni distinte
• se ∆ = 0 l’equazione ha una sola soluzione
• se ∆ < 0 l’equazione non ha soluzioni
Esercizio 8. Risolvi l’equazione x2 − 5x + 6 = 0.
Soluzione. L’equazione si può risolvere osservando che il polinomio al primo membro è un trinomio speciale:
(x − 2)(x − 3) = 0
da cui, uguagliando a zero i fattori:
x=2
∨
x=3
Quindi l’equazione ha due soluzioni distinte:
S = { 2, 3 }
Vogliamo ritrovare lo stesso risultato applicando la formula risolutiva:
x=
−(−5) ±
p
(−5)2 − 4 · 1 · 6
5±
=
2·1
√
√
25 − 24
5± 1
5±1
=
=
2
2
2
da cui
x=
5−1
=2
2
che coincide con il risultato precedente.
∨
x=
5+1
=3
2
2.2 risoluzione delle equazioni di secondo grado
Esercizio 9. Risolvi l’equazione x2 − 4x + 3 = 0.
Soluzione. Il polinomio al primo membro è un trinomio speciale:
(x − 1)(x − 3) = 0
da cui
x=1
∨
x=3
L’equazione ha due soluzioni distinte:
S = { 1, 3 }
Esercizio 10. Risolvi l’equazione x2 − 2x − 3 = 0.
Soluzione. Il polinomio al primo membro è un trinomio speciale:
(x + 1)(x − 3) = 0
da cui
x = −1
∨
x=3
L’equazione ha due soluzioni distinte:
S = { −1, 3 }
Esercizio 11. Risolvi l’equazione x2 − 6x + 9 = 0.
Soluzione. Il polinomio al primo membro è il quadrato di un binomio:
(x − 3)2 = 0
=⇒
x−3 = 0
=⇒
x=3
L’equazione ha una sola soluzione:
S = {3}
Vogliamo ritrovare lo stesso risultato applicando la formula risolutiva:
p
√
√
−(−6) ± (−6)2 − 4 · 1 · 9
6 ± 36 − 36
6± 0
6±0
6
x=
=
=
=
= =3
2·1
2
2
2
2
che coincide con il risultato precedente.
25
26
equazioni di secondo grado
Esercizio 12. Risolvi l’equazione 4x2 − 12x + 9 = 0.
Soluzione. Il primo membro è il quadrato di un binomio:
4x2 − 12x + 9 = 0
=⇒
(2x − 3)2 = 0
=⇒
2x − 3 = 0
=⇒
x=
3
2
L’equazione ha una sola soluzione:
S=
3
2
Esercizio 13. Risolvi l’equazione 2x2 + 3x − 5 = 0.
Soluzione. A differenza degli esercizi precedenti, il polinomio al primo membro
non è scomponibile con i metodi elementari, dal momento che non è né un trinomio speciale né il quadrato di un binomio. Applichiamo la formula risolutiva:
p
√
√
−3 ± 32 − 4 · 2 · (−5)
−3 ± 9 + 40
−3 ± 49
−3 ± 7
x=
=
=
=
2·2
4
4
4
da cui
x=
−3 − 7
10
5
=−
=−
4
4
2
In conclusione:
S=
∨
5
− ,1
2
x=
−3 + 7
=1
4
Esercizio 14. Risolvi l’equazione 2x2 − x − 1 = 0.
Soluzione. Applichiamo la formula risolutiva:
p
√
√
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 2 · (−1)
1± 1+8
1± 9
1±3
x=
=
=
=
2·2
4
4
4
da cui
1−3
−2
1
1+3
=
=−
∨ x=
=1
4
4
2
4
In conclusione si ha che:
1
S = − ,1
2
x=
2.3 esercizi
Esercizio 15. Risolvi l’equazione 6x2 − x − 2 = 0.
Soluzione. Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
p
√
√
1 ± 1 + 48
1 ± 49
1±7
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 6 · (−2)
=
=
=
x=
2·6
12
12
12
da cui
x=
−6
1
1−7
=
=−
12
12
2
∨
In conclusione:
S=
x=
1 2
− ,
2 3
1+7
8
2
=
=
12
12
3
Esercizio 16. Risolvi l’equazione x2 + x + 1 = 0.
Soluzione. Poiché ∆ = 12 − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = −3 < 0, l’equazione è impossibile:
S=∅
2.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
1
Per ciascuno dei seguenti numeri reali scrivi una sequenza A di cinque numeri
razionali che lo approssimano per difetto e una√sequenza B di cinque numeri razionali
che lo approssimano per eccesso. Per esempio, 3: A = { 1, 1,7, 1,73, 1,732, 1,7320 }, B =
{ 2, 1,8, 1,74, 1,733, 1,7321 }.
a.
√
2
c.
√
3
e.
√
5
b.
1
7
d.
6
7
f.
1
3
2
3
√
h. 7
g.
Determina per ciascuno dei seguenti numeri irrazionali i numeri interi tra i quali è
√
compreso (per esempio, 5 < 30 < 6).
2
a.
√
2
b.
√
3
c.
√
5
d.
√
7
27
28
equazioni di secondo grado
√
11
√
f. 13
√
g. 17
√
19
√
i. 23
√
j. 29
e.
√
31
√
l. 37
√
m. 41
h.
√
43
√
o. 47
√
p. 53
k.
n.
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali:
3
a.
√
2
1
2
3
2,013
√
5
3
2
b. π
0,75
√
3
11
5
0,9
√
10
3,14
3
4
Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme dei numeri reali R e suddividilo nei seguenti sottoinsiemi: l’insieme N dei numeri naturali, l’insieme Z dei numeri interi, l’insieme Q dei numeri razionali,
J dei numeri irrazionali. Disponi in
√ l’insieme
√
3
maniera opportuna i seguenti numeri: 3
5
π
0, 3
3,14
3/2
−2
Vero o falso?
5
a. Un numero decimale finito è sempre un numero razionale.
V
F
b. Un numero decimale illimitato è sempre un numero irrazionale.
V
F
c. Un numero decimale periodico è un numero irrazionale.
V
F
d. La somma di due numeri razionali è sempre un numero razionale.
V
F
e. La somma di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale.
V
F
f. Il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale.
V
F
g. Il prodotto di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale.
V
F
[3 affermazioni vere e 4 false]
6
a.
b.
c.
d.
e.
Calcola (quando è possibile) il valore delle seguenti radici quadrate.
r
r
√
√
49
−1
5
f. 64
j.
m.
√
81
4
√
7
g. −81
r
r
√
121
144
√
9
k.
n.
h.
144
100
9
√
36
r
r
r
16
144
25
√
i.
l.
o.
−49
25
36
36
7
Senza usare la calcolatrice determina per ciascuna delle seguenti radici quadrate il
p
p
√
√
√
√
valore approssimato a 1/10:
3,
5,
7,
11,
1/2,
17/4.
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado pure.
8
x2 − 1 = 0
[±1]
9
x2 =
49
25
[±7/5]
2.3 esercizi
10
2x2 − 32 = 0
[±4]
22
4x2 − 9 = 0
[±3/2]
11
x2 − 25 = 0
[±5]
23
9x2 − 25 = 0
[±5/3]
12
16x2
24
6x2
=0
13
3x2
25
4x2
+ 16 = 0
14
x2
[±3]
26
1 + x2
[±5/3]
h √ i
± 3
27
27x2 − 3 = 0
28
7x2 = 28
[±2]
29
4x2
−4 = 0
[±1]
− 125 = 0
[±5]
[impossibile]
+3 = 0
−9 = 0
9x2
15
25 =
16
x2 − 3 = 0
17
[±1/4]
=1
x2 + 36 = 0
[impossibile]
[0]
18
4 − x2 = 0
[±2]
30
19
x2 + 4 = 0
[impossibile]
31
x2 − 4 = 0
20
x2 = 49
[±7]
32
4x2 − 9 = 0
21
4 − 9x2
33
4x2
[±2/3]
[±7]
= 50
5x2
=0
[impossibile]
[±1/3]
[±2]
[±3/2]
[impossibile]
+9 = 0
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado spurie.
34
x2 − 3x = 0
35
3x2 − 2x = 0
36
7x2
37
x2
38
x2
39
x2
40
18x2
41
2x2
42
9x2 + 16x = 0
[0, 3]
43
6x2 = 5x
[0, 5/6]
[0, 2/3]
44
5x = 25x2
[0, 1/5]
45
3x2
46
81x2
47
7x2
48
−2x2
49
(x − 2)2
=4
[0, 4]
[−3, 0]
50
(x + 1)2
=1
[−2, 0]
[−16/9, 0]
51
77x − 11x2 = 0
[−2/7, 0]
+ 2x = 0
[−2, 0]
+ 2x = 0
[−5, 0]
+ 5x = 0
[0, 1]
−x = 0
[0, 2]
− 36x = 0
+ 6x = 0
[0, 2]
− 2x = 4x
= 9x
[0, 1/9]
− 2x = 0
[0, 2/7]
[0, 2]
+ 4x = 0
[0, 7]
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado complete.
52
x2 − 5x + 6 = 0
53
x2
54
−x2
55
−x2 + 10x − 25 = 0
60
Indica la risposta corretta.
56
−2x2 + 7x − 5 = 0
57
3x2
+ 2x − 1 = 0
[−1, 1/3]
[−6, 7]
58
2x2
− 3x + 1 = 0
[1/2, 1]
[5]
59
3x2 + x − 2 = 0
[2, 3]
[−5, 4]
+ x − 20 = 0
+ x + 42 = 0
[1, 5/2]
[−1, 2/3]
a. L’equazione 25x2 + 1 = 0 ha per soluzioni:
A
x = ±5
B
x = ±1/5
b. L’equazione 16x2 − x = 0 ha per soluzioni:
C
x=4 ∨ x=1
D
è impossibile
29
30
equazioni di secondo grado
1
16
A
x=4 ∨ x=1
C
x=0 ∨ x=
B
x=±
1
4
D
è impossibile
C
x=
c. L’equazione 4x2 − 9x = 0 ha per soluzioni:
A
B
3
2
9
x=±
4
x=±
D
3
∨ x=0
2
9
x= ∨ x=0
4
d. L’equazione 9x2 + 6x + 1 = 0 ha per soluzioni:
A
x = ±3
B
x=±
1
3
C
x=−
1
3
D
è impossibile
D
è impossibile
D
(x + 5)(x + 1)
e. L’equazione x2 − 6x + 36 = 0 ha per soluzioni:
A
x = ±6
B
√
x=± 6
C
x=6
f. Quale di queste equazioni ha l’unica soluzione x = 3?
A
x2 − 6x + 9 = 0
C
x2 + 6x + 9 = 0
B
9 − x2 = 0
D
3x2 + 9x = 0
g. Il polinomio x2 + 5x + 6 si può scomporre in:
A
(x + 2)(x − 3)
B
(x + 2)(x + 3)
C
(x − 2)(x − 3)
[Una risposta A, una B, due C e tre D]
61
Indica la risposta corretta.
√
√
√
a. Il risultato dell’espressione ( 2 − 1)( 2 + 1)2 − 2 è un numero:
A
intero negativo
C
periodico
B
intero positivo
D
irrazionale
b. Un quadrato ha area 12. Qual è il suo perimetro?
A
√
2 3
B
√
4 3
C
√
8 3
D
√
16 3
D
√
0,1
c. Uno solo dei seguenti numeri è irrazionale: quale?
A
√
3
0,125
B
√
0,25
C
√
3
0,3
2.3 esercizi
d. Quale delle seguenti uguaglianze è corretta?
A
√
4 = −2
B
√
4 = ±2
C
√
√
4=−38
D
√
√
4 = − 3 −8
e. Quale delle seguenti radici è definita per ogni x ∈ R?
A
√
6
x−1
p
4
(x − 1)3
B
C
√
x3
√
3 6
x −1
D
√
√
2< 33
D
√
√
2< 33
12
f. Quale delle seguenti disuguaglianze è vera?
A
√
√
3
3< 2
B
√
√
3< 2
C
√
g. Per ogni x > 0, l’espressione x x8 è uguale a:
A
√
x12
h. Il numero
A
B
√
− x12
C
x5
D
x6
B
minore di 1
C
maggiore di 1
D
negativo
C
84
D
46
∀x ∈ R
D
mai
√
√
7 − 3 è:
uguale a 2
i. Quale dei seguenti numeri è razionale?
A
2
8− 3
j. L’uguaglianza
A
B
1
4− 3
1
1
√
x2 + 10x + 25 = x + 5 è vera:
solo per x = 0
B
∀x > −5
C
[Una risposta A, tre B, cinque C e una D]
62
Indica la risposta corretta.
a. Quale delle seguenti equazioni traduce il seguente problema: «la somma del triplo
del quadrato di x con il doppio di x è uguale a 5»?
A
3 · 2x + x2 = 5
B
3x2 = 2x + 5
C
3 · 2x = x2 + 5
D
3x2 + 2x = 5
D
5x − 2
b. Quale delle seguenti è un fattore del trinomio 5x2 − 3x − 2?
A
x+1
B
x−2
C
5x + 2
c. Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni distinte, espresse da numeri razionali
non interi?
A
x2 + 6x − 7 = 0
B
4x2 + 4x + 1 = 0
31
32
equazioni di secondo grado
C
2x2 + 3x + 5 = 0
D
4x2 + 8x − 5 = 0
d. Una maestra porta in classe 100 caramelle da distribuire equamente tra gli alunni.
Ci sono però 5 assenti, per cui ciascuno riceve una caramella in più di quelle che
avrebbe ricevuto nel caso fossero stati tutti presenti. Da quanti alunni è composta la
classe?
A
B
15
20
C
D
22
25
e. Un rettangolo ha perimetro 10 cm e area uguale a 5 cm2 . Indicata con x la misura
(in cm) della base, quali delle seguenti equazioni permette di determinare x?
A
x(10 − x) = 5
B
x+
5
= 10
x
C
x(5 − x) = 10
D
2x +
C
due soluzioni negative
D
due soluzioni la cui somma è 1
10
= 10
x
f. L’equazione x2 − x − 1 = 0 ha:
A
una soluzione positiva e una negati-
va
B
due soluzioni positive
g. Quale dei seguenti trinomi non è riducibile in R?
A
x2 − 2x − 3
B
x2 + x + 1
C
x2 + x − 1
D
2x2 + x − 10
h. Quale delle seguenti equazioni ha come soluzioni x = −2 e x = 4?
A
x2 − 2x + 8 = 0
C
x2 + 2x + 8 = 0
B
x2 + 2x − 8 = 0
D
x2 − 2x − 8 = 0
1
1
1
i. L’insieme delle soluzioni dell’equazione + 2
= 2
è:
x x −9
2x + 6x
5
5
5
A S = −3,
B S= −
C S = 3,
D
2
2
2
S=
5
2
j. Per quali valori di k l’equazione x2 + kx + 9 = 0 ha una sola soluzione?
A
k = ±2
C
k = ±6
B
k = ±4
D
per nessun valore di k
[Una risposta A, una B, due C e sei D]
63
Indica la risposta corretta.
a. Quale fra le seguenti equazioni non ha soluzioni?
2.3 esercizi
A
5x2 + 3x = 0
C
5x2 + 3x − 1 = 0
B
−5x2 + 3 = 0
D
5x2 + 3x + 1 = 0
b. Per quale valore di k l’equazione x2 − 2x + k − 3 = 0 ha una sola soluzione?
A
k=2
C
k=4
B
k=3
D
per nessun valore di k
c. La somma dei reciproci di due interi consecutivi è 7/12. Allora il prodotto dei due
numeri vale:
A
12
B
24
C
36
D
42
D
b 6= 0
d. L’equazione ax2 + bx + c = 0 è di secondo grado se e solo se:
A
c 6= 0
B
a 6= 0
C
a=0
e. L’equazione 5x2 + 8x + 3 = 0:
A
ha una sola soluzione
C
non ha soluzioni
B
ha una soluzione nulla
D
ha due soluzioni distinte
f. L’equazione 8x2 − 5x + 3 = 0:
A
ha una sola soluzione
C
non ha soluzioni
B
ha una soluzione nulla
D
ha due soluzioni distinte
g. Qual è il discriminante ∆ dell’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0?
A
b2 + 4ac
B
b2 − 4ac
C
b2 − ac
D
−b2 − 4ac
[Una risposta A, due B, due C e due D]
64
Indica la risposta corretta.
a. La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado è:
√
√
b ± b2 − 4ac
−b ± b2 − 4ac
A x=
C x=
2a
2a
√
√
−b ± b − 4ac
−b ± b − ac
B x=
D x=
2a
2a
33
34
equazioni di secondo grado
b. L’insieme soluzione dell’equazione 5x2 − 10x = 0 è
A
∅
B
{ 0, 2 }
C
{ −2, 0 }
c. L’insieme soluzione dell’equazione 9x2 − 4 = 0 è
3
2
A ∅
B
±
C
±
2
3
D
{ −2, 2 }
D
2
3
d. L’equazione x2 + 4 = 0
A
ha le soluzioni x = −2 e x = 2
C
ha solo la soluzione x = 2
B
ha solo la soluzione x = −2
D
è impossibile
e. Il discriminante dell’equazione x2 − 2x + 1 = 0 è
A
0
B
−8
C
8
D
4
D
sono opposte
D
∅
f. In un’equazione di secondo grado, se ∆ < 0 le soluzioni:
A
non esistono
B
sono diverse
C
sono negative
g. Qual è l’insieme soluzione dell’equazione 2x2 − 8 = 0:
A
{ ±2 }
B
{ −2 }
C
{2}
[Tre risposte A, una B, due C e una D]
3
PA R A B O L A
Definizione 4. Una parabola è l’insieme dei punti (x, y) del piano cartesiano
che soddisfano l’equazione:
y = ax2 + bx + c
dove a, b e c sono numeri reali, con a 6= 0.
In altre parole, una parabola è il grafico della funzione y = ax2 + bx + c, con a 6= 0.
Esercizio 17. Rappresenta per punti la parabola y = x2 .
Soluzione. La figura 4 rappresenta il grafico per punti della parabola.
Esercizio 18. Rappresenta per punti la parabola y = −x2 + 4x − 3.
Soluzione. La figura 5 rappresenta il grafico per punti della parabola.
La parabola è una curva che ha le seguenti proprietà:
9
y
4
1
x
V
−3−2−1
1 2 3
(a) Grafico
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y = x2
(−3)2 = 9
(−2)2 = 4
(−1)2 = 1
02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
(b) Alcuni valori
Figura 4: La parabola y = x2 disegnata per punti
36
parabola
y
V
x
1
3
−3
−8
y = −x2 + 4x − 3
x
−1
0
1
2
3
4
5
−(−1)2 + 4 · (−1) − 3 = −8
−02 + 4 · 0 − 3 − 3
−12 + 4 · 1 − 3 = 0
−22 + 4 · 2 − 3 = 1
−32 + 4 · 3 − 3 = 0
−42 + 4 · 4 − 3 = −3
−52 + 4 · 5 − 3 = −8
(a) Grafico
(b) Alcuni valori
Figura 5: La parabola y = −x2 + 4x − 3 disegnata per punti
• è simmetrica rispetto a una retta verticale, detta asse della parabola, che
interseca la parabola in un punto V detto vertice
• “si allarga indefinitamente”, nel senso che qualunque retta verticale la interseca in uno e uno solo punto
• volge la concavità sempre dalla stessa parte
Il coefficiente a determina la concavità della parabola:
• se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto (figura 4)
• se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso (figura 5)
Per una parabola che volge la concavità verso l’alto, il vertice V è il punto più
basso del grafico (figura 4). Viceversa, per una parabola che volge la concavità
verso il basso, il vertice V è il punto più alto del grafico (figura 5). Se provi a
disegnare il grafico di alcune parabole di equazione y = ax2 con diversi valori
di a, ti accorgerai che l’ampiezza delle parabole diminuisce quando a cresce in
valore assoluto (figura 6).
Diversi fenomeni naturali sono legati alla parabola; la figura 7 ne riporta alcuni.
3.1
appartenenza di un punto a una parabola
Data una parabola e un punto P del piano cartesiano ci si può chiedere se P appartiene o no alla parabola: il punto P appartiene alla parabola se le sue coordinate
ne verificano l’equazione, mentre non appartiene alla parabola se le sue coordinate
non ne verificano l’equazione.
3.2 disegno di parabole
y
y = 4x2
y = x2
y=
1 2
4x
x
y = − 14 x2
y = −x2
y = −4x2
Figura 6: Parabole di equazione y = ax2 : l’ampiezza delle parabole diminuisce quando a
cresce in valore assoluto
Esercizio 19. Data la parabola y = x2 , stabilisci se i punti P = (2, 4) e Q =
(3, 4) appartengono o no alla parabola.
Soluzione.
• Sostituendo le coordinate del punto P nell’equazione della parabola otteniamo:
4 = 22
che è vero. Dunque P appartiene alla parabola.
• Sostituendo le coordinate del punto Q nell’equazione della parabola otteniamo:
4 = 32 = 9
che è falso. Dunque Q non appartiene alla parabola.
Vedi la figura 8.
3.2
disegno di parabole
Per disegnare una parabola conviene procedere nel modo seguente.
37
38
parabola
(a) Fontana d’acqua zampillante
(b) Palla lanciata da un giocatore
(c) Pallina da tennis che rimbalza
(d) Particelle luminose dei fuochi d’artificio
(e) Un’antenna parabolica riflette la radiazione che la raggiunge in un
unico punto, detto fuoco
(f) Formazione di una superficie parabolica
su un fluido in rotazione
Figura 7: Parabole in natura
3.2 disegno di parabole
y
P
Q
x
Figura 8: Appartenenza di un punto a una parabola
• Si trovano le intersezioni della parabola con gli assi cartesiani.
• Si trovano le coordinate del vertice V = (xV , yV ), dove xV è dato dalla
formula
b
xV = −
2a
e yV si ottiene sostituendo il valore di xV ottenuto nell’equazione della parabola. In alternativa, se la parabola interseca l’asse x nei punti x1 e x2 ,
l’ascissa del vertice è la loro media:
x + x2
xV = 1
2
• Si individuano graficamente i punti simmetrici, rispetto all’asse della parabola, di quelli precedentemente trovati.
• Si riportano i punti trovati nel piano cartesiano e si collegano con una curva
continua.
Esercizio 20. Disegna la parabola y = x2 − 4x + 3.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 4x + 3
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y=3
y = 02 − 4 · 0 + 3
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 3).
39
40
parabola
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 4x + 3
y=0
da cui
x2 − 4x + 3 = 0
=⇒
(x − 1)(x − 3) = 0
ovvero
x=1
∨
x=3
Quindi la parabola interseca l’asse x nei punti (1, 0) e (3, 0).
• L’ascissa del vertice è la media delle ascisse dei punti di intersezione della
parabola con l’asse x:
1+3
=2
xV =
2
Calcoliamo l’ordinata del vertice sostituendo il valore trovato nell’equazione
della parabola.
yV = 22 − 4 · 2 + 3 = −1
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (2, −1)
• Il simmetrico del punto (0, 3) rispetto all’asse della parabola è il punto (4, 3).
La figura 9a mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che
interseca l’asse x in due punti distinti, è detta secante l’asse x.
Esercizio 21. Disegna la parabola y = x2 − 6x + 9.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 6x + 9
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y=9
y = 02 − 6 · 0 + 9
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 9).
3.2 disegno di parabole
y
y
9
3
x
V
1 2 3
V
x
3
(a) y = x2 − 4x + 3
(b) y = x2 − 6x + 9
y
y
4
V
x
2
1
2
V
1
x
(c) y = x2 − 2x + 2
(d) y = −x2 + 4x
Figura 9: Disegno di parabole
41
42
parabola
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 6x + 9
y=0
da cui
x2 − 6x + 9 = 0
=⇒
(x − 3)2 = 0
=⇒
x−3 = 0
=⇒
x=3
Quindi la parabola interseca l’asse x nel punto (3, 0).
• L’ascissa del vertice V è l’ascissa dell’unico punto di intersezione della parabola con l’asse x:
xV = 3
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione della parabola:
yV = 3 2 − 6 · 3 + 9 = 0
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (3, 0)
• Il simmetrico del punto (0, 9) rispetto all’asse della parabola è il punto (6, 9).
La figura 9b mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che
interseca l’asse x in un solo punto, è detta tangente l’asse x.
Esercizio 22. Disegna la parabola y = x2 − 2x + 2.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = x2 − 2x + 2
x=0
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y = 02 − 2 · 0 + 2
x=0
=⇒
y=2
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, 2).
3.2 disegno di parabole
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = x2 − 2x + 2
y=0
da cui
x2 − 2x + 2 = 0
che è impossibile, essendo ∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 2 = −4 < 0. Quindi la parabola
non interseca mai l’asse x.
• Troviamo le coordinate del vertice V tenendo conto che:
a=1
b = −2
c=2
L’ascissa del vertice V è data dalla formula:
xV = −
−2
b
=−
=1
2a
2·1
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione della parabola:
yV = 1 2 − 2 · 1 + 2 = 1
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (1, 1)
• Il simmetrico del punto (0, 2) rispetto all’asse della parabola è il punto (2, 2).
La figura 9c mostra il grafico della parabola. Una parabola come questa, che
interseca l’asse x in un solo punto, è detta esterna all’asse x.
Di solito basta il vertice e un altro punto per disegnare la parabola. Tuttavia, se
ne hai bisogno, puoi trovare altri punti per cui passa la parabola assegnando un
valore a scelta a x e calcolando il valore corrispondente di y. La figura 10 mostra
la parabola precedente disegnata per punti.
Esercizio 23. Disegna la parabola y = −x2 + 4x.
Soluzione.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y. Facciamo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = −x2 + 4x
x=0
43
44
parabola
10
y
y = x2 − 2x + 2
x
−2
−1
0
1
2
3
4
5
2
x
−2−1
10
5
2
1
2
5
10
2 3 4
(a) Grafico
(b) Alcuni valori
Figura 10: La parabola y = x2 − 2x + 2 disegnata per punti
Sostituendo alla x nella prima equazione il valore 0 troviamo:
y=0
y = 02 + 4 · 0
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nell’origine.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x. Facciamo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = −x2 + 4x
y=0
da cui
−x2 + 4x = 0
=⇒
−x(x − 4) = 0
che ha per soluzioni:
x=0
∨
x=4
Quindi la parabola interseca l’asse x nell’origine e nel punto (4, 0).
• L’ascissa del vertice V è data dalla formula:
xV =
0+4
=2
2
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione della parabola:
yV = −22 + 4 · 2 = −4 + 8 = 4
Quindi il vertice ha coordinate:
V = (2, 4)
La figura 9d mostra il grafico della parabola.
3.3 esercizi
3.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Traccia il grafico delle parabole aventi le seguenti equazioni.
1
y = −2x2
7
y = x2 + 4x + 3
13
y = 2x2 + 1
2
y = x2 + x − 2
8
y = x2 − 3x − 4
14
y = x2 − x − 2
3
y = x2 − 4x + 4
9
y = x2 + 2x
15
y = −x2 + 4x + 3
4
y = x2 − 2x − 3
10
y = x2 + 2x + 1
16
y = x2 + 4x + 4
5
y = x2 + x − 2
11
y = x2 + x + 1
17
y = 4 − x2
6
y = −x2 + 4x
12
y = 3x − 2x2
18
y = −x2 + 6x − 9
19
Vero o falso?
a. La parabola di equazione y = −x2 + 2x passa per l’origine.
V
F
b. La parabola di equazione y = x2 − 4 passa per l’origine.
V
F
c. L’asse della parabola di equazione y = −2x2 + 1 è l’asse y.
√
d. La parabola di equazione ( 3 − 2)x2 + 1 ha la concavità verso l’alto.
V
F
V
F
e. La parabola di equazione y = −x2 + 4x ha la concavità verso il basso.
V
F
[3 affermazioni vere e 2 false]
Associa a ciascuna delle parabole rappresentate nella figura seguente la relativa
20
equazione:
a. y = −x2 + 4x − 1
c. y = x2 + 4x − 1
b. y = −x2 − 4x − 1
d. y = x2 − 4x − 1
y
y
x
(a)
y
x
(b)
y
x
(c)
x
(d)
La figura seguente riporta i grafici di tre parabole di equazione y = f(x), y = g(x)
21
e y = h(x). Deduci, dai grafici, le eventuali soluzioni delle tre equazioni f(x) = 0, g(x) = 0
e h(x) = 0.
45
46
parabola
y
y
y = f(x)
y
y = g(x)
x
x
−3
y = h(x)
2
x
3
(a) f(x) = 0
(b) g(x) = 0
(c) h(x) = 0
22
Per ciascuna delle parabole rappresentate nella figura seguente, di equazione y =
ax2 + bx + c, poni una crocetta sulle caselle che esprimono il segno dei coefficienti a, b e c.
y
y
y
x
a > 0
b > 0
c > 0
23
a = 0
b = 0
c = 0
a<0
b<0
c<0
x
a > 0
b > 0
c > 0
a = 0
b = 0
c = 0
a<0
b<0
c<0
x
a > 0
b > 0
c > 0
a = 0
b = 0
c = 0
a<0
b<0
c<0
Risolvi il seguente esercizio.
a. Risolvi l’equazione x2 − 4x = −x2 + 2x.
b. Traccia i grafici delle due parabole di equazioni y = x2 − 4x e y = −x2 + 2x.
c. Interpreta graficamente l’equazione risolta algebricamente al punto a.
24
Indica la risposta corretta.
a. La parabola di equazione y = x2 − 4x + 6:
A
ha vertice nel punto (−2, 18)
C
passa per il punto (1, 2)
B
non interseca l’asse x in alcun pun-
D
ha come asse di simmetria l’asse y
to
b. La figura seguente rappresenta una parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Quale
affermazione, tra le seguenti, è vera?
3.3 esercizi
A
b = 0 e c 6= 0
B
a>0ec=0
C
b>0ec=0
D
a<0eb<0
y
x
c. Date le funzioni f(x) = 2x2 − 3 e g(x) = 3x2 + 1, quanti zeri ha la funzione f(x) · g(x)?
A
B
nessuno
due
C
D
tre
quattro
d. Qual è l’equazione della parabola rappresentata nella figura seguente?
A
y = x2 − x − 6
B
y = x2 + x − 6
C
y = −x2 + x − 6
D
y = −x2 − x − 6
y
x
e. La tabella seguente mostra i valori assunti da b in funzione di alcuni valori di a.
Quale delle seguenti uguaglianze rappresenta una possibile relazione tra a e b?
A
b = 2a2 − 1
a
b
B
b=
3a2
C
b = a2 + 2
1
2
3
3
9
19
D
b = 2a2 + 1
−1
f. Data la parabola y = −x2 + 6x − 5, quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
A
ha la concavità rivolta verso il basso
C
l’asse di simmetria è x = k, k > 0
B
non passa per l’origine
D
non interseca l’asse x in alcun punto
g. La parabola di equazione y = x2 − 4x + 4:
A
è tangente l’asse x
C
passa per il punto (−1, 1)
B
ha vertice nel punto (0, 2)
D
ha asse di simmetria x = 4
[Una risposta A, tre B, una C e due D]
47
4
M A T E M A T I C A P E R L’ E C O N O M I A
Questo capitolo presenta due applicazioni della matematica in ambito economico: la risoluzione dei problemi di scelta e dei problemi di costi e ricavo.
4.1
problemi di scelta
Si dicono problemi di scelta i problemi in cui viene chiesto di operare, fra varie
alternative, la scelta più conveniente (secondo un determinato criterio, per esempio
quello di massimizzare un profitto o minimizzare una spesa).
Esercizio 24. A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due
tipi di stipendio:
• contratto A: 1000 euro al mese più 50 euro per ogni polizza stipulata
• contratto B: 500 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata
Determina il contratto più conveniente.
Soluzione. È chiaro che non potrà esserci una scelta più conveniente “in assoluto”:
la maggiore o minore convenienza di un contratto dipendono infatti dal numero
di polizze stipulate dall’assicuratore. Ci proponiamo perciò di determinare qual è
la scelta più conveniente a seconda del numero di polizze stipulate.
Costruiamo il modello matematico del problema. Indichiamo con x il numero
(intero > 0) di polizze stipulate in un mese e con y il corrispondente stipendio in
euro:
• lo stipendio relativo al contratto A è espresso dalla funzione y = 50x + 1000
• lo stipendio relativo al contratto B è espresso dalla funzione y = 100x + 500
Tracciando i grafici delle due funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la
scelta più conveniente.
Poiché le due funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per comodità
tracciamo queste due rette come se x fosse una variabile reale (anche se i punti delle
rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere,
dato che il dominio di x è costituito dall’insieme degli interi > 0). La figura 11a
50
matematica per l’economia
y
y
B: y = 100x + 500
A: y = 7x + 15
Q R
85
P
C: y = 85
A: y = 50x + 1000
1500
B: y = 5x + 25
P
50
1000
500
x
x
10
5
(a) Un problema di “massimo stipendio”
10 12
(b) Un problema di “minimo costo”
Figura 11: Problemi di scelta
riporta le rette grafico delle due funzioni, in un opportuno sistema di riferimento
cartesiano.
Per risolvere il problema determiniamo le coordinate del punto d’intersezione P
delle rette che abbiamo tracciato in figura. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 100x + 500
y = 50x + 1000
da cui
100x + 500 = 50x + 1000
y = 50x + 1000
=⇒
50x = 500
y = 50x + 1000
=⇒
x = 10
y = 1500
Quindi il punto di intersezione è P(10, 1500).
La linea di “massimo stipendio” è evidenziata in figura con maggiore spessore:
essa è costituita per x < 10 dalla retta corrispondente al contratto A e per x > 10
dalla retta corrispondente al contratto B. In conclusione:
• per un numero di polizze inferiore a 10 conviene il contratto A
• per un numero di polizze superiore a 10 conviene il contratto B
• per esattamente 10 polizze è indifferente il contratto A o B
4.1 problemi di scelta
Esercizio 25. Paolo vuole frequentare una palestra per un mese e deve
scegliere tra le seguenti tre proposte:
• palestra A: costo fisso d’iscrizione di 15 euro, più 7 euro per ogni
ingresso
• palestra B: costo fisso d’iscrizione di 25 euro, più 5 euro per ogni
ingresso
• palestra C: abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di ingresso
Qual è la scelta più conveniente per Paolo?
Soluzione. Indichiamo con x il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende
effettuare in un mese e con y la corrispondente spesa in euro: x potrà variare
nell’insieme dei numeri interi compresi tra 0 e 30. Abbiamo che:
• la spesa per frequentare la palestra A è espressa dalla funzione y = 7x + 15
• la spesa per frequentare la palestra B è espressa dalla funzione y = 5x + 25
• la spesa per frequentare la palestra C è espressa dalla funzione y = 85
Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la
scelta più conveniente.
Poiché le tre funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Come al solito,
per comodità tracciamo queste tre rette come se x fosse una variabile reale (anche
se i punti delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a
coordinate intere, perché il dominio di x è costituito dai numeri interi compresi
tra 0 e 30). La figura 11b riporta le rette grafico delle tre funzioni, in un opportuno
sistema di riferimento cartesiano.
Determiniamo le coordinate di P (punto di intersezione tra le rette A e B), Q
(intersezione tra A e C) e R (intersezione tra B e C), risolvendo i sistemi:
y = 7x + 15
7x + 15 = 5x + 25
x=5
•
=⇒
=⇒
y = 5x + 25
y = 5x + 25
y = 50
y = 7x + 15
7x + 15 = 85
x = 10
•
=⇒
=⇒
y = 85
y = 85
y = 85
y = 5x + 25
5x + 25 = 85
x = 12
•
=⇒
=⇒
y = 85
y = 85
y = 85
Quindi i punti di intersezione sono P(5, 50), Q(10, 85) e R(12, 85).
La linea di “minimo costo” è quella evidenziata nella figura 11b con maggiore
spessore: essa è costituita per x < 5 dalla retta corrispondente alla palestra A,
51
52
matematica per l’economia
per 5 < x < 12 dalla retta corrispondente alla palestra B e per x > 12 dalla retta
corrispondente alla palestra C. In conclusione:
• per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene scegliere la palestra A
• per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene scegliere la palestra B
• per un numero di ingressi superiore a 12 conviene scegliere la palestra C
• per esattamente 5 ingressi è indifferente scegliere la palestra A o la B
• per esattamente 12 ingressi è indifferente scegliere la palestra B o la C
4.2
problemi di costi e ricavo
Nei problemi di ottimizzazione bisogna trovare la soluzione ottimale in base a un
dato criterio (massimizzare un profitto o minimizzare un costo, per esempio),
determinando il massimo o il minimo di una opportuna funzione.
Il costo di ogni bene prodotto o acquistato dipende dalla combinazione di molti
fattori: il costo delle materie prime, della manodopera, dei macchinari, eccetera. I
costi si dividono in due categorie.
Definizione 5. I costi fissi (CF ) non variano al variare della quantità prodotta
o acquistata; i costi variabili (CV ), invece, variano al variare della quantità
prodotta o acquistata.
Esempi di costi fissi sono le spese per l’affitto dei locali, lo stipendio dei dipendenti e le spese di assicurazione. Esempi di costi variabili sono le spese per l’acquisto delle materie prime, per la manutenzione degli impianti e per il consumo
energetico.
Definizione 6. Il costo totale (CT ) è la somma dei costi fissi e dei costi
variabili:
CT = CF + CV
Definizione 7. Il ricavo (R) è il denaro che si trae dalla vendita di un
prodotto. È dato dalla formula
R = p·x
dove p è il prezzo di vendita di un singolo oggetto e x il numero di oggetti
venduti.
4.2 problemi di costi e ricavo
Definizione 8. Il profitto (o guadagno) è l’utile realizzato dall’azienda. È dato
dalla formula
P = R − CT
e quindi si calcola sottraendo il costo totale dal ricavo.
Si può rappresentare graficamente l’andamento del profitto in funzione della quantità di beni venduti (grafico del profitto), oppure si possono rappresentare
in uno stesso piano cartesiano l’andamento dei costi e del ricavo (diagramma di
redditività). In questi grafici si possono individuare alcuni elementi essenziali:
• la zona di perdita, in cui il ricavo è minore del costo totale
• la zona di utile, in cui il ricavo è maggiore del costo totale
• il punto di pareggio (Break Even Point, in inglese, spesso denotato con BEP),
che divide la zona di perdita dalla zona di utile, e che corrisponde al valore
della quantità di beni venduti per cui ricavo e costo totale si equivalgono
Esercizio 26. Un commerciante acquista olio d’oliva al costo di 7 euro al litro
e lo rivende a 12 euro al litro. Per il trasporto sostiene costi fissi giornalieri
di 60 euro. Descrivi l’andamento del profitto giornaliero in funzione dei litri
d’olio venduti.
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri d’olio venduti in un giorno. Non ci sono vincoli tecnici: il commerciante può vendere tutto l’olio che i suoi clienti gli chiedono.
L’unico vincolo cui è soggetto x è il “vincolo di segno”:
x>0
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 60 euro al
giorno:
CF = 60
• I costi variabili sono di 7 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 7x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 7x + 60
53
54
matematica per l’economia
y
y
P
R
Zona di utile
Zona di utile
CT
BEP
x
12
144 Zona di perdita
BEP
CV
60
CF
Zona di perdita
x
−60
12
(a) Grafico del profitto
(b) Diagramma di redditività
Figura 12: Un problema di ottimizzazione senza vincoli tecnici
• Il ricavo è di 12 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 12x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 12x − (7x + 60) = 5x − 60
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per
tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto
d’intersezione del grafico con l’asse x, risolvendo il sistema:
y = 5x − 60
y=0
=⇒
5x − 60 = 0
y=0
=⇒
5x = 60
y=0
=⇒
x = 12
y=0
Quindi il punto di intersezione è (12, 0).
La figura 12a rappresenta il grafico della funzione profitto:
• se vende meno di 12 litri d’olio, cioè se 0 6 x < 12, il commerciante è in
perdita in quanto per tali valori la funzione profitto è negativa
• x = 12 è il punto di pareggio
• per tutti i valori superiori a 12 il commerciante ha un profitto positivo: quanto più grande è x > 12, tanto più grande è il profitto
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 12b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Per
determinare il punto di pareggio troviamo il punto di intersezione tra la funzione
4.2 problemi di costi e ricavo
40
y
P
240
R
Zona di utile
Zona di utile
40
200
BEP
12
y
x
20
144
BEP
Zona di perdita
CT
CV
60
CF
Zona di perdita
x
−60
12
(a) Grafico del profitto
20
(b) Diagramma di redditività
Figura 13: Un problema di ottimizzazione con un vincolo tecnico
che rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il
sistema:
y = 7x + 60
12x = 7x + 60
5x = 60
x = 12
=⇒
=⇒
=⇒
y = 12x
y = 12x
y = 12x
y = 144
Il punto di pareggio si ha dunque per x = 12. Quindi:
• se 0 6 x < 12 il commerciante è in perdita
• se x = 12 il commerciante non ha né profitto né perdita
• se x > 12 il commerciante ha un profitto positivo
Le conclusioni coincidono con quelle trovate in precedenza.
Esercizio 27. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione che il commerciante può trasportare al massimo 20 litri d’olio al
giorno. Quanti litri d’olio deve vendere per avere il massimo profitto? Qual
è il massimo profitto? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio?
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 20. Determiniamo il punto di intersezione del grafico della
funzione profitto con la retta x = 20.
y = 5x − 60
y = 5 · 20 − 60
y = 40
=⇒
=⇒
x = 20
x = 20
x = 20
Quindi il punto di intersezione è (20, 40).
La figura 13a rappresenta il grafico della funzione profitto. Abbiamo che:
55
56
matematica per l’economia
• se vende meno di 12 litri d’olio, cioè se 0 6 x < 12, il commerciante è in
perdita
• per x = 12 il commerciante non ha né utile né perdita (break even point)
• per tutti i valori superiori a 12 fino al massimo trasportabile 20, cioè per 12 <
x 6 20, il commerciante ha un profitto positivo
• il profitto è crescente e raggiunge il massimo, pari a 40 euro, in corrispondenza della quantità d’olio massima trasportabile, cioè per x = 20
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 13b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Il
massimo profitto si ha quando la differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero
per x = 20, per cui
R(20) − P(20) = 12 · 20 − (7 · 20 + 60) = 240 − 200 = 40
e l’analisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
Esercizio 28. Un lattaio acquista il latte sfuso a 0,6 euro al litro e lo rivende
a 1,4 euro al litro. Ogni giorno spende 10 euro di trasporto e il recipiente in
cui tiene il latte ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri
di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? Qual è il massimo
guadagno? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio?
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri venduti in un giorno. Acquistando e vendendo il
latte sfuso, x può non essere intero. Oltre al vincolo di segno x > 0 c’è il
vincolo tecnico dovuto alla capienza del recipiente, pari a 30 litri. Quindi:
0 6 x 6 30
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 10 euro al
giorno:
CF = 10
• I costi variabili sono di 0,6 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 0,6x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 0,6x + 10
4.2 problemi di costi e ricavo
14
y
P
y
42
R
Zona di utile
14
Zona di utile
28
BEP
x
12,5
30
17,5
Zona di perdita
BEP
CV
10
−10
CT
CF
x
Zona di perdita
12,5
(a) Grafico del profitto
30
(b) Diagramma di redditività
Figura 14: Un altro problema di ottimizzazione con vincolo tecnico
• Il ricavo è di 1,4 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 1,4x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 1,4x − (0,6x + 10) = 0,8x − 10
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per
tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto
d’intersezione del grafico con l’asse x. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 0,8x − 10
0,8x − 10 = 0
0,8x = 10
x = 12,5
=⇒
=⇒
=⇒
y=0
y=0
y=0
y=0
Quindi il punto di intersezione è (12,5, 0). Determiniamo inoltre il punto di intersezione del grafico con la retta x = 30.
y = 0,8x − 10
y = 0,8 · 30 − 10
y = 14
=⇒
=⇒
x = 30
x = 30
x = 30
Quindi il punto di intersezione è (30, 14).
La figura 14a descrive il grafico della funzione profitto. Possiamo dire che il
lattaio:
• è in perdita se vende meno di 12,5 litri
• è in pareggio se vende esattamente 12,5 litri (break even point)
• realizza un guadagno se vende più di 12,5 litri
57
58
matematica per l’economia
• realizza il massimo guadagno (14 euro) se vende tutti e 30 i litri di latte
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 14b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R.
Per trovare il break even point troviamo il punto di intersezione tra la funzione che
rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il
sistema:
x = 12,5
0,8x = 10
1,4x = 0,6x + 10
y = 0,6x + 10
=⇒
=⇒
=⇒
y = 17,5
y = 1,4x
y = 1,4x
y = 1,4x
Il break even point si ha dunque per x = 12,5. Il massimo profitto si ha quando la
differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero per x = 30, per cui
R(30) − P(30) = 1,4 · 30 − (0,6 · 30 + 10) = 42 − 28 = 14
e l’analisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
Esercizio 29. Un’azienda agricola produce vino di pregio. Il costo di produzione mensile comporta costi fissi di 5000 euro, più 40 euro per ogni
bottiglia di vino prodotto. L’azienda sostiene inoltre delle spese di vendita
pari in euro al 10% del quadrato del numero di bottiglie vendute. Ogni bottiglia viene venduta a 100 euro. Descrivi l’andamento del profitto mensile
in funzione delle bottiglie vendute.
Soluzione. Indichiamo con x il numero di bottiglie di vino vendute in un mese.
L’unico vincolo cui è soggetto x è il “vincolo di segno” (in alte parole, non ci sono
vincoli tecnici):
x>0
La situazione è allora la seguente.
• I costi fissi (indipendenti dal numero di bottiglie vendute) sono di 5000 euro
al mese:
CF = 5000
• Le spese di vendita sono in euro pari al 10% del quadrato del numero di
bottiglie vendute:
10 2
x = 0,1x2
100
• I costi variabili sono di 40 euro per ogni bottiglia venduta più le spese di
vendita:
CV = 40x + 0,1x2
4.2 problemi di costi e ricavo
4000
y
Zona di utile
BEP
100
BEP
300
x
500
Zona di perdita
−5000
(a)
4000
3000
y
Zona di utile
BEP
BEP
100
300 400 500
x
Zona di perdita
−5000
(b)
4000
3000
y
Zona di utile
BEP
BEP
100 200 300
500
x
Zona di perdita
−5000
(c)
Figura 15: Un problema di ottimizzazione di secondo grado
59
60
matematica per l’economia
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e del costi variabili:
CT = CF + CV = 5000 + 40x + 0,1x2
• Il ricavo è di 100 euro per il numero x di bottiglie vendute:
R = 100x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 100x − (5000 + 40x + 0,1x2 ) = −0,1x2 + 60x − 5000
Quest’ultima è la funzione da massimizzare. Dal punto di vista della geometria
analitica il grafico della funzione è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente
di x2 negativo, questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Tracciamo il
grafico della parabola.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y risolvendo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = −5000
y = −0,1x2 + 60x − 5000
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, −5000).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x risolvendo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = −0,1x2 + 60x − 5000
y=0
da cui
−0,1x2 + 60x − 5000 = 0 =⇒ x2 − 600x + 50 000 = 0 =⇒ (x − 100)(x − 500) = 0
ovvero
x = 100
∨
x = 500
Quindi la parabola interseca l’asse x nei punti (100, 0) e (500, 0), ciascuno dei
quali è un punto di pareggio.
• L’ascissa del vertice V è la media delle ascisse delle intersezioni con l’asse x:
xV =
100 + 500
= 300
2
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione della parabola:
yV = −0,1(300)2 + 60 · 300 − 5000 = −9000 + 18 000 − 5000 = 4000
Quindi:
V = (300, 4000)
4.2 problemi di costi e ricavo
La figura 15a rappresenta la situazione. La funzione cresce fra 0 e 300; a 300
raggiunge il valore massimo (che corrisponde al massimo profitto per l’azienda) e
poi decresce. Possiamo quindi concludere che l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 500, guadagna; in particolare, ha il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro
• se vende 500 bottiglie, è in pareggio
• se vende più di 500 bottiglie è in perdita
In questo caso alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie.
Esercizio 30. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la
condizione che l’azienda non può produrre più di 400 bottiglie al mese.
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 400. La figura 15b evidenzia questo vincolo. Rispetto al caso
precedente, la situazione non cambia di molto. Infatti l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 400, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro
• se vende 400 bottiglie (massimo valore di produzione), guadagna 3000 euro
(valore ottenuto sostituendo 400 alla x nell’equazione della parabola)
L’analisi si ferma a 400 litri per la presenza del vincolo di produzione. Questo vincolo non provoca però cambiamenti significativi perché, come abbiamo già
osservato, alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie di vino al mese.
61
62
matematica per l’economia
Esercizio 31. Consideriamo ancora il problema 29 dell’azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l’azienda non può produrre più di 200 bottiglie
al mese.
Soluzione. La figura 15c mostra il nuovo vincolo tecnico x 6 200. In questo caso
l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 200, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 200 bottiglie, guadagnando 3000 euro (valore ottenuto sostituendo 200 alla x nell’equazione della
parabola)
Questa volta il vincolo tecnico cambia notevolmente l’analisi economica: infatti,
non potendo raggiungere la produzione ideale di 300 bottiglie al mese, il massimo
profitto si ottiene producendo il maggior numero di bottiglie consentite.
4.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Problemi di scelta
1
Per il noleggio di un’auto due diverse ditte offrono le seguenti condizioni:
• la ditta A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio
• la ditta B non applica alcun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio
Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l’auto, qual è la
scelta più conveniente.
[Per un solo giorno di noleggio conviene la ditta B, per più di due giorni conviene la
ditta A, per due giorni è indifferente]
4.3 esercizi
2
Per produrre un certo prodotto un’azienda può usare due macchinari diversi, che
chiamiamo A e B. Il macchinario A richiede 20 minuti di preparazione e produce tre oggetti al minuto; il macchinario B richiede 10 minuti di preparazione e produce due oggetti al
minuto. Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale
macchinario consente di impiegare meno tempo.
[Volendo produrre meno di 60 oggetti è più conveniente scegliere B; per più di 60 oggetti
è più conveniente A; per 60 oggetti è indifferente]
3
Una fabbrica deve scegliere se produrre:
• un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di
10 euro per metro di tessuto
• oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un
ricavo di 15 euro per metro di tessuto
Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente,
la produzione più conveniente.
[Volendo produrre meno di 200 metri di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del
tipo A; volendo produrre più di 200 metri di tessuto conviene produrre il tessuto B; per
200 metri la scelta è indifferente]
4
Per il trasporto di una certa merce due ditte applicano le seguenti condizioni:
• la ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce
trasportata
• la ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce
trasportata
Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la
scelta più conveniente.
[Fino a 50 quintali conviene la ditta B; per più di 50 quintali conviene la ditta A; per
50 quintali è indifferente]
5
Una banca propone tre diverse forme di investimento:
• un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione
• un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione
• un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione
Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più
conveniente.
[Per capitali fino a 10 000 euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i 10 000 euro il terzo, per un capitale di 10 000 euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la
terza forma di investimento]
6
Tre differenti aziende telefoniche applicano le seguenti tariffe:
63
64
matematica per l’economia
• l’azienda A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi
per ogni minuto di conversazione;
• l’azienda B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi
per ogni minuto di conversazione;
• l’azienda C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza
costi fissi.
Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente.
[Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4
minuti è indifferente B o C]
Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per
7
un certo periodo di tempo in un porticciolo gestito da un club nautico. Ha le seguenti
possibilità:
• prendere in affitto il posto barca per l’intera stagione estiva (dal primo giugno al
30 settembre), pagando 3600 euro
• pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno
• iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la
tariffa di ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno
Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio.
[Per meno di 5 giorni conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni conviene iscriversi al club; per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l’intera
stagione; per 5 giorni è indifferente pagare la tariffa di ormeggio o iscriversi al club; per
70 giorni è indifferente iscriversi al club o affittare per l’intera stagione]
8
A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forme di retribuzio-
ne:
• la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto
• la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto
• la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto
Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori venduti in un mese.
[Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per
vendite tra i 5 e i 20 televisori conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la
terza; per 5 televisori è indifferente la prima o la seconda; per 20 televisori è indifferente
la seconda o la terza]
9
Per fabbricare dei bulloni un’azienda può usare tre macchinari diversi, che chiamiamo A, B e C:
4.3 esercizi
• il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto
• il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto
• il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto
Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il minimo tempo complessivo (intendendo come tempo
complessivo la somma del tempo di preparazione e di quello di produzione).
[Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B;
per più di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è
indifferente B o C]
10
A un assicuratore vengono offerte tre diverse forme di contratto:
• 1000 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata in quel mese
• 1200 euro al mese più 75 euro per ogni polizza stipulata in quel mese
• 1500 euro, indipendentemente dal numero di polizze stipulate
Stabilisci, in dipendenza del numero di polizze che l’assicuratore stipula in un mese, il
contratto più conveniente.
[Per meno di 4 polizze conviene C, per 4 polizze è indifferente B o C, per 5, 6 o 7 polizze
conviene B, per 8 polizze è indifferente A o B, per più di 8 polizze conviene A]
Problemi di costi e ricavo
11
Una fabbrica che produce e vende magliette a 10 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 9000 e e costi variabili pari a 4 e per ogni maglietta prodotta. Determina il punto di
pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 1500 magliette vendute. La zona di utile è x > 1500, dove x
è il numero di magliette vendute.]
12
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 4000 magliette al mese. Determina la produzione che permette
il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 4000 magliette vendute ed è 15 000 e. La zona di utile
è 1500 < x 6 4000, dove x è il numero di magliette vendute.]
13
Una fabbrica che produce e vende televisori a 1000 e l’uno sostiene costi fissi mensili di 200 000 e e costi variabili pari a 500 e per ogni televisore venduto. Determina il
punto di pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 400 televisori venduti. La zona di utile è x > 400, dove x è
il numero di televisori venduti.]
65
66
matematica per l’economia
14
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 1000 televisori al mese. Determina la produzione che permette
il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 televisori venduti ed è 300 000 e. La zona di utile
è 400 < x 6 1000, dove x è il numero di televisori venduti.]
15
Una fabbrica che produce e vende caramelle a 1 e al pacchetto sostiene costi fissi
mensili di 6000 e e costi variabili pari a 0,70 e per ogni pacchetto venduto. Determina il
punto di pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 20 000 pacchetti di caramelle venduti. La zona di utile
è x > 20 000, dove x è il numero di pacchetti di caramelle venduti.]
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
16
possa produrre al massimo 50 000 pacchetti di caramelle al mese. Determina la produzione
che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 50 000 pacchetti di caramelle venduti ed è 9 000 e. La zona
di utile è 20 000 < x 6 50 000, dove x è il numero di pacchetti di caramelle venduti.]
17
Una segheria che produce e vende truciolato a 100 e al quintale sostiene costi fissi
mensili di 2750 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni
quintale prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero
di quintali venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < x <
550, dove x è il numero dei quintali venduti.]
18
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la segheria
possa produrre al massimo 400 quintali al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < x 6
400.]
19
Consideriamo l’esercizio 17, aggiungendo la condizione che la segheria possa produrre al massimo 200 quintali al mese. Determina la produzione che permette il massimo
profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 quintali venduti ed è 5250 e. La zona di utile è 50 < x 6
200.]
20
Una fabbrica che produce e vende borse a 120 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 7000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni borsa prodotta
e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di borse vendute.
Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di
utile.
[Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < x <
700, dove x è il numero di borse vendute.]
4.3 esercizi
21
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 500 borse al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < x 6
500, dove x è il numero di borse vendute.]
Consideriamo l’esercizio 20, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa pro22
durre al massimo 200 borse al mese. Determina la produzione che permette il massimo
profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 borse vendute ed è 5000 e. La zona di utile è 100 < x 6
200, dove x è il numero di borse vendute.]
23
Una fabbrica che produce e vende scarpe a 100 e al paio sostiene costi fissi mensili
di 60 000 e e costi variabili pari a 50 e per ogni paio di scarpe venduto. La fabbrica
può produrre al massimo 4000 paia di scarpe al mese. Determina il punto di pareggio, la
produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 1200 paia di scarpe vendute. Il massimo profitto si ha
per 4000 paia di scarpe vendute ed è 140 000 e. La zona di utile è 1200 < x 6 4000, dove x
è il numero di paia di scarpe vendute.]
24
Una fabbrica che produce e vende jeans a 80 e al paio sostiene costi fissi mensili di 30 000 e e costi variabili pari a 30 e per ogni paio di jeans venduto. La fabbrica
può produrre al massimo 2000 paia di jeans al mese. Determina il punto di pareggio, la
produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 600 paia di jeans venduti. Il massimo profitto si ha
per 2000 paia di jeans venduti ed è 70 000 e. La zona di utile è 600 < x 6 2000, dove x è il
numero di paia di jeans venduti.]
25
Una fabbrica che produce e vende orologi a 200 e l’uno sostiene costi fissi mensili
di 20 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per ogni orologio
prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di orologi
venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 600 orologi venduti ed è 16 000 e. La zona di utile è 200 <
x < 1000, dove x è il numero di orologi venduti.]
26
Una fabbrica che produce e vende telefoni cellulari a 400 e l’uno sostiene costi fissi
mensili di 75 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 200 e per ogni
cellulare prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero
di cellulari venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 cellulari venduti ed è 25 000 e. La zona di utile è 500 <
x < 1500, dove x è il numero di cellulari venduti.]
67
68
matematica per l’economia
27
Una fabbrica che produce e vende caschi da moto a 300 e l’uno sostiene costi fissi
mensili di 32 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 100 e per ogni
casco prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del numero
di caschi venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è 18 000 e. La zona di utile è 200 <
x < 800, dove x è il numero di caschi venduti.]
28
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 600 caschi al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è 18 000 e. La zona di utile è 200 <
x 6 600, dove x è il numero di caschi venduti.]
29
Una fabbrica che produce e vende contenitori speciali a 200 e l’uno sostiene costi
fissi mensili di 10 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per
ogni contenitore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del
numero di contenitori venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto,
il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 contenitori venduti ed è 8000 e. La zona di utile è 100 <
x < 500, dove x è il numero di contenitori venduti.]
30
Una fabbrica che produce e vende camicie a 90 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 2625 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 30 e per ogni camicia
prodotta e costi di vendita mensili pari, in euro, al 15% del quadrato del numero di camicie
vendute. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 camicie vendute ed è 3375 e. La zona di utile è 50 < x <
350, dove x è il numero di camicie vendute.]
31
Una fabbrica che produce e vende zaini a 60 e l’uno sostiene costi fissi mensili
di 30 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 20 e per ogni zaino
prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all’1% del quadrato del numero di zaini
venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 2000 zaini venduti ed è 10 000 e. La zona di utile è 1000 <
x < 3000, dove x è il numero di zaini venduti.]
32
Una distilleria che produce e vende liquore a 40 e al litro sostiene costi fissi mensili
di 11 500 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 12 e per ogni litro di
liquore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all’1% del quadrato del numero
di litri di liquore venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il
relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1400 litri di liquore venduti ed è 8100 e. La zona di utile
è 500 < x < 2300, dove x è il numero di litri di liquore venduti.]
4.3 esercizi
33
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la distilleria
possa produrre al massimo 1000 litri di liquore al mese. Determina la produzione che
permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 litri di liquore venduti ed è 6500 e. La zona di utile
è 500 < x 6 1000, dove x è il numero di litri di liquore venduti.]
34
Alcune famiglie affittano una residenza estiva da 65 posti per risparmiare sulla
vacanza. Pagano 90 e a testa per una settimana, più 2 e a testa per ogni posto che rimane
vuoto. Quanti posti devono rimanere vuoti perché il proprietario della residenza ottenga
il massimo ricavo?
Soluzione. Se x è il numero di posti occupati (e quindi 65 − x è il numero di posti vuoti)
e y il ricavo del proprietario, si ha che
y = 90x + 2x(65 − x) = 90x + 130x − 2x2 = −2x2 + 220x
Il valore di x che rende massimo il ricavo del proprietario è l’ascissa del vertice V della
parabola definita dall’equazione precedente:
xV =
0 + 110
= 55
2
Quindi i posti che devono rimanere vuoti sono 65 − 55 = 10.
69
5
5.1
DISEQUAZIONI
intervalli sulla retta reale
Definizione 9. Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli
i seguenti sottoinsiemi di R:
• (a, b) = { a < x < b } intervallo aperto e limitato (a e b sono esclusi)
• [a, b] = { a 6 x 6 b } intervallo chiuso e limitato (a e b sono inclusi)
• [a, b) = { a 6 x < b } intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, e
limitato (a è incluso, b è escluso)
• (a, b] = { a < x 6 b } intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, e
limitato (a è escluso, b è incluso)
• (a, +∞) = { x > a } intervallo aperto e superiormente illimitato (a è
escluso)
• [a, +∞) = { x > a } intervallo chiuso e superiormente illimitato (a è
incluso)
• (−∞, a) = { x < a } intervallo aperto e inferiormente illimitato (a è
escluso)
• (−∞, a] = { x 6 a } intervallo chiuso e inferiormente illimitato (a è
escluso)
I numeri a e b si chiamano estremi dell’intervallo.
Ciascuno degli intervalli così definiti si può rappresentare sulla retta reale: gli
intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo
qualche esempio.
Esercizio 32. Rappresenta graficamente l’intervallo (−∞, 3) = { x < 3 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto 3. L’intervallo è rappresentato da
tutti i punti della semiretta che precedono il numero 3, escluso 3.
72
disequazioni
3
x
Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all’intervallo. Per mettere in evidenza che 3 non appartiene alla semiretta
abbiamo messo un pallino vuoto sul punto.
Esercizio 33. Rappresenta graficamente l’intervallo [−5, +∞) = { x > −5 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto −5; l’intervallo è rappresentato dalla
semiretta di tutti i punti che seguono −5, incluso lo stesso −5.
−5
x
Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all’intervallo. Per indicare che il punto −5 appartiene all’intervallo abbiamo
messo un pallino pieno sul punto.
Esercizio 34. Rappresenta graficamente l’intervallo (−2, 6) = { −2 < x < 6 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale i punti −2 e 6. L’intervallo è rappresentato
dal segmento che ha per estremi questi due punti.
−2
6
x
Abbiamo come al solito disegnato il segmento con una linea più spessa. Poiché
i due estremi del segmento sono esclusi, su ciascuno di essi abbiamo messo un
pallino vuoto.
Esercizio 35. Rappresenta graficamente l’intervallo (−2, 6] = { −2 < x 6 6 }.
Soluzione. Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l’intervallo è
“chiuso a destra”, ovvero il punto 6 è incluso nell’intervallo, mentre il punto −2 è
escluso.
−2
6
x
La figura precedente rappresenta l’intervallo.
5.2 diseguaglianze e disequazioni
Esercizio 36. Rappresenta graficamente l’intervallo [2, 6] = { −2 6 x 6 6 }.
Soluzione. Il segmento che rappresenta l’intervallo contiene tutti e due i suoi estremi.
−2
6
x
La figura precedente rappresenta l’intervallo.
5.2
diseguaglianze e disequazioni
Consideriamo le seguenti proposizioni:
• «1 è minore di 2»
• «3 è un numero negativo»
• «il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero»
• «togliendo 2 da un numero, si ottiene un numero positivo»
Esse si possono tradurre in linguaggio matematico usando i simboli > (maggiore), < (minore), > (maggiore o uguale) e 6 (minore o uguale). Precisamente:
• 1<2
• 3<0
• x2 > 0
• x−2 > 0
Le formule che contengono solo numeri (come le prime due) si dicono diseguaglianze; quelle che contengono numeri e variabili (come le ultime due) si dicono
disequazioni.
Definizione 10. Chiamiamo disuguaglianza una formula contenente solo numeri e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), 6 (minore o uguale), >
(maggiore o uguale).
Definizione 11. Chiamiamo disequazione una formula contenente numeri,
variabili e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), 6 (minore o uguale),
> (maggiore o uguale).
Una diseguaglianza è o vera o falsa: per esempio, la disuguaglianza 1 < 2 è vera,
mentre 3 < 0 è falsa. Una disequazione, invece, in generale è vera per certi valori
sostituiti alla variabile e falsa per altri. Per esempio, la disequazione x − 2 > 0 è
vera se x = 3, ma è falsa se x = 1.
73
74
disequazioni
Definizione 12. L’insieme dei valori che sostituiti all’incognita trasformano
la disequazione in una disuguaglianza vera è l’insieme soluzione della disequazione (lo indicheremo con S). Risolvere una disequazione significa trovarne
l’insieme soluzione.
Definizione 13. Chiamiamo incognite le variabili che compaiono nella disequazione, e chiamiamo primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di
disuguaglianza.
5.3
principi di equivalenza
Vediamo come risolvere una disequazione, ovvero come trovarne l’insieme soluzione. Premettiamo la seguente definizione:
Definizione 14. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso
insieme soluzione.
Principio 1 (Primo principio di equivalenza). Sommando o sottraendo a
ciascuno dei due membri di una disequazione uno stesso numero, si ottiene
una disequazione equivalente a quella data.
Questo principio ci permette in pratica di “spostare” un addendo da un membro all’altro della disequazione cambiandogli segno, o di eliminare da entrambi i
membri gli addendi uguali.
Principio 2 (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero
positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Principio 3 (Terzo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo,
si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il verso cambiato.
Nei paragrafi successivi vedremo come risolvere una disequazione applicando i
tre principi delle disequazioni.
5.4 disequazioni lineari
5.4
disequazioni lineari
Definizione 15. Una disequazione si dice intera se, eventualmente dopo aver
applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme
normali:
P(x) > 0
P(x) > 0
P(x) 6 0
P(x) < 0
dove P(x) è un polinomio. Si dice grado della disequazione il grado di P(x).
Una disequazione di primo grado si dice lineare.
Per esempio:
• 2x − 4 > 0 è una disequazione lineare
• x2 − 4x + 3 > 0 è una disequazione di secondo grado
• x3 + x2 + x + 1 < 0 è una disequazione di terzo grado
In questo paragrafo studieremo le disequazioni lineari, i cui coefficienti sono
numeri razionali. Per risolvere una disequazione di questo tipo si procede come
segue:
• si portano tutti i termini con l’incognita al primo membro e tutti i termini
noti al secondo membro
• si sommano i monomi simili
• si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita (cambiando il
verso della disequazione se tale coefficiente è negativo)
• si semplificano le frazioni e si scrive l’insieme soluzione
Esercizio 37. Risolvi la disequazione 5x − 2 > 3x + 4.
Soluzione.
• Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all’altro:
5x − 3x > 2 + 4
• Sommiamo i monomi simili:
2x > 6
75
76
disequazioni
• Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della x, applicando il secondo principio delle disequazioni. È fondamentale osservare che tale coefficiente è 2, che è un numero positivo: quindi il verso della disequazione non
cambia.
6
2x
>
=⇒
x>3
2
2
• Quindi l’insieme soluzione è l’intervallo:
3
x
S = { x > 3 } = (3, +∞)
Esercizio 38. Risolvi la disequazione 3x + 1 > 5x + 5.
Soluzione.
• Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all’altro:
3x − 5x > 5 − 1
=⇒
−2x > 4
• Il coefficiente dell’incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per −2
e cambiamo il verso della disequazione, applicando il terzo principio delle
disequazioni:
−2x
4
<
=⇒
x < −2
−2
−2
• L’insieme soluzione è l’intervallo:
−2
x
S = { x < −2 } = (−∞, −2)
Esercizio 39. Risolvi la disequazione 4(2x − 1) + 4 > −2(−3x − 6).
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
8x − 4 + 4 > 6x + 12
=⇒
8x − 6x > 12
=⇒
2x > 12
L’insieme soluzione è l’intervallo:
6
x
S = { x > 6 } = [6, +∞)
=⇒
x>6
5.4 disequazioni lineari
Esercizio 40. Risolvi la disequazione
(x − 1)2
(x + 1)2 2 + 3x
−
>
.
4
2
4
Soluzione.
• Sommiamo le frazioni algebriche:
(x + 1)2 − 2(2 + 3x)
(x − 1)2
>
4
4
Moltiplichiamo entrambi i membri per 4, che è un numero positivo:
(x − 1)2
(x + 1)2 − 2(2 + 3x)
>
4
4
=⇒
(x + 1)2 − 2(2 + 3x) > (x − 1)2
• Svolgiamo i calcoli:
x2 + 2x + 1 − 4 − 6x > x2 − 2x + 1
=⇒
2x + 2x − 6x > 4
=⇒
−2x > 4
• Il coefficiente dell’incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per −2
cambiando il verso della disequazione:
−2
4
x6
−2
−2
=⇒
x 6 −2
• Quindi:
−2
x
S = { x 6 −2 } = (−∞, −2]
Esercizio 41. Risolvi la disequazione
1
1
(x + 5) − x > (3 − x).
2
2
Soluzione.
• Sommiamo le frazioni algebriche:
3−x
x + 5 − 2x
>
2
2
Moltiplichiamo entrambi i membri per 2, che è un numero positivo:
x + 5 − 2x
3−x
>
2
2
=⇒
x + 5 − 2x > 3 − x
=⇒
0 > −2
77
78
disequazioni
• Come si vede, l’incognita x è scomparsa. Abbiamo ricondotto la disequazione
a una disuguaglianza vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è
verificata qualunque sia il valore dell’incognita x:
x
S=R
Esercizio 42. Risolvi la disequazione (x + 2)2 − 4(x + 1) < x2 − 1.
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 + 4x + 4 − 4x − 4 < x2 − 1
=⇒
0 < −1
che è una disuguagolianza falsa. Dunque la disequazione è impossibile, ovvero non
ha soluzioni:
x
S=∅
Esercizio 43. Risolvi la disequazione (x − 1)2 + 5x < x2 − 2.
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 − 2x + 1 + 5x < x2 − 2
=⇒
−2x + 5x < −2 − 1
=⇒
3x < −3
=⇒
x < −1
Quindi:
−1
x
S = { x < −1 } = (−∞, −1)
Esercizio 44. Risolvi la disequazione
2x − 3
x+3
> 1−
.
2
10
Soluzione. Il mcm dei denominatori è 10. Quindi:
5(2x − 3)
10 − (x + 3)
>
10
10
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10, che è un numero positivo:
5(2x − 3) > 10 − (x + 3)
Quindi:
=⇒
10x − 15 > 10 − x − 3
=⇒
11x > 22
=⇒
x>2
5.4 disequazioni lineari
2
x
S = { x > 2 } = [2, +∞)
Esercizio 45. Risolvi la disequazione 6x + 1 > 34x − 27.
Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti:
6x − 34x > −27 − 1
=⇒
−28x > −28
=⇒
x<1
Quindi:
1
x
S = { x < 1 } = (−∞, 1)
Osserviamo che nell’esercizio precedente avremmo potuto ricavare, portando
le x a destra e i termini noti a sinistra:
=⇒
1 + 27 > 34x − 6x
28 > 28x
Leggendo la relazione da destra a sinistra:
28x < 28
=⇒
x<1
che coincide con il risultato precedente. In generale, si può isolare l’incognita in
modo che il suo coefficiente risulti positivo, portandola nel membro più opportuno.
1
1
1
x+3
1
x−
−
x−
<
.
Esercizio 46. Risolvi la disequazione
2
3
3
2
6
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
1
1 1
1
x+3
x− − x+ <
2
6 3
6
6
Il mcm dei denominatori è 6. Quindi:
3x − 1 − 2x + 1
x+3
<
6
6
=⇒
3x − 1 − 2x + 1 < x + 3
=⇒
0<3
La disequazione si riduce dunque alla disuguaglianza 0 < 3, che è vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore
dell’incognita x:
79
80
disequazioni
x
S=R
Se nella disequazione precedente ci fosse stato > al posto di <, avremmo ottenuto la disuguaglianza 0 > 3, che è falsa. Dunque la disequazione non avrebbe avuto
soluzioni, ossia S = ∅.
Esercizio 47. Risolvi
1
1
1
1
1
1
x+
+
x+
+ .
x−
−x > x−
4
4
16
5
2
10
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 −
1
1
1
1
1
1
+
− x > x2 + x − x −
+
16 16
2
5
10 10
=⇒
−x >
1
1
x− x
2
5
Il mcm dei denominatori è 10:
−10x
5x − 2x
>
10
10
=⇒
=⇒
−10x > 5x − 2x
−13x > 0
=⇒
x60
Quindi:
0
x
S = { x 6 0 } = (−∞, 0]
5.5
disequazioni di secondo grado
Definizione 16. Una disequazione di secondo grado è detta in forma normale
se si presenta in una delle seguenti forme:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 6 0
ax2 + bx + c < 0
dove a, b e c sono numeri reali, con a 6= 0.
È sempre possibile portare una disequazione di secondo grado in forma normale,
trasportando tutti i termini al primo membro e sommando i monomi simili.
5.5 disequazioni di secondo grado
Esercizio 48. Porta la disequazione −x2 − 2x > −2x2 + 2x − 3 in forma
normale.
Soluzione. Trasportiamo a sinistra tutti i termini e sommiamo i monomi simili:
2x2 − x2 − 2x − 2x + 3 > 0
=⇒
x2 − 4x + 3 > 0
Definizione 17. Data una disequazione di secondo grado, si chiama
equazione associata l’equazione che si ottiene sostituendo il simbolo di
disuguaglianza con l’uguale.
Esercizio 49. Risolvi l’equazione associata alla disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. Per scrivere l’equazione associata basta sostituire l’uguale al simbolo di
maggiore:
x2 − 4x + 3 = 0
=⇒
(x − 1)(x − 3) = 0
da cui
x=1
∨
x=3
Definizione 18. Data una disequazione di secondo grado in forma normale,
si chiama parabola associata la parabola che si ottiene ponendo y uguale al
primo membro della disequazione.
Esercizio 50. Traccia la parabola associata alla disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al
primo membro della disequazione:
y = x2 − 4x + 3
Poiché il coefficiente di x2 è 1, che è positivo, la parabola volge la concavità verso l’alto. Inoltre la parabola interseca l’asse x nei punti che corrispondono alle soluzioni
dell’equazione associata
x2 − 4x + 3 = 0
che abbiamo trovato nell’esercizio precedente, ovvero 1 e 3.
81
82
disequazioni
1
3
x
La figura precedente rappresenta la parabola in questione.
Esercizio 51. Disegna la parabola associata alla disequazione −x2 + 9 > 0.
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al
primo membro della disequazione.
y = −x2 + 9
Poiché il coefficiente di x2 è −1, che è negativo, la parabola volge la concavità
verso il basso. Inoltre la parabola interseca l’asse x nei punti che corrispondono alle
soluzioni dell’equazione associata:
−x2 + 9 = 0
=⇒
−3
x2 = 9
=⇒
x = ±3
3
x
La figura precedente rappresenta la parabola in questione.
Per risolvere una disequazione di secondo grado si procede come segue:
• si porta la disequazione in forma normale
• si risolve l’equazione associata
• si disegna la parabola associata
• si individua l’insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione: il primo membro della disequazione ha segno positivo quando la parabola “sta sopra” l’asse x, negativo quando “sta sotto” l’asse x, e si annulla
quando interseca l’asse x
5.5 disequazioni di secondo grado
Esercizio 52. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• L’equazione associata ha per soluzioni 1 e 3 (vedi l’esercizio 49).
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x (cioè
lo tocca in due punti distinti: vedi l’esercizio 50).
1
x
3
• Individuiamo l’insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
1
x
3
Abbiamo disegnato con una linea più spessa i punti che costituiscono l’insieme soluzione, evidenziando con un pallino pieno gli estremi dell’intervallo 1
e 3 per indicare che essi appartengono all’insieme soluzione.
• In conclusione, l’insieme soluzione è:
S = { x 6 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1] ∪ [3, ∞)
Esercizio 53. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola
sta sopra l’asse x.
1
3
x
83
84
disequazioni
Abbiamo evidenziato con un pallino vuoto gli estremi dell’intervallo 1 e 3 per
indicare che essi non appartengono all’insieme soluzione, che é:
S = { x < 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1) ∪ (3, ∞)
Esercizio 54. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x o lo interseca.
1
3
x
Quindi:
S = { 1 6 x 6 3 } = [1, 3]
Esercizio 55. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 < 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola
sta sotto l’asse x.
1
3
x
Quindi:
S = { 1 < x < 3 } = (1, 3)
Esercizio 56. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 4 = 0
=⇒
(x − 2)2 = 0
=⇒
x−2 = 0
=⇒
x=2
5.5 disequazioni di secondo grado
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è tangente all’asse x
(cioè lo tocca in un solo punto).
x
2
• La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa che avviene per ogni x
diverso da 2) o lo interseca (cosa che avviene per x = 2).
x
2
La disequazione è sempre verificata:
S=R
Esercizio 57. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola
sta sopra l’asse x (cosa che avviene per ogni x diverso da 2).
2
x
Quindi la disequazione è verificata per ogni x diverso da 2:
S = R\{2}
85
86
disequazioni
Esercizio 58. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai) o lo interseca (cosa che avviene
per x = 2).
2
x
Quindi:
S = {2}
Esercizio 59. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 < 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai).
2
x
La disequazione è impossibile:
S=∅
Esercizio 60. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• L’equazione associata
x2 + x + 1 = 0
è impossibile, perché ∆ = 12 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0.
5.5 disequazioni di secondo grado
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è esterna all’asse x
(cioè non lo interseca mai).
x
• La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa che
avviene sempre) o lo interseca.
x
• Quindi la disequazione è sempre verificata:
S=R
Esercizio 61. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sopra l’asse x (cosa che avviene sempre).
x
Come nell’esercizio precedente, la disequazione è sempre verificata:
S=R
87
88
disequazioni
Esercizio 62. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x o lo interseca (cosa che non avviene mai).
x
La disequazione è impossibile:
S=∅
Esercizio 63. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola
sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai).
x
Come nell’esercizio precedente, la disequazione è impossibile:
S=∅
La figura 16 rappresenta tutti i casi possibili di una disequazione di secondo
grado con a > 0.
Esercizio 64. Risolvi la disequazione 4 − x2 > 0.
5.5 disequazioni di secondo grado
ax2 + bx + c > 0
∆>0
x1
ax2 + bx + c 6 0
∆>0
ax2 + bx + c > 0
∆>0
x2 x
x1
x2 x
x1
ax2 + bx + c < 0
∆>0
x2 x
x1
x2 x
(a) L’equazione associa- (b) L’equazione associa- (c) L’equazione associa- (d) L’equazione associata ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
disequazione è veridisequazione è veridisequazione è veridisequazione è verificata se x 6 x1
ficata se x < x1
ficata se x1 6 x 6
ficata se x1 < x <
x2
x2
oppure x > x2
oppure x > x2
ax2 + bx + c > 0
∆=0
x1
ax2 + bx + c 6 0
∆=0
ax2 + bx + c > 0
∆=0
x
x1
x
x1
ax2 + bx + c < 0
∆=0
x
x1
x
(e) L’equazione associa- (f) L’equazione associa- (g) L’equazione associa- (h) L’equazione associata ha una sola soluta ha una sola soluta ha una sola sota ha una sola soluzione x1 , e la disezione x1 , e la diseluzione x1 , e la dizione x1 , e la disequazione è sempre
quazione è verificata
sequazione è verifiquazione non è mai
verificata
per ogni x 6= x1
cata solo se x =
verificata
x1
ax2 + bx + c > 0
∆<0
ax2 + bx + c 6 0
∆<0
ax2 + bx + c > 0
∆<0
x
x
ax2 + bx + c < 0
∆<0
x
x
(i) L’equazione associa- (j) L’equazione associa- (k) L’equazione associa- (l) L’equazione associata non ha soluzioni
ta non ha soluzioni
ta non ha soluziota non ha soluzioni e
e la disequazione è
e la disequazione è
ni e la disequazione
la disequazione non
sempre verificata
sempre verificata
non è mai verificata
è mai verificata
Figura 16: Tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0
89
90
disequazioni
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l’equazione associata:
4 − x2 = 0
=⇒
x2 = 4
=⇒
x = ±2
La parabola associata volge la concavità verso il basso ed è secante l’asse x.
−2
2
x
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
−2
2
x
Quindi:
S = { −2 6 x 6 2 } = [−2, 2]
In alternativa, per risolvere la disequazione dell’esercizio precedente si possono
moltiplicare per −1 entrambi i membri, cambiando il verso della disequazione, che
diventa:
x2 − 4 6 0
La parabola associata volge la concavità verso l’alto e la disequazione è verificata
quando la parabola sta sotto l’asse x o lo interseca.
−2
2
x
L’insieme soluzione coincide con quello trovato in precedenza.
5.6
disequazioni fratte
Definizione 19. Una disequazione si dice fratta (o frazionaria) se, eventual-
5.6 disequazioni fratte
mente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una
delle seguenti forme normali:
N(x)
>0
D(x)
N(x)
>0
D(x)
N(x)
60
D(x)
N(x)
<0
D(x)
dove N(x) e D(x) sono polinomi nella variabile x.
Per risolvere una disequazione fratta si procede come segue:
• si porta la disequazione in forma normale
• si studia il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo
membro, ponendo ciascuno di essi maggiore o uguale a zero
• si costruisce la tabella dei segni, segnando con un pallino pieno gli zeri del
numeratore, del denominatore e della frazione, e con un pallino vuoto i punti
in cui la frazione non esiste (che corrispondono agli zeri del denominatore)
• si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto
Esercizio 65. Risolvi la disequazione
x−3
6 0.
x−1
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
=⇒
x−3 > 0
x>3
3
x
– Denominatore:
=⇒
x−1 > 0
x > 1.
1
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
91
92
disequazioni
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
+
−
+
In cima alla tabella c’è la retta reale con i numeri in gioco (1 e 3) in ordine
crescente. Le righe indicano gli intervalli in cui il numeratore N, il denominatore D e la frazione F sono positivi (+) o negativi (−). Abbiamo inoltre
segnato con un pallino pieno gli zeri del numeratore e del denominatore: gli
zeri del numeratore corrispondono a punti in cui la frazione F si annulla
(indicati anch’essi con un pallino pieno), mentre gli zeri del denominatore
corrispondono a punti in cui la frazione non esiste (indicati con un pallino
vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione F è negativa (−) o nulla
(pallino pieno). Quindi:
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
S
+
−
+
Abbiamo disegnato l’insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare
che 1 non è soluzione mentre 3 lo è, li abbiamo evidenziati con un pallino
vuoto e un pallino pieno, rispettivamente.
• L’insieme soluzione è dunque:
S = { 1 < x 6 3 } = (1, 3]
Esercizio 66. Risolvi la disequazione
x−3
> 0.
x−1
Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dell’esercizio precedente. la disequazione
è verificata quando la frazione è positiva (+).
5.6 disequazioni fratte
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
S
+
−
+
Per indicare che 1 e 3 non appartengono all’insieme soluzione li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto. Quindi:
S = { x < 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Esercizio 67. Risolvi la disequazione
3x − 6
< 0.
4−x
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
=⇒
3x − 6 > 0
x>2
2
x
– Denominatore:
=⇒
4−x > 0
x64
4
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
2
4
x
N
D
−
+
+
+
+
−
F
S
−
+
−
• La disequazione è verificata quando la frazione è negativa (−). Quindi:
S = { x < 2 ∨ x > 4 } = (−∞, 2) ∪ (4, +∞)
93
94
disequazioni
Esercizio 68. Risolvi la disequazione
x2
x2 − 4
6 0.
− 7x + 10
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
x2 − 4 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4 = 0
x2 = 4
=⇒
=⇒
x = ±2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo
interseca.
−2
2
x
– Denominatore:
x2 − 7x + 10 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 7x + 10 = 0
=⇒
(x − 2)(x − 5) = 0
da cui
x=2
∨
x=5
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo
interseca.
2
• Costruiamo la tabella dei segni.
5
x
5.6 disequazioni fratte
−2
2
5
x
N
D
+
+
−
+
+
−
+
+
F
S
+
−
−
+
Per x = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo
contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non
esiste (pallino vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione è negativa (−) o nulla (pallino
pieno). Quindi:
S = { −2 6 x < 5, x 6= 2 } = [−2, 5) \ { 2 }
Esercizio 69. Risolvi la disequazione
x2 − 4x + 4
> 0.
x2 + x − 6
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
x2 − 4x + 4 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 4 = 0
=⇒
(x − 2)2 = 0
=⇒
x−2 = 0
=⇒
x=2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa
che avviene per ogni x 6= 2) o lo interseca (cosa che avviene per x = 2).
2
x
95
96
disequazioni
– Denominatore:
x2 + x − 6 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 + x − 6 = 0
=⇒
(x + 3)(x − 2) = 0
da cui
x = −3
∨
x=2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
−3
2
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
−3
2
x
N
D
+
+
+
−
+
+
F
S
+
−
+
Per x = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo
contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non
esiste (pallino vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+) o nulla (pallino
pieno). Quindi l’insieme soluzione è:
S = { x < −3 ∨ x > 2 } = (−∞, −3) ∪ (2, +∞)
5.7
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
5.7 esercizi
Determina la scrittura corretta per ciascuno seguenti grafici.
1
a.
−3
x
A
x < −3
B
C
x > −3
x 6 −3
D
x > −3
D
x62
D
−2 < x < 2
D
3<x65
D
0 < x < −1
D
0<x60
D
2>1
b.
2
x
A
x<2
B
C
x>2
x>2
c.
−2
2
x
A
x < +2
B
C
x > −2
−2 6 x 6 2
d.
3
5
x
A
x65 ∨ x>3
B
C
3>x>5
36x<5
e.
−1
0
x
A
R \ { −1, 0 }
B
C
−1 > x > 0
−1 6 x 6 0
f.
0
x
A
x>0
B
C
x > −∞
x60
g.
1
2
x
A
x>1 ∨ x<2
B
C
16x<2
x61 ∧ x>2
[Due risposte A, una B, due C e due D]
Risolvi le seguenti disequazioni lineari.
2
x−2 > 0
[x > 2]
3
x+5 > 0
[x > −5]
97
98
disequazioni
4
x−4 > 0
[x > 4]
5
x−5 > 0
[x > 5]
6
x+3 6 0
[x 6 −3]
7
−1 6 x
[x > −1]
[x < 3]
8
3>x
9
3−x > x
[x < 3/2]
10
2x > 3
[x > 3/2]
11
3x 6 4
[x 6 4/3]
12
5x > −4
13
−x + 3 > 0
[x < 3]
14
−x − 3 6 0
[x > −3]
15
3 + 2x > 3x + 2
[x 6 1]
16
5x − 4 > 6x − 4
[x 6 0]
17
−3x + 2 > −x − 8
[x 6 5]
18
4x + 4 > 2(2x + 8)
[impossibile]
19
4x + 4 > 2(2x + 1)
[∀x ∈ R]
20
4x + 4 > 2(2x + 2)
[∀x ∈ R]
21
4x + 4 < 2(2x + 3)
[∀x ∈ R]
22
4x + 4 > 2(2x + 2)
[impossibile]
23
4x + 4 < 2(2x + 2)
24
−3x − 8 > 2
[impossibile]
10
x6−
3
25
−3x > 0
26
−3x 6 0
−3x + 5 > 0
−3x − 8 > 0
29
4
4x + 4 > 3 x +
3
30
4
− x>1
3
31
32
[x > −4/5]
[x < 0]
27
28
[x > 0]
5
x6
3
4
− x>0
3
2
4
− x>
3
3
33
1
2
− x6
3
9
34
2
− x69
3
35
x+5
1
>−
2
5
36
x+
37
38
39
1
x+3
<
−1
2
3
47
48
2x2
−4 > 0
− 18 6 0
[x 6 −2 ∨ x > 2]
[−3 6 x 6 3]
8
3
[x > 0]
x6−
3
4
[x 6 0]
1
x6−
2
1
x>−
6
27
x>−
2
27
x>−
5
3
x<−
4
x+5
x−1
+3+2
6 x + 4 [∀x ∈ R]
3
3
13
(x + 3)2 > (x − 2)(x + 2) x > −
6
3
1
2
1
3
x+ < 5 x−
x>
2
4
3
2
2
40
1 − (2x − 4)2 > −x(4x + 1) + 2 [x > 1]
41
(x + 1)2 > (x − 1)2
42
43
[x > 0]
3
1
(x + 1) − (1 − x) < x + 2 [x < 1]
2
3
3x − 1
2x + 3
[x > −3]
− 5 < 2x +
5
3
Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado.
2
49
x2 + 4 > 0
44
3x2 − 2x > 0
x<0 ∨ x>
3
50
x2 + 9 6 0
1
45
5x2 + x 6 0
− 6x60
1 − x2 < 0
51
5
x2 − 3x − 4 > 0
52
1
2
x − 3x > 0
0<x<
46
3
53
x2 − 3x − 4 < 0
x2
x6−
54
x2 − 2x + 1 > 0
55
4x2
− 4x + 1 > 0
[∀x ∈ R]
[impossibile]
[x < −1 ∨ x > 1]
[x < −1 ∨ x > 4]
[1 < x < 4]
[x 6= 1]
[∀x ∈ R]
5.7 esercizi
56
x2 + 2x + 1 < 0
57
4x2 + 4x + 1 6 0
58
2x2 − 3x + 4 > 0
59
x2 − x + 1 < 0
60
(x + 2)(3 − x) 6 0
61
x(x − 2) > 0
[impossibile]
1
−
2
[∀x ∈ R]
[impossibile]
[x 6 −2 ∨ x > 3]
[x < 0 ∨ x > 2]
62
2
2
(3x + 2)(2 − 3x) < 0 x < − ∨ x >
3
3
63
x2 − 16 6 0
64
4x2
− 2x < 0
[−4 6 x 6 4]
1
0<x<
2
99
65
x2 + 17x + 16 6 0
66
x2 + 2x + 1 < 0
67
x2
+ 6x + 9 > 0
[∀x ∈ R]
68
x2
− 5x + 6 < 0
[2 < x < 3]
69
x2
+ 3x − 4 6 0
[−4 6 x 6 1]
70
x2
+4 > 3
71
x2
+ 3 < −1
[−16 6 x 6 −1]
[impossibile]
[∀x ∈ R]
[impossibile]
72
(3x + 4)2
73
3x2
74
16x2 + 24x + 9 < 0
[impossibile]
75
3x2 − 6x + 3 < 0
[impossibile]
88
1
3
6
2−x
x−4
89
2
2 − 6x
< 2
4x − 16
x − 8x + 16
<
(x + 12)2
[−4 < x < 4]
[x < −5 ∨ x > 0]
+ 15x > 0
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
1
2x + 1
<0
− <x<0
x
2
3
[x > 2]
<0
4 − 2x
x−4
[x < 2 ∨ x > 4]
<0
2−x
x2 − 5x + 4
< 0 [1 < x < 2 ∨ x > 4]
2−x
3x − 1
1
>0
x6 ∨ x>3
x−3
3
4x2 − 1
1
1
60 x6− ∨ 6x<1
x−1
2
2
x2 − 4x + 4
>0
x2 + x − 6
x−2
>0
3x − 9
x+2
<2
x−1
4 − 3x
> −3
6 − 5x
x+8
>0
x−2
3x + 4
>2
x2 + 1
90
91
2<x6
2
2x − 2
[−3 < x < 2]
6
x−2
(x − 2)(x + 3)
4 − 3x
3x + 1
1
<
x< ∨ x>2
x−2
x−2
2
92
x−4
5x − 4
>
3x − 12
4−x
93
2−x
5x − 1
6
5x − 15
2x − 6
94
x
2
1
>
−
2x + 2 4x − 4
1 − x2
[x < 1 ∨ x > 4]
6
11
x< ∨x>
5
9
95
2x2
>1
2x2 − x
96
x2 − 5x + 6
61
x2 − 7x + 12
[x 6 −8 ∨ x > 2]
1
− 6x62
2
97
[x < −3 ∨ x > 2]
[x < 2 ∨ x > 3]
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
3 x−1
x+1
99
−
6
x 2−x
x−2
98
7
∨ x>4
2
8
x<
13
x
>0
3x − 1
x
>2
x−1
[x 6 2 ∨ x > 4]
1
x6 ∨ x>3
3
[x < −1]
1
x>
2
[x < 4, x 6= 3]
1
x60 ∨ x>
3
[1 < x < 2]
[x < 0 ∨ 2 < x 6 6]
100
disequazioni
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
x2 − 4
<0
− 7x + 10
2
2x − 5
>0
−
x − 3 x2 − 9
3x + 12
>0
(x − 4)(6 − 3x)
2
1
3
−
>
x+2 x+1
2x + 2
3
2x2
x+1
6 2
−
2x − 1
x
2x − x
x2
2x
x+2
3
+
>
2x − 1 2x + 1
2
x
4
1
+
60
+
− 1 2x + 1 1 − 2x
4x2
x2 − 7x + 6
60
2x − 3x2
1 1
1
+ >
x 2
x−1
3−x
x−1
2
>
+
x−2
x + 3 x2 + x − 6
110
x
4−x
2x + 1
−
> 2
x+1 x+2
x + 3x + 2
111
x+1 2
x+1
− >
x
x
x−1
112
5
5x + 4
> 2
2x + 6
x + 6x + 9
113
1
x
6 2
x
x − 2x + 1
114
5
x
+
61
4 − x2 x + 2
115
116
117
4
2
+
6 0
x+4 x−3
7
6
−
>0
x+3 x+9
x−3
3x − 3
−1 <
6 − 3x
x2 − 4x + 4
(x + 3)(2x − 1)
<0
x−2
Risolvi le seguenti disequazioni.
118
119
120
x(x + 1)
x − 5 10x − 5
>
+
4
12
6
2(x − 1)(2x + 1)
+ 5 6 x(x + 1)
10
[−2 < x < 5, x 6= 2]
[x < −3 ∨ x > 3]
[x 6 −4 ∨ 2 < x < 4]
[x 6 −6 ∨ −2 < x < −1]
1
1
x<0 ∨ 6x<
4
2
1
1
1
− <x<
∨x>
2
10
2
1
1
3
x 6 −1 ∨ − < x < ∨ x >
2
2
2
2
x<0 ∨ <x61 ∨ x>6
3
[x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 2]
5
−3 < x 6 −1 ∨ 2 < x 6
2
5
x < −2 ∨ x >
2
1
x<0 ∨ <x<1
3
7
x 6 , x 6= −3
5
1
x < 0 ∨ x > , x 6= 1
2
1
−2 < x 6 − ∨ x > 2
2
2
x < −4 ∨ 6 x < 3
3
[−45 6 x < −9 ∨ x > −3]
5
x < , x 6= 2
2
1
x < −3 ∨ < x < 2
2
[x 6 1 ∨ x > 5]
[x 6 −4 ∨ x > 2]
5.7 esercizi
121
122
(x + 2)2 (x − 2)(x + 2)
4x + 4
−
>
4
6
3
(2x + 1)2 − 8x < 24 + (x − 2)2
[x 6= 2]
[−3 < x < 3]
1
1
x 6 −1 ∨ − 6 x 6
2
2
123
4x3 + 4x2 6 1 + x
124
x3 + 3x2 − x − 3 < 0
125
x3
126
2x3 + 3x2 − 5x < 0
127
6x3 − x2 − 2x > 0
128
x3 − 2x2 − 15x > 0
[−3 6 x 6 0 ∨ x > 5]
129
x3
− 2x2
−x+2 > 0
[−1 6 x 6 1 ∨ x > 2]
130
x4
+ 4x3
+ 3x2
131
x4
− 10x2
132
x3
+ 3x2
133
x3 − 6x2 + 10 > −3x
[−1 < x < 2 ∨ x > 5]
134
x3 − 2x2 − x + 2 6 0
[x 6 −1 ∨ 1 6 x 6 2]
135
Vero o falso?
+ x2
[x < −3 ∨ −1 < x < 1]
[−3 6 x 6 −1 ∨ x > 3]
5
x<− ∨ 0<x<1
2
1
2
− 6x60 ∨ x>
2
3
− 9x − 9 > 0
[x < −3 ∨ x > −1, x 6= 0]
>0
+9 6 0
[−3 6 x 6 −1 ∨ 1 6 x 6 3]
+ 2x < 0
[x < −2 ∨ −1 < x < 0]
a. La disequazione (x − 1)2 > (x + 1)2 è
di primo grado.
b. La disequazione x(x − 1)
equivale a x − 1 > 2.
V
F
>
2x
V
F
c. L’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado varia a seconda del segno del discriminante
dell’equazione associata.
V
F
possibile, anche la disequazione è
impossibile.
F
e. L’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado ax2 + bx +
c > 0, con ∆ > 0, è costituito dagli intervalli esterni alle soluzioni x1 e x2
dell’equazione associata, qualsiasi sia
il segno del coefficiente a.
d. Se l’equazione associata a una disequazione di secondo grado è im136
V
V
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
Indica la risposta corretta.
a. Se risolvendo una disequazione l’incognita viene eliminata, allora la disequazione:
A
può essere impossibile
C
non si può risolvere
B
è sempre verificata
D
è indeterminata
b. Data la disequazione −2x − 1 > 2, moltiplicando i due membri per −1 si ottiene:
101
102
disequazioni
A
2x − 1 6 −2
B
2x − 1 > −2
C
2x + 1 > 2
D
2x + 1 6 −2
C
x6
1
3
D
x6−
1
3
x>
3
4
D
x>−
1
3
C
x6
3
4
D
x>
C
x > −2
D
x<4
D
{x > 1}
D
{x > 1}
D
{x = 0}
c. La disequazione 3x 6 −1 è verificata per:
A
x63
B
x 6 −3
4
d. La disequazione − x > 1 è verificata per:
3
7
3
B x6−
C
A x>
3
4
4
e. La disequazione − x > 0 è verificata per:
3
A
x60
B
x>0
3
4
f. La disequazione 3 − x > 1 è verificata per:
A
x<2
B
x < −2
g. L’insieme soluzione della disequazione 0 · x > 1 è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
h. L’insieme soluzione della disequazione 5 + x > 4 + x è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
i. L’insieme soluzione della disequazione 4x + 4 > 2(2x + 2) è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
4
j. L’insieme soluzione della disequazione 4x + 4 > 3 x +
è:
3
A
R
B
∅
C
{x > 0}
D
x>
16
3
[Quattro risposte A, tre B, una C e due D]
137
Indica la risposta corretta.
a. L’insieme soluzione della disequazione (x − 2)2 + x + 2 6 (x − 1)(x + 1) è:
7
B {x > 1}
C {x > 2}
D ∅
A
x>
3
5.7 esercizi
b. Se a e b sono due numeri positivi tali che a > b, allora:
A
B
−a > −b
−b < a
C
−a > b
D
1
1
>
a
b
c. Date le due disequazioni
4 − x < 3 − 2x
x − 4 > 2x − 3
allora:
A
hanno le stesse soluzioni
B
le soluzioni della prima sono opposte a quelle della seconda
C
non c’è alcun legame tra le soluzioni delle due disequazioni
D
le soluzioni della prima hanno il verso contrario rispetto a quelle della seconda
d. Se a e b sono due numeri negativi tali che a > b, allora:
A
B
−a < −b
−a > −b
C
−a < b
D
1
1
>
a
b
e. Quale tra le seguenti disequazioni rappresenta il problema «trova i numeri tali che
il loro doppio sia minore del loro triplo diminuito di 1»?
A
B
2x < 3x − 1
2x > 3x − 1
C
3x > 2x − 1
D
3x < 2x − 1
C
x>0
D
x<1
f. La disequazione (x − 1)x > 0 è verificata per:
A
x<0 ∨ x>1
g. La disequazione
B
0<x<1
x+1
> 0 è verificata per:
x−2
A
−1 < x < 2
C
−1 < x 6 2
B
x 6 −1 ∨ x > 2
D
−2 < x 6 1
h. La disequazione
x+1
< 1 è verificata per:
x+2
A
x<1 ∨ x>2
C
x > −2
B
−2 < x < 1
D
x>1
i. Il sistema
x−1 > 0
è verificato per:
x+2 < 0
103
104
disequazioni
A
−2 < x < 1
C
−1 < x < 2
B
16x<2
D
mai verificato

 (x + 1)(x + 2) > 0
è verificato per:
j. Il sistema
 x−1 6 0
x−2
A
x < −2 ∨ x > 1
C
−1 < x < 1
B
1<x<2
D
−1 < x < 2
[Cinque risposte A, tre B, una C e una D]
138
Indica la risposta corretta.
a. Le lettere a e b rappresentano due numeri reali. Si sa che a < b. Allora, necessariamente:
A
b−a < 0
B
a/b < 0
C
b−a > 0
D
a−b > 0
b. Si sa che 2x < 11. Allora, necessariamente:
11
2
A
x<5
C
x<
B
x > −9
D
nessuna delle precedenti
c. Si sa che −2x < 11. Allora, necessariamente:
11
2
A
x<9
C
x<
B
x > −9
D
nessuna delle precedenti
d. Una sola delle disequazioni seguenti (in cui x ∈ R) è impossibile. Quale?
A
x2 < x
B
2x − 4 6 0
C
x < x+1
D
x > x+1
e. Uno solo dei seguenti numeri è una soluzione della disequazione 5(x − 1) < 4x + 3.
Quale?
A
7
B
8
C
9
D
10
f. L’insieme soluzione della disequazione x4 > −3, disegnato sulla retta reale, è:
5.7 esercizi
A
un punto
C
un intervallo illimitato
B
un intervallo limitato
D
tutta la retta
g. L’insieme soluzione della disequazione x + 2x + 3x 6 4x + 5x è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
formato da un solo elemento
D
un intervallo illimitato
h. L’insieme soluzione della disequazione x + 2x + 3x > 4x + 5x è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
formato da un solo elemento
D
un intervallo illimitato
i. La disequazione x − 2(1 − x) < 2x è verificata per:
A
x=2
B
x<2
C
x=0
D
x>0
{3}
D
{5}

 x−1 < 5
x−1 > 5 è
j. L’insieme soluzione del sistema

x−3 < 0
A
∅
B
{1}
C
[Due risposte A, una B, due C e cinque D]
139
Indica la risposta corretta.
a. La disequazione x3 − x2 + 4x < 0 è verificata per:
A
x>0
B
x<0
C
−
1
3
6x<
2
2
D
x>4
D
1
> −1
x
b. Se −1 < x < 0, allora quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A
1
>1
x2
B
x2 − 1 < 0
C
1−x
<0
x
c. Il trinomio 2x2 − 5x − 8
A
non è mai negativo
C
non è mai positivo
B
è negativo in un intervallo limitato
D
nessuna delle risposte precedenti
d. Il trinomio 2x2 − 5x + 8
105
106
disequazioni
A
non è mai negativo
C
non è mai positivo
B
è negativo in un intervallo limitato
D
nessuna delle risposte precedenti
e. { 3 < x < 7 } è l’insieme soluzione della disequazione:
A
x2 − 10x + 21 < 0
C
x2 − 10x + 21 > 0
B
x2 + 10x + 21 < 0
D
x2 + 10x + 21 > 0
f. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante positivo:
A
ha una sola soluzione
C
ha infinite soluzioni
B
ha esattamente due soluzioni
D
è impossibile o indeterminata
g. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante negativo:
A
ha una sola soluzione
C
ha infinite soluzioni
B
ha esattamente due soluzioni
D
è impossibile o indeterminata
h. L’insieme soluzione del sistema
4x2 − 3x − 1 > 0
, rappresentato sulla retta reale,
x2 − 2x < 0
è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
i. L’insieme soluzione della disequazione x4 < −3, rappresentato sulla retta reale, è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
j. L’insieme soluzione della disequazione x4 > −3, rappresentato sulla retta reale, è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
[Tre risposte A, due B, due C e tre D]
140
Indica la risposta corretta.
a. L’insieme soluzione della disequazione (x2 + 1)(x2 − 1) < 0 è:
5.7 esercizi
A
{x > 1}
B
{ −1 < x < 1 }
C
{ x < −1 }
D
{ x < −1 ∨ x > 1 }
b. Si considerino le due disequazioni x > 1 e x2 > 1. Allora:
A
sono equivalenti
B
l’elevamento al quadrato ha fatto perdere soluzioni
C
l’elevamento al quadrato ha introdotto soluzioni estranee
D
la seconda disequazione è sempre verificata
c. Si considerino le due disequazioni x2 +
1
1
> e x2 > 0. Allora:
x
x
A
gli insiemi soluzioni delle due disequazioni sono disgiunti
B
la prima disequazione è verificata per ogni x ∈ R
C
sono equivalenti
D
ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda
√
√
d. L’insieme soluzione della disequazione ( 2 − 3)x < 0 è:
A
R
B
{x > 0}
C
{x > 0}
D
{x < 0}
e. Si considerino le due disequazioni x3 − x2 > 0 e x − 1 > 0. Allora:
A
sono equivalenti
B
ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda
C
ogni soluzione della seconda disequazione è anche soluzione della prima
D
gli insiemi soluzione delle due disequazioni sono disgiunti
f. L’insieme soluzione della disequazione x2 > 0 è:
A
R\{0}
B
{x > 0}
C
{x > 0}
D
R
D
R
g. L’insieme soluzione della disequazione x2 > 0 è:
A
{x > 0}
B
{x > 0}
C
R\{0}
107
[Una risposta A, una B, tre C e due D]
108
disequazioni
141
Vero o falso?
a. Aggiungendo un numero negativo a
entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza
V
di verso opposto.
F
b. Moltiplicando entrambi i membri
di una disuguaglianza per uno
stesso numero si ottiene sempre
una disuguaglianza dello stesso ver-
V
so.
F
c. Dividendo entrambi i membri di una
disuguaglianza per un numero positivo si ottiene una disuguaglianza dello
V
stesso verso.
F
e. In generale, le disequazioni lineari hanno come soluzione un unico
valore.
V F
f. In generale, l’insieme soluzione di
una disequazione lineare è costituito
da un numero finito di valori. V
g. Due disequazioni si dicono equivalenti
se hanno le stesse soluzioni. V
V
stessi.
142
F
h. Se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per uno
stesso numero diverso da zero, si
ottiene una disequazione a essa
equivalente.
V
F
i. Due disequazioni equivalenti hanno
lo stesso verso.
d. La disuguaglianza fra i reciproci di
due numeri negativi ha verso contrario rispetto a quello fra i numeri
F
V
F
j. Tutte le disequazioni impossibili sono
fra loro equivalenti.
F
V
F
[4 affermazioni vere e 6 false]
Indica la risposta corretta.
a. Considera le due disuguaglianze:
−5 < −3
−4 < 7
Quale, delle seguenti affermazioni, è falsa?
A
sono entrambe disuguaglianze vere
B
hanno entrambe lo stesso verso
C Sommando 4 a entrambi i membri delle disuguaglianze, i loro versi restano
inalterati
D Moltiplicando per −5 entrambi i membri delle disuguaglianze, la prima cambia
verso mentre nella seconda il verso resta lo stesso
b. Sono date le due disequazioni:
3(x − 3) > 7x + 5
3(x − 3) > 7
Fra le seguenti, qual è l’unica affermazione vera?
A
x = 0 è soluzione della prima disequazione
5.7 esercizi
B
x = 5 è soluzione della seconda disequazione
C
x = 4 non è soluzione né della prima né della seconda disequazione
D
le due disequazioni sono equivalenti perché hanno il primo membro uguale
c. Sono date le due disequazioni:
1
x−3 < 0
2
1
1
x−3 < x−2
2
3
Fra le seguenti, qual è l’unica affermazione falsa?
A
Sono tutte determinate
B
x = 0 è soluzione di entrambe le disequazioni
C
Se un valore di x soddisfa la prima disequazione, allora soddisfa la seconda
D
Se un valore di x soddisfa la seconda disequazione, allora non soddisfa la prima
d. Se fra tre numeri reali a, b e c, vale la relazione 0 < a < b < c, quale delle seguenti
affermazioni è sicuramente falsa?
A
1/c < 1/a
B
c−b > 0
C
a2 < b2
D
a − 2b > 0
e. Le seguenti disequazioni sono tutte equivalenti, tranne una. Quale?
A
2x > 4
B
x>2
C
x+2 > 0
D
−2x < −4
f. Quale, fra le seguenti disequazioni, ha come insieme soluzione [2/3, +∞)?
A
2 − 3x > 0
B
2 6 3x
C
3 − 2x < 0
D
3 6 2x
g. Quale, fra le seguenti disequazioni, non ha come insieme soluzione [−1/2, +∞)?
A
−2x < 1
B
x > −1/2
C
x > −(x + 1)
D
2x < −1
C
x>1
D
x>0
h. La disequazione −1/x > 0 è verificata per:
A
x<0
B
x < −1
i. La disequazione (x − 1)/x 6 0 è verificata per:
A
x61
C
x<0 ∨ x>1
B
x < 0 ∨ x > −1
D
0<x61
109
110
disequazioni
j. Solo una, delle seguenti disequazioni, è equivalente alla disequazione −6x + 2 6
2x − 4. Quale?
A
B
4x > −1
C
4x > −3
4x 6 −1
D
−4x 6 −3
[Una risposta A, una B, due C e sei D]
143
Vero o falso?
a. Se una disequazione ha come risultato 2 > 0, allora x = 0 è una soluzione
della disequazione.
V F
b. Una disequazione che non è verificata per alcun valore di x è detta
V
impossibile.
F
c. La disequazione x < x è impossibi-
V
le.
V
V
intervallo limitato.
F
i. In un sistema di due disequazioni è possibile che queste abbiano
soluzioni e che il sistema non ne
abbia.
V F
F
d. La disequazione x > x è indeterminata.
h. Nelle disequazioni fratte, l’insieme soluzione può anche essere un
F
j. Le soluzioni di un sistema di disequazioni devono soddisfare ogni disequa-
V
zione che lo compone.
F
e. La disequazione 3x > −3 ha come
V
soluzione x < −1.
F
f. Una disequazione si dice fratta se contiene l’incognita sia al numeratore che
V
al denominatore.
F
g. Studiare il segno di una frazione algebrica vuol dire cercare per quali valori dell’incognita la frazione è positiva,
V
negativa o nulla.
144
k. Se una delle disequazioni di un sistema è indeterminata, allora il sistema
è indeterminato.
V F
l. Se una delle disequazioni di un sistema è impossibile, allora il sistema è
V
impossibile.
F
F
[9 affermazioni vere e 3 false]
Indica la risposta corretta.
a. È dato il seguente problema: «Un rettangolo, con un lato di 10 cm, ha il perimetro
non inferiore a 30 cm. Quali valori può assumere l’altro lato?» Quale, fra le seguenti
disequazioni, ne è la traduzione algebrica?
A
2(10 + x) = 30
B
2(10 + x) 6 30
C
2(10 + x) < 30
D
2(10 + x) > 30
2x − 4 > 0
, uno dei seguenti valori non appartiene all’insieme
−x + 4 > 0
delle sue soluzioni. Quale?
b. Dato il sistema
A
1
B
2
C
3
D
4
5.7 esercizi
c. Fra le seguenti, qual è la frase che traduce la disequazione
1
1
x − 3 6 3x − ?
2
2
A La metà di un numero sommata a 3 C La differenza tra la metà di un nunon è superiore alla differenza tra il tri- mero e 3 non è superiore alla differenza
plo del numero stesso e 1/2. Trova il nu- tra il triplo del numero stesso e 1/2. Tromero.
va il numero.
B La metà di un numero sommata a 3 D Togliendo 3 alla metà di un numero
è inferiore al triplo del numero stesso me- si ottiene un numero non superiore al trino 1/2. Trova il numero.
plo della differenza tra il numero stesso
e 1/2.
d. Il sistema
A
x2 − 25 6 0
è verificato per:
x2 + 3x > 18
x>3
B
x65
C
36x<5
D
3<x65
C
1
1
x− > 0
2
5
D
4 + 2x
60
−1
e. Quale delle seguenti disequazioni è fratta?
A
3−x
60
3+5
B
3−x
>0
3+x
f. Quale delle seguenti è una disequazione di secondo grado nell’incognita x?
A
x − (x − 2) > 0
B
x
>0
x+2
C
x + (x + 2) > 0
D
x(x + 2) 6 0
D
infinite
D
1 − x2 < 0
g. Quante soluzioni ha la disequazione x2 − 4x + 4 6 0?
A
nessuna
B
una
C
due
h. La disequazione 1 − 4x2 6 0 è verificata per:
A
B
1
1
∨x>
2
2
1
1
− 6x6
2
2
x6−
C
−2 6 x 6 2
D
x 6 −2 ∨ x > 2
i. Il valore −1 appartiene all’insieme soluzione della disequazione:
A
−1 − x2 > 0
B
1 + x2 6 0
C
1 − x2 > 0
j. Il valore 3 appartiene all’insieme soluzione del sistema di disequazioni:
2
2
2
2
x +4 > 0
x −4 > 0
x <0
x −1 > 0
A
B
C
D
x2 + 16 6 0
x2 − 16 6 0
x2 − 3 > 0
x2 + 3 6 0
[Due risposte A, tre B, due C e tre D]
Indica la risposta corretta.
2
x − 5x + 6 6 0
a. Il sistema di disequazioni
è verificato per:
x2 − 4 6 0
145
111
112
disequazioni
A
x=2
C
−3 6 x < 2
B
−3 6 x 6 2
D
x = ±2 ∨ x = 3
b. La disequazione fratta
A
1
> 0 è verificata per:
x−3
B
x 6= 3
C
x>3
c. Quante sono le soluzioni della disequazione
A
B
nessuna
D
16x<3
D
infinite
D
x < 0 ∨ x >
3x2 + 1
6 0?
x2
C
una
x>1
1
6 2 è verificata per:
x
1
B x6
C
2
due
d. La disequazione fratta
A
x>0
0<x6
1
2
e. Quale dei seguenti numeri è soluzione della disequazione
A
B
0
C
1
f. Il segno della frazione algebrica
1
2
x2 − 4
> 0?
x2
2
D
3
1−x
dipende:
1 + x2
A
solo dal segno del numeratore
C
solo dal segno del denominatore
B
dal segno di x2
D
non si può sapere senza risolverla
g. la frazione algebrica
x−5
è:
5−x
A
sempre positiva
B
sempre non negativa
C
sempre positiva tranne che per x = 5, dove non è definita
D
sempre negativa tranne che per x = 5, dove non è definita
h. Considerata la funzione f(x) = 2x2 + 3, quale delle seguenti proposizioni è corretta?
A
f(x) > 0 ∀x ∈ R
C
B
f(x) > 0 ∀x > 0
D
3
2
3
f(x) > 0 ∀x < −
2
f(x) > 0 ∀x > −
i. Considerata la funzione f(x) = 1 − 4x2 , quale delle seguenti proposizioni è corretta?
5.7 esercizi
A
f(x) > 0
B
f(x) > 0
1
4
1
∀x >
4
∀x 6
C
f(x) > 0
D
f(x) > 0
1
1
∨x
2
2
1
1
∀x tale che − 6 x 6
2
2
∀x 6 −
j. La funzione f(x) = 5 − x2 cambia segno in corrispondenza di x uguale a:
A
0
B
±5
C
√
± 5
D
√
±1/ 5
k. L’insieme soluzione della disequazione (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 è:
A
∅
C
{ −1, 2, −3 }
B
{ 1, −2, 3 }
D
nessuno dei precedenti
l. L’insieme soluzione della disequazione
A
B
∅
√
√ − 26x6 2
x2 + 4
6 0 è:
−2 − x2
C
{ −2 6 x 6 2 }
D
R
[Quattro risposte A, una B, una C e sei D]
113