RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE NON PERIODICA
NEL DOMINIO DEL TEMPO
Un carico generico può essere considerato come una successione di
impulsi di durata molto breve.
Consideriamo di questi
F
carico
impulsi quello che si genera
al tempo  di durata d ;
l’effetto di questo impulso
F(
infinitesimo al tempo t
d
(successivo a ) si ottiene
t

dalla risposta al carico
impulsivo:
x
risposta
t'
F  d  t  
dx 
e
sen  D t   
m D
dx()
t=t'+
t
Questa è la porzione infinitesima di risposta che proviene
dall’impulso infinitesimo applicato al tempo .
La risposta totale prodotta dalla completa storia di carico si può
ottenere sovrapponendo gli effetti dei singoli impulsi infinitesimi
che si susseguono fra il tempo 0 ed il tempo t:
F    t  
e
sen  D t   d
0 m
D
xt   
xt  
t
1
m D

t
0
F  e  t   sen  D t   d
INTEGRALE DI DUHAMEL: rappresenta la risposta di un
sistema SDOF smorzato ad una generica storia di carico F(t);
poiché la derivazione è basata sul principio di sovrapposizione
degli effetti, essa è valida solo per sistemi lineari.
RISPOSTA AL MOTO DEL SUOLO:
ANALISI SISMICA
ANALISI TIME-HISTORY
Sistema smorzato sottoposto ad un arbitrario movimento del suolo:
equazione del moto:
mx  xG   cx  kx  0
Si può porre:
mx  cx  kx  mxG
F t   mxG
e assumere F(t) come somma di una serie di carichi impulsivi.
Sostituendo nell'integrale di Duhamel:
xt  
1
D

t
0
xG  e  t   sen  D t   d
(il segno - si può omettere: nell'analisi sismica non interessa il
verso della risposta).
Per le strutture degli edifici,  ha valori bassi (dell'ordine del
5%), per cui
xt  
1   1
2
1

t
0
e D  
xG  e  t   sen  t   d 
1

V t 
La risposta in termini di velocità si può ottenere derivando la
yt   Ce t cos D t    (vibrazioni libere del sistema
sottosmorzato) e applicando lo stesso procedimento:
x t     xG  e t   cos t      d  V t 
t
0
  arctg

1
2
 arctg 
L'accelerazione assoluta si può ricavare dalla eq. del moto in termini
di spostamento relativo tra massa e sostegno, mu  cu  ku  mxs
trascurando il termine legato allo smorzamento e sostituendovi
l'espressione di x(t) desunta sopra:
mx  cx  kx  mxG
c
k
x  xG   x  x
m
m
x  xG  2x   2 x    2 x
x  xG   xG e t   sin t  d  V t 
t
0
Noto quindi il moto della struttura, è possibile calcolare le azioni
interne necessarie per progettare e/o verificare una struttura.
Si possono seguire due strade:
• essendo noti gli spostamenti in ogni istante di tempo, si possono
calcolare le rotazioni nei nodi degli elementi strutturali e,
conoscendone le rigidezze, ricavare le caratteristiche della
sollecitazione e gli sforzi;
• nota la rigidezza, è possibile definire, ad ogni istante di tempo,
una forza statica equivalente
Fs  kxt 
tale che, applicata al sistema, induca spostamenti uguali a quelli
calcolati risolvendo l'equazione del moto; le azioni interne sono
quindi calcolate con una analisi statica della struttura soggetta
alla forza equivalente
Il secondo metodo è spesso utilizzato nell'ingegneria sismica perché
permette di utilizzare gli effetti del terremoto come dei carichi statici.
Ricordando che
x  xG  2x   2 x    2 x
Fs  kx  m2 x  mx  xG   ma
Ad ogni istante di tempo, la forza statica equivalente è pari al
prodotto della massa per la pseudo-accelerazione a
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI
Spesso, per la progettazione di strutture soggette a vibrazioni non a
regime, più che l'andamento nel tempo interessa conoscere i valori
massimi della risposta, in termini di spostamento, velocità o
accelerazione.
Lo spostamento relativo raggiunge il valore massimo in corrispondenza
del max dell'integrale nell'espressione di x(t) precedente. Per cui
ponendo:
Sv 
 x e
t
0
 t   
G

sin t  d
max
si ottiene il valore max dello spostamento:
Sd 
1

Sv  xmax
spostamento spettrale
Sv è abbastanza vicino, anche se non esattamente uguale (è = per
=0), al valore max della risposta in termini di velocità:
Sv  xmax
pseudo-velocità spettrale
S a  S v  x  xG max pseudo-accelerazione spettrale
Sd 
1

2
Sa
Il valore max della forza nell'organo elastico - ovvero il valore di
taglio max alla base - vale:
f max  kS d   mS d  mS a
2
Con riferimento alla registrazione di una componente di
accelerazione relativa ad un terremoto, si possono ricavare, per
un sistema ad un grado di libertà e per ogni coppia di valori del
periodo proprio e del coefficiente di smorzamento, i valori di Sa,
Sv e Sd.
E’ possibile rappresentare graficamente, per un dato
accelerogramma, l’andamento di Sa, Sv e Sd in funzione del
periodo proprio e per determinati valori del coefficiente di
smorzamento.
Tali diagrammi sono chiamati rispettivamente
SPETTRO DI RISPOSTA
della pseudo-accelerazione, pseudo-velocità, spostamento
Terremoto del Friuli 1976
spettro di risposta normalizzato dello spostamento relativo
3
0%
2%
spostamento relativo/x g,max
2.5
5%
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T [s]
4
Terremoto del Friuli 1976
spettro di risposta normalizzato della pseudo-velocità relativa
8
Pseudovelocità relativa/v g,max
7
6
5
0%
2%
5%
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T [s]
si nota che da un certo valore di T in poi, la velocità rimane
pressoché costante
4
Terremoto del Friuli 1976
spettro di risposta normalizzato della pseudo-accelerazione assoluta
10
Pseudoaccelerazione assoluta/a g,max
9
8
7
6
0%
2%
5%
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T [s]
4
Gli spettri di risposta calcolati sulla base di un determinato
accelerogramma presentano un andamento abbastanza irregolare
che corrisponde ad effetti di risonanza locale, legati al contenuto in
frequenza dell’accelerogramma.
Queste irregolarità si attenuano
passando a curve calcolate per
smorzamenti via via maggiori.
10
Pseudoaccelerazione assoluta/a g,max
9
8
7
6
0%
2%
5%
5
4
3
2
1
Spettri di pseudo-accelerazione:
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T [s]
4
•
per valori di periodo prossimi a 0, strutture molto rigide,
l’accelerazione assoluta tende a coincidere con l’accelerazione
del suolo (al limite uguale per T=0);
•
le massime amplificazioni si hanno per valori del periodo
abbastanza piccoli;
•
per strutture molto deformabili, l'accelerazione max decresce e
tende a 0.
Spettri di spostamento:
•
strutture molto rigide, periodi prossimi a 0, presentano
spostamenti relativi al suolo piccoli (al limite nulli per T=0)
•
l’accelerazione assoluta tende a coincidere con l’accelerazione
del suolo;
•
le massime amplificazioni si hanno per valori del periodo
intermedi;
•
per strutture molto deformabili, lo spostamento massimo tende
a quello del terreno.
x
x
3
spostamento relativo/x g,max
spost.
rel.=0
0%
2%
2.5
5%
spost.
ass.=0
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T [s]
4
xG
T=0
xG
T=
Noti il periodo proprio e il coefficiente di smorzamento di una
struttura, la sua risposta massima può essere rilevata dallo
spettro.
Trasformazione di un problema dinamico in uno statico:
dallo spettro, si può determinare la massima forza statica
equivalente da applicare alla struttura per ricavarne gli effetti
massimi.
Fmax 
Fmax  kSd  2 mSd  mSa
Fmax mS a Sa


W
W
g
S a T 
W
g
m
W=mg
S a/g
0,4
0,3
k
S__
a
g
0,2
0,1
T
T
T  2
m
k