Lavoro
Il lavoro è una quantità fisica che viene definita partendo dai seguenti
ingredienti: una forza F e la l’elemento Ds di traiettoria che il corpo
compie sotto l’effetto della forza.
F
q
Tangente alla
traiettoria
Ds traiettoria
Si definisce lavoro:
L=F.Ds =F.Ds cos q
Il lavoro è uno scalare, e
non è sempre positivo,
dipende dal verso dello
spostamento.
Consideriamo il caso della forza di gravità. Supponiamo
che sul corpo agisca solo questa forza.
Forza muscolare
Forza totale
Spostamento
Forza peso
Lavoro=Forza totale x spostamento
Forza muscolare
Forza muscolare
Forza totale
Spostamento
Forza peso Spostamento
Forza peso
Lavoro=Forza totale x spostamento
Lavoro=0
Il lavoro misura lo sforzo complessivo
F
L=F.Ds
Ds
Il lavoro è uno scalare, e non è sempre positivo, dipende
dal verso dello spostamento.
Per esempio, in entrambi i casi il corpo si muove solo la sola forza di
gravità:
Primo caso:
Secondo caso:
L=F.Ds =F.Ds cos q
=F.Ds >0
mg
L=F.Ds =F.Ds cos q
=-F.Ds <0
Ds
Ds
mg
q=0 cosq=1
q=180° cosq=-1
Le dimensioni del lavoro sono:
L=F.Ds
=ma.l
=massa x lunghezza2/tempo2
=massa x velocità2
Le unità di misura del lavoro sono:
L=F.Ds
1 Joule= 1 Newton x 1 metro
Esercizio 1:
• Un uomo tira un’aspirapolvere per 3 metri, applicandogli una forza di
50 N a 60° dal piano orizzontale.
• Calcolare il lavoro fatto dall’uomo sull’aspirapolvere
L=F.Ds
q=60°
x
=F.Ds cos q
=50.3 cos 60°
=50.3 0.5
=75 J
Energia cinetica
Si definisce energia cinetica la quantità:
1
2
K = mv
2
K ha le dimensioni di un’energia.
Legame tra energia cinetica e lavoro
F
q
B
A
Ds
x
Fx=F cos q
Supponiamo,per generalità, che la forza non sia costante
B
4,0
3,5
3,0
F
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x
2,5
3,0
3,5
In ogni intervallino la forza è costante.
Quindi, il moto è uniformemente accelerato
Nel primo intervallo v1=v0+a1t t=(v1-v0)/a1
x=s1+v0t+1/2a1t2 Ds1=x-s1=v0t+1/2a1t2
L1=F1.Ds1 =F1x.Ds1 =ma1.(v0t+a1t2/2)
(v1 - v 0 ) 1 v1 - v 0 2
= ma1 (v 0
 a1 (
) )
a1
2
a1
v 0 v1 - v
1 v - 2 v1v 0  v
= ma1 (
 a1
)
2
a1
2
a1
2
1
2
0
2
0
2
v 0 v1 v 02 1 v1 1 2 v1v 0 1 v 02
= ma1 (


)
a1
a1 2 a1 2 a1
2 a1
2
v1
v 02
2
= m(- v 0 
 )
2
2
=
1
1
2
mv1 - mv 02
2
2
F
Calcoliamo il lavoro nei vari intervalli:
v4=v3+a4t
v3=v2+a3t a
4
v2=v1+a2t a3
F4x
a2
F3x
v1=v0+a1t F
2x
a
1
F1x
s2
s1
s3 s s4
s5
x=s1+v0t+1/2a1t2
x=s2+v1t+1/2a2t2
x=s3+v2t+1/2a3t2
x=s4+v3t+1/2a4t2
Nel secondo intervallino:
v2=v1+a2t
t=(v2-v1)/a2
x=s2+v1t+1/2a2t2 Ds2=x-s2=v1t+1/2a2t2 F
L2=F2.Ds2 =F2x.Ds2 =ma2.(v1t+a2t2/2)
(v 2 - v1 ) 1
v 2 - v1 2
= ma 2 (v1
 a2 (
) )
a2
2
a2
v1v 2 - v
1 v 2 - 2 v 2 v1  v
= ma 2 (
 a2
)
2
a2
2
a2
2
2
1
2
1
2
v1v 2 v12 1 v 2
1 2 v 2 v1 1 v12
= ma 2 (


)
a2
a2 2 a2 2 a2
2 a2
2
v2
v12
2
= m(- v1 
 )
2
2
=
1
1
2
mv 2 - mv12
2
2
v4=v3+a4t
v3=v2+a3t a
4
v2=v1+a2t a3
F4x
a2
F3x
v1=a1t
F2x
a
1
F1x
s2
s1
s3
s4
s5
x=s1+1/2a1t2
s
x=s2+v1t+1/2a2t2
x=s3+v2t+1/2a3t2
x=s4+v3t+1/2a4t2
Sommiamo adesso tutti i lavori sui singoli intervallini
L=L1+L2+L3+….+Lfin=F1.Ds1+F2.Ds2+F3.Ds3+…..+Ffin.Dsfin
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
= mv1 - mv 0  mv 2 - mv1  mv 3 - mv 2 ....  mv fin - mv fin
-1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
1
1
2
mv fin
- mv 02
2
2
Per chi conosce gli integrali:
L =  F  ds
Possiamo quindi enunciare il teorema lavoro-energia
• Il lavoro fatto da una forza per spostare un corpo da un punto iniziale
A ad un punto finale B è uguale alla variazione di energia cinetica
LAB=KB-KA
Esercizio 1
• Calcolare tramite il concetto di lavoro a che quota arriva un corpo
lanciato verso l’alto con velocità iniziale v0.
L=F.Ds =F.Ds cos q
=-mg.h
1
2
K in = mv 0
2
K fin = 0
mg
L=Kfin-Kin
-mg.h =
1
2
- mv 0
2
Ds
1 v0
h=
2 g
2
Ds=h
q=180°
cosq=-1
Esercizio 2
• Un ragazzo di 80 kg usa uno skateboard per risalire un piano inclinato a 30° .
Raggiunge la sommità a 10 m, dove si ferma. Calcolare il lavoro fatto dalla forza
peso. Calcolare la sua velocità iniziale.
10 m
v0
mg
q
K fin = 0
1
2
K in = mv 0
2
Esercizio 2
L=F.Ds =F.Ds cos (90°+q) =-F.Ds sin q =-mgDs sin 30°
=-mgh sin 30°/sin30°
=-mgh
Ds
h=10 m
K fin = 0
90°q
v0
mg
Ds =h/sin q
q
1
2
K in = mv 0
2
Esercizio 2
L=F.Ds
1
2
1
1
2
2
=-mgh =-80x9.8x10 J = K fin - K in = 2 mv - 2 mv0 = - 2 mv0
1
2
= - 80 v 0
1
2
2
-80x9.8x10 = - 2 80 v 0
Ds
h=10 m
K fin = 0
90°q
v 0 = 2 x 9.8 x 10
2
v 0 = 14 m/s
mg
Ds =h/sin q
v0
q
1
2
K in = mv 0
2
Esercizio 3
Una slitta di massa m su un lago gelato ha una velocità iniziale di 2 m/s.
Il coefficiente di attrito dinamico è md=0.1.
Trovare la distanza percorsa prima di fermarsi.
Esercizio 3
T
Fg=mg
T=-mg
FA=md|mg|=0.1mg
v
Ds
FA
Fg=mg
Sulla slitta agisce la gravità mg , compensata dalla
tensione della superficie T
E l’attrito FA, diretto in verso opposto alla velocità v ed
allo spostamento Ds
Esercizio 3
T
Ds
Fg=mg
T=-mg
FA=md|mg|=0.1mg
FA
Fg=mg
1
2
-m
|mg|Ds
K in = mv 0 K fin = 0
LA= d
2
1
2
ΔK = K fin - K in = - mv 0
2
Esercizio 3
T
Ds
Fg=mg
T=-mg
FA=md|mg|=0.1mg
FA
Fg=mg
LA=Kfin-Kin
1
1
2
2
-md|mg|Ds = - mv 0 md|mg|Ds = mv 0
2
2
Esercizio 3
T
Ds
velocità iniziale di 2 m/s.
Fg=mg
T=-mg
FA=md|mg|=0.1mg
FA
Fg=mg
1
2
md|mg|Ds = mv 0
2
1 2
md|g|Ds = v 0
2
2
1 v 0 1 22
=
metri
Ds =
2 μ d g 2 0.1x 9.8
= 2.04 metri
Esercizio 4
• Quanto riesco a saltare se mi stacco dal suolo con velocità di 2 m/s?
1 v0
h=
2 g
2
2
1 2
h=
=0.202 m
2 9.8
• Con che velocità devo saltare per superare il record del mondo?
• Il record del mondo è di Sotomayor ed è di 2.45 m.
1 v0
h=
2 g
2
v 0 = 2 gh v 0 = 2 x 9.8 x 2.45 m / s
v 0 = 6.92 m / s
Nazion
Luogo
alità
Stati Palo Alto, Stati
2,00 m George
Horine
Uniti
Uniti
Stati Los
2,11 m Lester
Angeles, Stati
Steers
Uniti
Uniti
Stati Palo Alto, Stati
2,22 m John
Thomas
Uniti
Uniti
Stati Filadelfia, Stati
2,32 m Dwight
Stones
Uniti
Uniti
Rudolf
Unio
2,40 m Povarnitsy URSS Donec'k,
ne Sovietica
n
Salamanca, Sp
2,45 m Javier
Sotomayor Cuba agna
Misura
8
7
v (m/s)
6
5
4
3
2
1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
h(m)
2,0
2,5
3,0
Atleta
1,71 Fanny
m BlankersKoen
1,80 Iolanda
m Balaș
1,91 Iolanda
m Balaș
2,00 Rosemarie
m Ackermann
2.01m Sara
Simeoni
2,09 Stefka
m Kostadinova
Paesi
Bassi
Romania
Data
18 maggio 1912
17 giugno 1941
1º luglio 1960
4 agosto 1976
11 agosto 1985
27 luglio 1993
Amsterdam, P 30 maggio 1943
aesi Bassi
ClujNapoca, Roma 22 giugno 1958
nia
Sofia, Bulgaria 16 luglio 1961
Romania
Germania Berlino Ovest 26 agosto 1977
Est
Praga, Cecoslov 31 agosto 1978
Italia
acchia
Bulgaria Roma, Italia
30 agosto 1987