University of Naples "Federico II"
Department of Structural Analysis and Design
RETROFIT OF HISTORICAL MONUMENTS AND
PRINCIPLES OF BASE ISOLATION (B.I.S.)
Prof. Antonello De Luca
Professor of Structural Engineering
Lessons: 17_ May 22_24, 2007
Theoretical aspects of Base Isolation
2-DOF system
Spettri di risposta: effetto ξ
ξ: smorzamento viscoso equivalente
Smorzamento (damping): caratteristica del sistema
strutturale che si oppone al moto e tende a riportare il sistema in
condizioni di quiete.
È originato da molteplici sorgenti di diversa natura
(viscosità del mezzo, fessurazione cls e muratura, scorrimento
giunti bullonati, etc.)
Nei sistemi di isolamento con dispositivi elastomerici lo
smorzamento è in parte di natura isteretica, in parte di natura
viscosa (ne parleremo in dettaglio nelle lezioni successive)
ξ è utilizzato per tener conto di fonti di
smorzamento di natura diversa in modellazioni ed analisi
linearizzate
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta: effetto ξ
Input Sismici
Spettri di risposta: effetto ξ
L.A. Sepulveda V.A. Hospital, 360° comp., 1994 Northridge ethq.
registrazione a soli 8 km dall’epicentro del sisma (near-fault)
Spettri di risposta: effetto ξ
Input Sismici
El Centro
Sepulveda
PGA
0.35 g
0.9 g
Peak spectral
acceleration
(ξ=5%)
0.9 g
2.8 g
Peak spectral
displacement
(ξ=5%)
275 mm
550 mm
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta in accelerazione EL Centro NS 1940 per diversi fattori di
smorzamento: 0, 2, 5, 10 e 20%.
Spettri di risposta: effetto ξ
normative
•ORD. 3274
10
η=
(5 + ξ )
η= 1 per ξ = 5
•EC8
η = (7/(2+ξ))1/2
η= 1 per ξ = 5
•UBC
ξ
B=1/ η
<2
0.08
5
1
10
1,2
20
1,5
30
1,7
40
1,9
> 50
2
Spettri di risposta: effetto ξ
1,1
1
ORD.3274
EC8
UBC
fattore di riduzione
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
ξ (%)
0,2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Spettri di risposta: effetto ξ
Confrontiamo i fattori riduttivi forniti
dalle norme con i valori dei rapporti
Aξ/A5%
Dξ/D5%
calcolati dagli spettri nel range di periodi
0 – 4 sec.
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta: effetto ξ
Spettri di risposta: effetto ξ
• Fattori riduttivi per tener conto di valori di
smorzamento viscoso > 5% sono costanti
• In realtà la riduzione della risposta è una funzione sia
del periodo che dello specifico input sismico
• Confrontiamo i fattori riduttivi forniti dalle norme con
il valore medio dei rapporti Aξ/A5% e Dξ/D5% calcolati
dagli spettri nel range di periodi 0.5 – 4 sec.
Spettri di risposta: effetto ξ
10%
30%
Acceleraz.
Spostam.
Acceleraz.
Spostam.
Val. medio El Centro
da spettro Sepulveda
0.84
0.81
0.65
0.49
0.83
0.80
0.70
0.47
ORD.3274
0.82
0.82
0.53
0.53
EC8
0.76
0.76
0.47
0.47
UBC
0.83
0.83
0.59
0.59
•Riduzione spostamenti sempre maggiore che accelerazioni (molto
significativo con ξ = 30%
•UBC e ORD. buona approssimazione per ξ = 10%, EC8 sovrastima
•Per ξ = 30% il fattore riduttivo UBC e ORD. è non conservativo per
accelerazioni e conservativo per spostamenti
•Incertezze nell’input ; risposta + accurata: effettuare t.h. analisi
Input sismici e spettri
• Conoscenza dell’input sismico Æ previsione azioni su strutture
• registrazioni acclerometriche
• spettri di risposta delle componenti orizzontali
inviluppo e valore medio
accelerazione
spostamento
Spettri di risposta medi su 8 accelerogrammi
(El Centro 1934, El Centro 1940, Olympia 1949, Taft 1952)
per diversi fattori di smorzamento: 0, 2, 5, 10 e 20%.
Input sismici e spettri
• Conoscenza dell’input sismico Æ previsione azioni su strutture
• registrazioni pre-1970
•
Caltech SMARTS suite of motions (Strong Motion
Accelerogram Record Transfer System)
39 gruppi di registrazioni accelerometriche
ciascuna 3 componenti (2 orizzontali, 1 verticale)
terremoti 1933 (Long Beach) Æ 1971 (San Fernando)
spettri di risposta delle 2 componenti orizzontali
inviluppo e valore medio
Input sismici e spettri
funzione di 1/T Æ andamento accelerazioni medie per T>0.5 s
Sa(T) = C0/T, con C0 ricavato da accelerazione per T=0.5 s,
i.e.:
Spostamenti Æ funzione di T:
C0=0.5 x Sa(0.5)
Sd=SagT2/4π2 = 248.5 C0 T
Input sismici e spettri
Periodi medio-lunghi (1-4 s) accelerazione si riduce , spostamento aumenta con T
Input sismici e spettri
• Conoscenza dell’input sismico Æ previsione azioni su
strutture
• post-1970 : notevole aumento del numero di
registrazioni
• database di input sismici diversificato: variazioni molto
maggiori di quanto assunto fino al 1970
• accelerazioni al suolo maggiori, effetti near-faults
(amplificazioni per periodi lunghi, elevata componente
verticale, etc.)
Input sismici e spettri
Input sismici e spettri
Tra 6 e 9 s: accelerazioni elevate per lungo periodo di tempo Æ elevate
velocità e spostamenti in strutture con T=1.5-3 s
Input sismici e spettri
Registrazione a meno di 2 km dalla faglia
Effetti near-fault:
picco accelerazione spettrale per T= 2-3 s
spostamenti>1 m per T=3.5 s
Isolamento ? Æ T<2 s ?
Input sismici e spettri
Effetti di risonanza con frequenze caratteristiche del suolo (2 s)
Isolamento ? Æ non efficace ?
Input sismici e spettri
Registrazione su suolo rigido (anche registrazioni su suolo soffice)
accelerazione spettrale si riduce con T
spostamenti (componente maggiore) costanti per T=2-4 s
Isolamento ? Æ deformabilità del sistema isolamento si potrebbe
aumentare per ridurre le accelerazioni senza penalizzazioni in termini di
spostamenti alla base
Input sismici e spettri
picco accelerazione spettrale (>3g) per periodi estremamente bassi
Componente 270° Æaccelerazioni costanti per T=2-4 s
Isolamento ? Æ efficace per edifici con periodi b.f. bassi, ma per b.i.
meglio T<2 s Æ per periodi maggiori gli spostamenti aumentano senza
un grande beneficio nella riduzione di accelerazioni
Input sismici e spettri
Picchi molto elevati (>2.5 g) di accelerazione spettrale per periodi bassi
Componente a 360° : picco a circa 2 s
spostamento: aumento molto rapido per T>2s
Isolamento ? Æ T<2 s ?
Input sismici e spettri
Picchi molto elevati (>2.5 g) di accelerazione spettrale per periodi bassi
(componente 360)
Entrambe le componenti Æ elevate accelerazioni spettrali per periodi
lunghi (>0.5 g per T= 2 s)
Per T>3 s si riducono sia accelerazioni che spostamenti
Isolamento ? Æ T>3 s
Spettri di risposta input sismici
PGA
Progettazione Sismica
accelerazione
spostamento
ridurre accelerazioni nell'edificio al
di sotto del livello di accelerazione
del suolo Æ periodi alti Æ struttura
estremamente flessibile
deformazioni eccessive
danni ad elementi non strutturali
anche in occasione di terremoti di
modesta entità o di forte vento.
Progettazione Sismica
La strategia che di norma si adotta nella convenzionale progettazione
antisismica si pone a metà strada fra questi due estremi, e conduce alla
realizzazione di strutture abbastanza rigide da non presentare
eccessive deformazioni in condizioni ordinarie, ma che assicurino un
adeguato livello di dissipazione in occasione di eventi sismici
particolarmente severi.
In questa logica la sicurezza nei confronti del collasso si ottiene a prezzo
di un diffuso danneggiamento ad elementi strutturali e non strutturali
ed ai beni contenuti nell'edificio, e comporta una progettazione di forme
strutturali e dettagli costruttivi particolari,
particolari e quindi di più alto costo
e di più complessa realizzazione.
Progettazione Sismica
•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica
Basandosi sull'osservazione e l'analisi del comportamento
strutturale ottenibile adottando materiali e morfologie capaci
di sopportare notevoli deformazioni inelastiche, è stato
introdotto il concetto di duttilità strutturale, intesa come la
possibilità di disperdere parte dell'energia impartita alla
struttura dal terremoto in lavoro plastico.
A partire da tale concetto è pertanto nata la moderna
metodologia di progetto, basata sulla richiesta di duttilità oltre
che di resistenza, e di conseguenza si è diffusa una diversa
filosofia di difesa delle costruzioni dal sisma, basata sulla
possibilità di accettare danni agli elementi strutturali e non
strutturali anche gravi, ma non il collasso.
Progettazione Sismica
Nella pratica progettuale
si fa riferimento alle azioni massime, ovvero al valore max dell’accelerazione
attesa in un determinato sito, amplificato o deamplificato in funzione delle
caratteristiche dinamiche della struttura (ordinata spettrale), che dà luogo,
moltiplicato per le masse in gioco, alle max azioni sulla struttura.
Si analizza la risposta max della struttura
Approccio semplificato al problema dinamico:
Analisi modale: la distribuzione di azioni equivalenti si ottiene
considerando i contributi dei principali modi di vibrazione della struttura
Analisi statica (o modale semplificata): la distribuzione di forze
statiche equivalenti si ottiene considerando solo il contributo del primo
modo di vibrazione della struttura
Approccio + rigoroso al problema dinamico:
Analisi time-history (input sismici naturali o artificiali spettro-compatibili)
Progettazione: Azione Sismica
Procedimento razionale per la definizione della azione
sismica di progetto
Il punto di partenza è un modello fisico, anche
semplificato, del fenomeno in sé, ossia del moto sismico del
terreno nel sito di interesse.
Il modello di adozione universale nelle normative moderne
consiste in uno spettro di risposta in accelerazione,
elastico, il cui andamento normalizzato è congruente con le
caratteristiche del meccanismo focale (campo di
magnitudo, profondità ipocentrale, distanza) degli eventi
che possono interessare il sito, nonché con le
caratteristiche morfologiche e geotecniche del sito stesso.
Normative Sismiche: spettri elastici
La “forma” dello spettro è definita da un certo numero di parametri (56), che consentono di adattarla alle condizioni suddette, mentre
l'intensità complessiva è data da un fattore di scala che si applica alla
forma normalizzata. Il fattore di scala costituisce l'ordinata dello
spettro per T = 0, la quale rappresenta fisicamente il valore di picco
della accelerazione del suolo (PGA): A.
Normative Sismiche: spettri elastici
1,5
spettri di risposta elastici
componente orizzontale accelerazione
ORD.3274/03
1,25
ag = 0.35 g
η=1
SUOLO A
0,75
SUOLO B,C,E
SUOLO D
0,5
0,25
0,1
4
0
0
1
2
3
T (s)
SUOLO
A
5
0,08
SDe(T) (g)
Se(T) (g)
1
SUOLO B,C,E
SUOLO D
0,06
SPETTRI DI RISPOSTA
ELASTICI DELLO SPOSTAMENTO
ORDINANZA 3274/2003
ag = 0.35 g
η=1
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
T (s) 5
Progettazione Sismica
Lo spettro di risposta elastico è definito come il luogo delle risposte massime
(in accelerazione) di un oscillatore elastico di assegnato smorzamento e periodo
crescente a partire da T = 0.
Le ordinate dello spettro, tuttavia, non sono riferibili ad un singolo evento
sismico, ma all'insieme degli eventi che possono verificarsi nel sito. Esse si
ricavano mediante procedimenti statistico-probabilistici che consentono di
ottenere valori delle ordinate caratterizzati da un unico, prefissato, valore
della probabilità di venire superati, posto che accada un evento con intensità A
al sito.
Gli spettri così ottenuti si indicano con il nome di spettri “isoprobabili”.
spesso, (ad es. EC8), non disponendo di un numero di spettri sufficientemente
numeroso per ricavare lo spettro isoprobabile per il sito in esame, si ricorre a
spettri ricavati su siti simili ma non uguali, ottenendo uno spettro medio invece
di uno spettro isoprobabile.
La conoscenza di uno spettro isoprobabile (o, in difetto di statistica,
medio) e della legge di probabilità della accelerazione al sito
costituisce una base descrittiva delle caratteristiche di sismicità di un
sito adeguata ai fini della progettazione di un edificio.
Ottenuto il “modello” (probabilistico) del fenomeno sismico in un sito, il passo successivo
consiste nella scelta della azione sismica da adottare nel progetto.
La azione sismica di progetto per lo SLU è per definizione l'azione
che, utilizzata per progettare la resistenza di una costruzione,
consente ad essa di sopravvivere in condizioni prossime al collasso ad
un evento sismico caratterizzato dal prefissato periodo di ritorno (ad
es. 500 anni).
In condizioni dinamiche il collasso locale o globale di una struttura non è legato all'attingimento della
soglia di resistenza degli elementi, bensì all'esaurimento delle loro capacità deformative. Il problema
dinamico nasce infatti come problema di spostamenti impressi dal terreno alla costruzione,
spostamenti che ingenerano nella struttura accelerazioni e quindi forze di inerzia.
L'equilibrio dinamico tuttavia, al contrario di quello statico, è sempre possibile anche quando, sotto
eccitazione crescente, le forze resistenti interne cessano di crescere per raggiunto snervamento, o
addirittura decrescono per degrado di resistenza, a condizione che gli elementi siano capaci di
sostenere gli spostamenti richiesti senza perdita di integrità.
Il controllo mediante analisi della dinamica di una struttura nel campo delle forti deformazioni
anelastiche, in teoria necessario per la verifica della sicurezza al collasso, è di fatto irrealisticamente
oneroso per la pratica corrente e quindi non proponibile come procedura di progetto: oltre tutto una
analisi non lineare è necessariamente una analisi di verifica di una struttura già dimensionata, e
sarebbe quindi associata ad un procedimento iterativo.
Allo stato attuale della pratica professionale, il progetto delle
strutture viene eseguito sulla base di forze assegnate, e con l'uso di
modelli strutturali e metodi di analisi lineari, statici o dinamici.
Progettazione Sismica
Il procedimento adottato dalle norme moderne è il seguente:
Si stabilisce l'evento sismico: valore di A ed associata forma spettrale, per il quale si
vuole garantita la sicurezza allo SLU
L'azione sismica di progetto è una frazione dell'azione cui la struttura
andrebbe soggetta per effetto dell'evento sismico sopra definito se il
suo comportamento fosse indefinitamente elastico. In termini
operativi, le ordinate dello spettro di risposta elastico corrispondente
all'evento di progetto vengono divise per un fattore, e lo spettro di
risposta così ridotto, denominato spettro di progetto,
progetto fornisce le
forze con cui la struttura viene progettata alla soglia di snervamento
Il fattore di riduzione, o fattore di
comportamento (q), tiene conto del fatto
che la struttura, superata la soglia di
snervamento, è in grado di subire
spostamenti inelastici cui è associata
capacità di dissipazione di energia, ed è
quest'ultima, principalmente, a mantenere
la risposta entro limiti controllati.
Normative Sismiche
spettri elastici e spettri di progetto
1,5
spettri di risposta elastici
componente orizzontale accelerazione
ORD.3274/03
1,25
ag = 0.35 g
η=1
SUOLO A
0,75
SUOLO B,C,E
SUOLO D
0,5
0,25
0,5
0
0
1
2
3
0,4 4
T (s)
SUOLO A
5
SUOLO B,C,E
q
Sd(T) (g)
Se(T) (g)
1
0,3
SUOLO D
(q = 6.5)
0,2
0,1
0
0
1
2
3
T (s)
4
Progettazione Sismica
Capacity Design
In zona sismica, la distribuzione delle richieste di
resistenza determina la capacità di resistenza da
attribuire agli elementi dissipativi.
Per tali elementi occorre poi applicare criteri e regole
progettuali tali da garantire un comportamento duttile.
La capacità di resistenza degli elementi non dissipativi,
invece, è basata sul concetto di gerarchia delle
resistenze.
Progettazione Sismica
Capacity Design
CRITERIO DI GERARCHIA DELLE RESISTENZE
obiettivo : formazione meccanismo di plasticizzazione con presenza di
cerniere plastiche in tutte e sole le sezioni di estremità delle travi, con
esclusione quindi di cerniere nei pilastri, ad eccezione per l'inevitabile
cerniera nella sezione di base.
meccanismo ottimale : è l'unico a dar luogo ad una rotazione plastica
uguale in tutte le travi (richiesta inelastica uniforme) e circa uguale alla
rotazione d'insieme del telaio (θ = δ / H, con δ = spostamento in
sommità.
ordine di grandezza max di θ : per telai progettati anche con forze
molto ridotte (q =5- 7) e successivamente analizzati in campo dinamico
non lineare usando accelerogrammi corrispondenti all’azione sismica non
ridotta vale 0,02-0,03 rad.
Progettazione Sismica: Capacity Design
La duttilità in spostamento
corrisponde, nel caso di
meccanismo globale, alla
duttilità
rotazionale
richiesta alle sezioni, e
quindi il fattore di riduzione
delle forze, che si riferisce
alla duttilità in spostamento
del sistema, è legato in modo
univoco
e
diretto
alla
duttilità degli elementi.
Per quanto riguarda la rotazione plastica alla base dei pilastri, essa viene
ritardata rispetto a quella delle travi assegnando loro una resistenza
maggiorata rispetto alle richieste del calcolo.
Plasticizzazioni nei pilastri in elevazione non sono desiderabili sia perché in
generale incompatibili con il più efficiente meccanismo globale, sia per la minore
capacità dissipativa e duttilità degli elementi presso-inflessi, ed infine per il
rischio che esse presentano di dar luogo a meccanismi di piano, i quali sono in
generale fatali a causa della concentrazione di richiesta di duttilità che si
verifica non appena vengono innescati.
MECCANISMO DI PIANO – KOBE 1995
Progettazione Sismica
•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica
Progettazione Sismica
•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica
Progettazione Sismica
•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica
BASI TEORICHE DEL BIS
• Analogamente a quanto avviene per le strutture a base
fissa, in cui lo studio del comportamento dinamico parte
dallo studio dell’oscillatore semplice, gli aspetti
caratteristici del comportamento dinamico delle strutture
isolate alla base sono derivabili dall’analisi di un modello
semplificato, a 2 soli gradi di libertà (“l’oscillatore semplice
isolato”), in cui i 2 elementi costituenti il sistema sono
l’uno rappresentativo del sistema di isolamento, l’altro
della struttura in elevazione.
BASI TEORICHE
• linear theory: 2-dof (Kelly)
• linear theory: m-dof (Kelly)
• nonlinear models
Analisi lineare - 2DOF
Semplice sistema 2DOF con molle lineari e smorzamento lineare
viscoso.
Lo studio del sistema 2-DOF è sviluppato con la tecnica dell’
analisi modale che consente di individuare le modifiche delle
caratteristiche dinamiche, delle frequenze di vibrazione e delle
forme modali determinate dal sistema di isolamento sulla
struttura in elevazione.
m=
massa della parte in elevazione
dell’edificio
mb =
massa dell’impalcato al di sopra
del sistema di isolamento
M=m+ mb= massa totale elevazione +
isolamento
k, c =
rigidezza e smorzamento della
struttura
kb, cb = rigidezza e smorzamento del
sistema di isolamento
Analisi lineare - 2DOF
Equazioni del moto in termini di spostamenti assoluti
u
m
u =
spostamento assoluto
della struttura in elevazione
ub =
spostamento assoluto
della base
k, c
ub
mb
kb, cb
Analisi lineare - 2DOF
I parametri di spostamento con i quali è però più conveniente
lavorare sono gli spostamenti relativi, ovvero lo spostamento
relativo della massa della struttura rispetto alla base e lo
spostamento relativo della base della struttura rispetto al
terreno.
Analisi lineare - 2DOF
Questo sistema di due equazioni può essere risolto in modo
diretto oppure tramite decomposizione modale.
L’analisi modale fornisce una chiara visione della risposta dei
sistemi isolati e i risultati possono essere applicati a modelli più
elaborati.
Per valutare i modi di vibrazione, i fattori di partecipazione
modale e le frequenze del sistema, riscriviamo le precedenti
equazioni in forma matriciale:
dove:
Analisi lineare - 2DOF
Alcune ipotesi sugli ordini di grandezza dei parametri in gioco.
Innanzitutto definiamo:
Frequenza della struttura a base fissa
Frequenza del sistema di rigidezza kb pari a quella del
sistema di isolamento e massa M pari alla massa totale
del sistema di isolamento più edificio in elevazione
fattore di smorzamento per la struttura in elevazione
fattore di smorzamento per il sistema di isolamento
Analisi lineare - 2DOF
Assumiamo che:
mb<m , ma comunque dello stesso ordine di grandezza,
quindi: γ = m/(m+mb) < 1 ;
ε
dell’ordine di grandezza di 10-2;
βs e βb , fattori di smorzamento per la struttura e per il
sistema isolato, siano dello stesso ordine di
grandezza di ε (unità percentuali)
Analisi lineare - 2DOF
Risolvendo il problema agli autovalori si ottengono le
frequenze proprie del sistema e le deformate modali.
Tenuto conto che ε è una quantità piccola, è possibile
sviluppare in serie le espressioni che si ottengono,
trascurare i termini in ε superiori al primo e pervenire
ad espressioni semplici delle caratteristiche dinamiche
del sistema 2DOF
Analisi lineare - 2DOF
I modi di vibrazione non smorzati del sistema:
Si possono ottenere tramite le seguenti equazioni:
In cui ωn rappresenta la frequenza del modo n, mentre γ =m/M (minore di 1)
è il rapporto tra le masse.
L’equazione caratteristica per la valutazione di ωn è la seguente:
La minore delle due radici (ω1 e ω2) dell’equazione viene indicata con ωb*, e
rappresenta la frequenza traslata del sistema di isolamento, mentre la radice
maggiore, indicata con ωs*, rappresenta la frequenza della struttura in
elevazione modificata dalla presenza del sistema di isolamento.
Analisi lineare - 2DOF
Le radici esatte sono date da:
Tenendo conto del fatto che ωb<< ωs (rapporto ε dell’ordine 10-2) e
riscrivendo il termine sotto radice nella seguente forma:
ed espandendo tale termine in serie binomiale, si ottiene, nello stesso
ordine di ε :
Analisi lineare - 2DOF
In molti casi si ottengono risultati sufficientemente accurati assumendo
come valori di ωb* e di ωs* i primi termini, ovvero:
OSS.: la frequenza del sistema isolato è modificata solo
leggermente (ridotta, dell’ordine di grandezza di ε) dalla
deformabilità della struttura, mentre la frequenza della
struttura in elevazione risulta sensibilmente incrementata dalla
presenza della massa alla base.
La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a
base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata
dalla combinazione dei due elementi.
Analisi lineare - 2DOF
La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a
base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata
dalla combinazione dei due elementi.
Ipotizziamo γ = m/(m+mb) = 0.6
ovvero mb=2/3 m
otteniamo:
ωs* = ωs /(0.4)1/2 = ωs /0.63 = ωs 1.58
Analisi lineare - 2DOF
La forma modale,φ1, è data da:
oppure:
conservando i termini di ordine ε, e posto φb1 = 1, si ottiene:
Nello stesso ordine di ε, si ottiene:
Analisi lineare - 2DOF
φ1 è approssimativamente un modo di
struttura rigida, mentre φ2 determina
deformazioni sia nel sistema di isolamento
che nella struttura in elevazione.
Lo spostamento in sommità della struttura
è dello stesso ordine di grandezza di quello
alla base (1/γ), ma di segno opposto
Analisi lineare - 2DOF
Con questi 2 modi, φ1 e φ2, si possono scrivere le espressioni degli
spostamenti relativi vb e vs nella seguente forma:
E quindi, l’equazione scritta in forma matriciale si riduce nelle seguenti due
equazioni:
dove è stato implicitamente assunto che lo smorzamento del sistema è
basso, in modo da consentire di conservare l’ipotesi di ortogonalità dei
modi. In queste equazioni L1 e L2 rappresentano i fattori di partecipazione
modale per i due modi.
Essi sono dati da:
Analisi lineare - 2DOF
La valutazione di L1 coinvolge i seguenti prodotti matriciali:
in cui:
Considerando solo i termini di ordine ε, si ottiene:
Per L2, dagli stessi calcoli si ottiene:
dove:
Poiché γ=m/M, risulta:
e:
così che:
, e:
Analisi lineare - 2DOF
Questo risultato e quello relativo alle frequenze traslate rivelano i motivi alla
base dell’efficienza dell’isolamento.
Il fattore di partecipazione del secondo modo, che è il modo che coinvolge la
deformazione della struttura, è dell’ordine di ε, e se le frequenze originali, ωb
e ωs , sono ben separate, risulta essere molto piccolo.
Inoltre, la frequenza di questo modo è traslata verso valori di frequenza più
alti rispetto al valore originale di frequenza a base fissa, quindi se l’input
sismico ha accelerazioni spettrali elevate nel campo di frequenze della
struttura b.f., tale spostamento è ulteriormente benefico.
Inoltre, poiché il fattore di partecipazione di questo modo è molto piccolo,
tale modo è ortogonale all’input sismico. Pertanto, anche se il terremoto ha
un elevato contenuto energetico a tale frequenza, il moto del suolo viene
trasmesso alla struttura in elevazione in misura drasticamente ridotta.
Risulta quindi chiaro che l’isolamento sismico non
funziona in base all’assorbimento di energia:
esso semplicemente allontana l’energia, grazie alle
suddette proprietà dinamiche.
Analisi lineare - 2DOF
L’assorbimento di energia è comunque un aspetto importante nel
comportamento di un sistema isolato, ed in questo modello semplificato esso è
stato rappresentato “smorzamento lineare viscoso”. In questo approccio si è
anche assunto il disaccoppiamento delle equazioni.
Vediamo i valori da assumere per i fattori di smorzamento modale, βb* e βs*.
Possiamo stimare in maniera abbastanza attendibile lo smorzamento in
ciascuno dei due elementi, quando considerato separatamente.
Un sistema di isolamento realizzato con dispostivi elastomerici fornisce un
livello di smorzamento tra il 10 ed il 20% di quello critico.
La parte in elevazione ha un valore di smorzamento molto minore,
presumibilmente intorno al 2%.
Nelle analisi strutturali convenzionali si assume in generale uno smorzamento
dell’ordine del 5% di quello critico e ciò in quanto si ritiene che si verifichino
danni strutturali e non strutturali quando la struttura convenzionale subisce
sismi violenti. Per le strutture isolate, l’obiettivo è ridurre le sollecitazioni
all’interno della parte in elevazione ad un livello tale da evitare danni strutturali
e non strutturali, e dunque un valore minore dello smorzamento risulta essere
appropriato.
Analisi lineare - 2DOF
Questa elevata differenza in termini di smorzamento tra le due componenti
può condurre ad un accoppiamento delle equazioni del moto e dunque se
ne dovrebbe tener conto per analizzare correttamente il sistema.
Ciò comporterebbe però la perdita della semplicità della trattazione che
consente di ottenere un’intuitiva visione del comportamento delle strutture
isolate.
Pertanto si considera una formulazione approssimata, assumendo che i
fattori di smorzamento, β1* e β2*, siano dati da:
Tale relazione equivale a trascurare i termini fuori diagonale φnTCφm, che
renderebbero accoppiate le equazioni del moto.
Analisi lineare - 2DOF
Utilizzando i risultati precedentemente trovati relativi ad M1 ed M2, si trova
che:
Utilizzando l’ espressione:
si ha che:
E poiché:
si ottiene:
Tale relazione mostra che lo smorzamento strutturale è incrementato dallo
smorzamento degli isolatori nell’ordine di ε1/2; il prodotto tra βb e ε1/2 può
costituire un significativo incremento a βs, soprattutto e βs è molto piccolo.
Quindi un elevato smorzamento negli isolatori può fornire uno smorzamento
significativo anche al modo della struttura in elevazione.
Analisi lineare - 2DOF
Con tali risultati relativi ad L1,L2,b1,b2, è possibile stimare la risposta del
sistema per uno specifico input sismico.
Innanzitutto consideriamo la risposta per un input di tipo sinusoidale e
osserviamo il fattore di amplificazione, definito dall’entità del rapporto tra
lo spostamento relativo e lo spostamento del suolo.
Definiamo quindi:
E nelle equazioni modali poniamo:
Si ha:
Analisi lineare - 2DOF
Tali espressioni possono essere scritte come funzioni algebriche di ω,
senza le parte immaginarie.
È interessante osservare la forma che assumono per specifici valori di ω, in
particolare per i valori :
frequenza della struttura a b.f. ωs
Le 2 frequenza della struttura isolata alla base, ωb* e ωs*.
Analisi lineare - 2DOF
Per ω = ωb* si ha:
Considerando termini di primo ordine in ε, si ottiene:
Per l’amplificazione del moto alla base si ha:
Il quale, nello stesso ordine di ε, risulta:
Analisi lineare - 2DOF
Quando ω=ωs*, si trova, operando allo stesso modo che:
Analisi lineare - 2DOF
Alla frequenza della struttura a base fissa ωs, il fattore di amplificazione
As è dell’ordine di ε e Ab è dell’ordine di 1
Alla frequenza ωb*, il fattore di amplificazione Ab è dell’ordine di 1/ε e As
è dell’ordine di 1
Alla frequenza ωs*, Ab e As sono entrambi dell’ordine di 1
Analisi lineare - 2DOF
Le espressioni esatte per tutti i valori di ω sono:
Base and floor displacements
Analisi lineare - 2DOF
Data una storia temporale del moto del suolo, allora le componenti
modali, q1(t) e q2(t) possono essere valutate attraverso:
e la stima dei valori massimi di q1 e q2 è data da:
Dove SD(ω,β) è lo spettro di risposta in spostamento del moto del suolo,
funzione della frequenza ω e del fattore di smorzamento β.
Analisi lineare - 2DOF
Ai fini progettuali, in genere è dato uno spettro di risposta dell’accelerazione
smorzato del 5%. In questo caso, lo spostamento massimo atteso sarà
(SRSS) :
dove adesso:
con SA(ω, β) che rappresenta lo spettro di progetto in accelerazione in
corrispondenza di ω e di β. Quindi:
Analisi lineare - 2DOF
Molti spettri di progetto sono approssimativamente spettri a velocità
costante ed in tali casi, i valori di SA per frequenze differenti,
trascurando le variazioni dovute allo smorzamento, sono forniti da:
in cui SV è una costante. Per tali spettri di progetto si ha:
Ciò mostra che nel caso di spettro di velocità costante il max
spostamento relativo della struttura, cioè il max spostamento
di interpiano, è dell’ordine di ε in confronto al max
spostamento del sistema di isolamento.
Analisi lineare - 2DOF
Il coefficiente di taglio alla base, Cs, è definito come:
quando il sistema non è isolato (SDOF) è dato da:
quando invece il sistema è isolato (2DOF) diviene:
ricordando che:
si ottiene:
dell’ordine di ε2
Analisi lineare - 2DOF
Sebbene il secondo termine è dell’ordine di ε2, esso può essere
confrontabile con il primo termine, come avviene nel caso di spettro
in spostamento costante.
Se lo spettro delle accelerazioni è costante, il secondo termine è
trascurabile.
Per il caso di spettro in velocità costante si ottiene:
in cui il secondo termine è ancora trascurabile.
Analisi lineare - 2DOF
Questi risultati indicano che per piccoli valori di ε e per spettri
di progetto tipici, il sistema di isolamento può essere
progettato, almeno nella fase iniziale, per uno spostamento
relativo di base apri a:
SD(ωb, βb)
e la parte in elevazione dell’edificio per un coefficiente di
taglio alla base pari a
SA(ωb,βb)
La riduzione del taglio alla base, rispetto a quello della struttura a
base fissa (Cs=SA(ωs,βs), è dato dal rapporto:
che, per uno spettro di velocità costante, è ωb/ωs , o all’incirca di
ordine ε1/2, (10-1) e questo sottostima la riduzione, poiché βb sarà in
generale maggiore di βs.
Analisi lineare - 2DOF
In effetti la maggior parte degli spettri di progetto a velocità costante nel
range di periodi di interesse per le strutture isolate, il che implica:
dove C è una costante e la funzione H(β) sarà una funzione decrescente di β
normalizzata in modo che H=1 quando β=0.05.
N.B. il fattore di riduzione B che abbiamo visto ieri per ORD.3274, EC8, UBC.
La costante C rappresenterà la velocità di progetto in corrispondenza di
smorzamento 5%.
es.: lo spettro di progetto proposto dall’ATC-3-06, è uno spettro a velocità
costante pari a 609.6 mm s-1 (24 in s-1) per smorzamento 5%, suolo di buone
caratteristiche e lontano da faglie.
Analisi lineare - 2DOF
Per studiare l’effetto dello smorzamento sullo spettro di risposta dei
terremoti, Kawashima e Aizawa hanno valutato lo spettro per ciascuna
componente orizzontale di 103 accelerogrammi free-field di sismi severi (206
registrazioni) registrati tra il 1966 e il 1978 in 43 siti in Giappone (con
magnitudo > 5 e profondità focale < 60Km).
In base ad analisi di regressione, essi suggeriscono la seguente funzione:
Si ottiene un buon livello di approssimazione per valori dello smorzamento
minori di 0.5.
Questa espressione proposta da Kawashima e Aizawa è molto conveniente
dal punto di vista pratico è può essere utilizzata in una fase preliminare del
progetto.
Analisi lineare - 2DOF
Al fine di comprendere l’ordine di grandezza dei vari termini che appaiono in
queste formule, consideriamo un sistema 2DOF con una massa alla base
pari a 2/3 della massa della struttura.
La struttura b.f. abbia un periodo di 0.4 s e il sistema di isolamento un
periodo di 2.0 s.
Lo smorzamento sia del 2% per la struttura b.f. , e del 10 % nel sistema di
isolamento.
Stimiamo lo spostamento alla base, lo spostamento in elevazione ed il taglio
alla base utilizzando uno spettro a velocità costante, in cui la velocità è
609.6 mm s-1 per smorzamento 5%.
In questo esempio:
Analisi lineare - 2DOF
ε=4/100
γ=0.6
TBIS = 2π/ωb = 2.0 s Æ ωb = 2π/ TBIS = 3.14 rad s-1
Tb.f. = 2π/ωs = 0.4 s Æ ωs = 2π/ Tb.f. = 15.7 rad s-1
Utilizzando le formule:
le frequenze del sistema combinato sono:
ω1=3.07 rad s-1 Æ T1 = 2.05 s
ω2=25.13 rad s-1 Æ T2 = 0.25 s
Analisi lineare - 2DOF
In questo esempio:
ε=4/100
γ=0.6
TBIS = 2π/ωb = 2.0 s Æ ωb = 2π/ TBIS = 3.14 rad s-1
Tb.f. = 2π/ωs = 0.4 s Æ ωs = 2π/ Tb.f. = 15.7 rad s-1
Utilizzando le formule approssimate:
le frequenze del sistema combinato sono:
ω1=3.14 rad s-1 Æ T1 = TBIS = 2.0 s
ω2=24.82 rad s-1 Æ T2 = 0.25 s
Analisi lineare - 2DOF
la frequenza del sistema isolato è modificata solo leggermente
(ridotta, dell’ordine di grandezza di ε) dalla deformabilità della
struttura
TBIS= 2 s Æ T1 = 2.05 s
mentre la frequenza della struttura in elevazione risulta
sensibilmente incrementata dalla presenza della massa alla
base.
Tb.f.= 0.4 s Æ T1 = 0.25 s
La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a
base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata
dalla combinazione dei due elementi.
Analisi lineare - 2DOF
ε=4/100
βs=2%
βb=10%
γ=0.6
Utilizzando le formule:
Si ottiene:
β1= βb * = 9.64%
β2= βs * = 5%
Analisi lineare - 2DOF
Calcolo velocità spettrali :
SV = C H(β)
C = 609.6 mm s-1
H (β) = (1.5/(40β+1))+0.5 Æ (impiego di altre formule)
SV (β1) = C H(0.0964) = 609.6x0.809 = 492.76 mm s-1
SV (β2) = C H(0.05) = 609.6 x 1 = 609.6 mm s-1
Analisi lineare - 2DOF
Calcolo dello spostamento alla base
La stima dello spostamento di base è 156.72 mm
Calcolo dello spostamento in elevazione
Lo spostamento relativo della struttura rispetto alla base è di 6.35 mm
Analisi lineare - 2DOF
Calcolo del taglio alla base
SA (ωb, βb) = SV ωb = C H(βb) ωb
Il taglio alla base è pari al 16% del peso della sovrastruttura e, in questo
caso, il contributo del secondo termine è circa l’1.28% del totale.
Analisi lineare - 2DOF
Calcolo della riduzione del taglio alla base rispetto alla struttura b.f.
SA (ωb, βb) = SV ωb = C H(βb) ωb
SA (ωs, βs) = SV ωs = C H(βs) ωs
H(βb) ωb / H(βs) ωs
o all’incirca di ordine ε1/2
Analisi lineare - 2DOF
L’isolamento è stato proposto anche per la riabilitazione di edifici
esistenti che presentano una scarsa resistenza nei confronti delle
azioni sismiche, ma che sono caratterizzati da un periodo di vibrazione
a base fissa relativamente elevato.
Oakland City Hall
La motivazione è che l’isolamento fornisce comunque una qualche
riduzione delle azioni sismiche, il che, per edifici deboli e fragili, si
tradurrebbe in un vantaggio.
Oakland City Hall
CHARACTERISTICS OF THE BUILDING
• b.i. bldg period :
• f.b. bldg period:
• f.b. strengthened bldg period:
TI = 3.2 sec
TF = 1.6 sec
TF’ = 1.3 sec
RESPONSE OF THE b.i. BUILDING
• base shear:
VI = 0.13 W
• base displacement: D = 13 in
• max interstory drift: dI = 0.15 in (dF=0.5 in)
Analisi lineare - 2DOF
Per illustrare sia i benefici che le limitazioni di tale approccio, è utile
considerare il caso speciale in cui le due frequenze, a base fissa e a base
isolata (ωs e ωb) sono le stesse.
In tale caso, l’equazione caratteristica per le due frequenze del sistema
combinato diventa:
dove:
Le due frequenze sono date da:
Le forme modali corrispondenti sono:
I fattori di partecipazione modale sono invece pari a:
L2 = ½
L1 = ½
I fattori di smorzamento relativi ai due modi:
Analisi lineare - 2DOF
Esempio:
Data una struttura che presenta un periodo b.f. di 2 s, con sistema di
isolamento di periodo 2 s, massa di base pari a 2/3 della massa della
struttura.
Lo smorzamento della struttura b.f. sia 2%, quello del sistema di
isolamento sia 10%, e si assuma uno spettro di progetto a velocità
costante di 609.6 mm s-1 per smorzamento 5%.
In questo caso dunque si ha:
γ=0.6
ω1=2.36 rads-1 (T=2.66s)
ω2=6.62 rads-1 (T=0.95 s)
Lo smorzamento dei modi è 4.5% e 12.6% e le velocità spettrali modificate
sono 631.19 mms-1 e 457.2 mms-1.
Il massimo spostamento della struttura in elevazione rispetto alla base è
178.31 mm ed il massimo spostamento del sistema di isolamento è 138.18
mm, con taglio alla base pari al 18% del peso della struttura.
Con lo stesso spettro, lo spostamento della struttura b.f. è 259.08 mm e il
taglio alla base è pari al 26% del peso della struttura.
Analisi lineare - 2DOF
E’ evidente che si ha un qualche beneficio inserendo il sistema di
isolamento, ma comunque risulta minore rispetto al caso di una struttura
più rigida.
Infatti se la struttura fosse completamente rigida, il periodo di
isolamento sarebbe 2.0 s, lo smorzamento 10% e la velocità spettrale
487.68 mm s-1, lo spostamento alla base 155.19 mm e il taglio alla base
16% del peso della struttura.
L’impiego dell’isolamento per adeguare una struttura deformabile è solo
leggermente benefico e probabilmente può risultare conveniente
economicamente solo se contemporaneamente siano eseguiti interventi
di irrigidimento in elevazione.