SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
1. Successioni numeriche
1a. Definizioni: successioni aritmetiche e geometriche
Consideriamo una sequenza di numeri quale ad esempio:
2, 5,8, 11, 14,17, ...
Tale sequenza è costituita mediante una ben definita regola alla quale ciascun termine
soddisfa: nell'esempio scelto, ciascun termine è dato dal precedente aumentato di 3. La
regola ci permette di determinare il termine successivo e di estendere la somma all'infinito.
Una sequenza di numeri che soddisfa a tali condizioni è detta successione (o
progressione) numerica. Vediamo qualche esempio:
2, 4, 6, 8,...
1,
1 1 1
, , ,...
2 4 8
è una successione numerica (regola: ogni termine è dato dal
precedente aumentato di 2)
è una successione numerica (regola: ogni termine è dato dal
precedente moltiplicato per ½)
1,−2,3, 5,11,
1
, ... non è una successione numerica (non esiste una regola che permetta
2
di determinare il termine successivo di qualunque termine)
La successione, in generale, si indicherà con:
dove:
u1
è il primo termine
u2
è il secondo termine
...
un
è l'ennesimo termine
u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , ... , u n ,...
Se la regola (legge di formazione) è tale che ciascun termine è dato dal precedente sommato
ad una costante d (detta ragione) la successione è detta successione aritmetica. Se, invece,
la regola è tale che ciascun termine è dato dal precedente moltiplicato per una costante q
(detta ragione) la successione è detta successione geometrica.
Esempi:
•
2, 5, 8, 11, 14, 17, ...
•
2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
successione aritmetica di ragione d=3 e primo termine 2
successione geometrica di ragione q=2 e primo termine 2
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L'ennesimo termine di una successione, scritto in maniera generale mediante l'indice n
viene detto termine generale della successione. La sua espressione è molto utile quando si
voglia scrivere un particolare termine della successione.
Esempio:
Calcolare il 150 termine della successione geometrica di ragione q=1/2 e primo termine 3. Il
n−1
1
termine generale della successione è: u n=u1⋅
, da cui possiamo calcolare il 150
2
termine:
15−1
14
1
1
3
u 15 =u 1⋅
=3
= 14
2
2
2



1b. Somma parziale n-esima di una successione
Data una successione di termine generale un:
u 1 , u 2 , u 3 , ... , u n , ...
diremo Sn la somma dei primi n termini della successione e utilizzeremo, per indicarla, il
simbolo di sommatoria (che rende più comoda la notazione della somma di n termini):
n
S n =u1 u 2u 3...u n=∑ u i
i=1
Esempi:
n
•
∑ i=123...n
(è la somma dei primi n numeri interi)
i=1
n
•
∑ i 2=149162536...n2
(è la somma dei quadrati dei primi n interi)
i=1
n
•
∑
i=1
i i1
n n1
=13610152128...
2
2
Le somme Sn di una successione data, con n che può assumere ogni valore, sono dette
somme parziali della successione.
Notiamo, infine, che l'operatore di sommatoria gode delle seguenti proprietà di linearità:
➔
➔
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ [ f i g i]=∑ f i∑ g i
n
n
i=1
i=1
∑ k⋅ f i=k⋅∑ f i 
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1c. Somma parziale n-esima di una successione aritmetica
In base alla definizione, una successione aritmetica avente ragione d e primo termine u1 si
può scrivere, in generale:
u 1 , u1d  ,u 12 d  ,u 13 d  , ...
e, dunque, l'n-esimo termine, cioè il termine generale di una successione aritmetica, si
può scrivere:
u n=u1n−1 d
Consideriamo la somma dei primi n termini di una successione aritmetica di primo
termine u1 e ragione d:
n
S n =u1 u 1d u 12 d u 13 d ...[u1  n−1 d ]=∑ u1i−1 d
i=1
Si può dimostrare che è possibile esprimere la somma dei primi n termini di una qualsiasi
successione aritmetica mediante una formula semplice, che permette di calcolare il valore
di Sn per qualsiasi n:

n
S n =∑ u1 i−1 d =n u1
i=1
n−1
d
2

Esempio:
Calcolare la somma dei primi 50 numeri interi naturali.
Si tratta di una successione aritmetica con ragione d=1 e primo termine 1. La somma che
vogliamo calcolare è:
50
S 50=12345...50=∑ i
i =1
Utilizzando la formula data, avremo:

S 50=n u1
 
  
n−1
50−1
51
d =50 1
⋅1 =50⋅
=1275
2
2
2
Esempio:
Trovare l'espressione generale della somma dei primi n numeri interi naturali.
Si tratta della stessa successione aritmetica vista nell'esempio precedente, di ragione d=1 e
primo termine 1. Applicando, in generale, la formula per la somma di n termini
otteniamo:
n

S n =∑ i=n 1
i=1

n n1
n−1
⋅1 =
2
2
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Dunque, nell'esempio precedente avremmo potuto anche scrivere:
50
S 50=∑ i=
i=1
n n1 50⋅51
=
=1275
2
2
ottenendo, naturalmente, lo stesso risultato.
Esempio:
Calcolare la somma dei primi 200 numeri dispari.
Si tratta di una successione aritmetica con ragione d=2 e primo termine u1=1:
1 , 3 ,5 , 7 , 9 ,11 , 13 , 15 , ... , 1n−1⋅2 ,...
dove il termine generale della successione è 1n−1⋅2 .
La somma dei primi 200 termini di questa successione si scrive (mediante l'uso del termine
generale):
200
S 200 =∑ 1i−1⋅2
i=1
e possiamo calcolarla con la formula data sopra:

S 200 =n u1 
 

n−1
200−1
d =200 1
⋅2 =200⋅ 1199 =40 000
2
2
1d. Somma parziale n-esima di una successione geometrica
In base alla definizione, una successione geometrica avente ragione q e primo termine u1 si
può scrivere, in generale:
u 1 , u 1⋅q , u1⋅q2 , u1⋅q3 ,...
e, dunque, l'n-esimo termine, cioè il termine generale di una successione geometrica, si
può scrivere:
n−1
u n=u1⋅q
Consideriamo la somma dei primi n termini di una successione geometrica di primo
termine u1 e ragione q:
n
S n =u1 u 1⋅q u 1⋅q 2  u1⋅q 3...u1⋅qn−1 =∑ u 1⋅q i−1
i=1
Si può dimostrare che è possibile esprimere la somma dei primi n termini di una qualsiasi
successione geometrica mediante una formula semplice, che permette di calcolare il valore
di Sn per qualsiasi n:
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n
1−qn
S n =∑ u1 q i−1=u 1⋅
1−q
i=1
Esempio:
Trovare la somma dei primi 8 termini della successione geometrica di ragione q = ½ e
primo termine 3.
n−1
3 3 3 3 3
1
La successione è la seguente: 3 , , , ,
, , ... ,3⋅
, ...
2 4 8 16 32
2
Utilizziamo la formula data per calcolare la somma dei primi 8 termini della successione:

1−q n
1−1/28 765
S 8=u1⋅
=3⋅
=
1−q
1−1/ 2 128
1e. Altre successioni notevoli
Vedremo, ora , nei dettagli, altre due successioni che, per la loro importanza, vale la pena
mettere in evidenza:
➔
Consideriamo la successione dei quadrati dei numeri interi naturali:
1 , 2 2 , 32 , 42 ,5 2 , ... , n 2 , ...
Si può dimostrare che l'espressione generale della somma parziale Sn di questa
successione si può scrivere semplicemente come:
n
S n =∑ i 2=
i=1
➔
n n1 2 n1
6
Consideriamo la successione dei cubi dei numeri interi naturali:
1 , 2 3 , 33 , 4 3 , 53 , ... , n3 , ...
Si può dimostrare che la forma generale della somma parziale Sn si può scrivere
semplicemente come:
n
[
n n1
S n =∑ i =
2
i =1
3
]
2
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Riepiloghiamo, di seguito, l'espressione generale della somma parziale n-esima di alcune
successioni notevoli:

S n =n u1
n−1
d
2

Generica successione aritmetica
Generica successione geometrica
1−q n
S n =u 1
1−q
n n1
2
Successione dei numeri interi naturali
n n1 2 n1
6
Successione dei quadrati dei numeri interi
n
S n =∑ i=
i=1
n
S n =∑ i 2=
i=1
n
[
n n1
S n =∑ i =
2
i =1
3
]
Successione dei cubi dei numeri interi
2
Esercizio:
Data la successione numerica di termine generale: u n=n2 n1
trovare l'espressione generale della somma dei primi n termini Sn e calcolarne il valore nel
caso particolare di n = 10.
Si ha:
n
n
n
n
i=1
i =1
i=1
i=1
S n =∑ i2 i1=∑ 2 i 2i=2 ∑ i 2∑ i
e utilizzando le formule riportate nella tabella sopra:
n
n
n n12 n1 n n1 1
S n =2 ∑ i 2∑ i=2⋅

= n n1 4 n5
6
2
6
i=1
i=1
Nel caso particolare di n = 10, si ha:
1
S 10= ⋅10⋅101⋅ 4⋅105=825
6
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1f. Limite di una successione numerica
Sia data una successione:
u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , ... , u n ,...
Se, al crescere di n, il termine un si avvicina sempre più ad un numero l, questo è detto
limite della successione1. Quando ciò avviene, si usa scrivere:
lim n  ∞ u n=l
In generale, il limite può essere un numero finito, compreso lo 0, ma può anche essere
infinito.
Esempi:
1. La successione: 1 ,
successione è :
1 1 1
1
1
, , , ... , , ... ha termine generale u n=
. Il limite di tale
2 3 4
n
n
lim n  ∞ u n=0
cioè, al crescere di n, il termine generale un della successione diventa sempre più
piccolo, con limite 0.
2. La successione:
3 5 7 9
2 n−1
1, ,
, , ... ha termine generale: u n=
. Per tale
2 3, 4 5
n
successione si ha:
lim n  ∞
2 n−1
=2
n
cioè, quanto più cresce n, tanto più un si avvicina al numero 2 (per difetto).
3. La successione 1 , 4 , 9 ,16 , ... , n 2 , ... di termine generale u n=n2 ha limite infinito:
lim n  ∞ n2=∞
1 Naturalmente, questa non è la definizione matematica rigorosa del limite di una successione.
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2. Serie numeriche
2a. Definizione di serie numerica: convergenza e divergenza
Sia data la successione numerica:
u 1 , u 2 , u 3 , ... , u n , ...
Abbiamo visto, nel paragrafo precedente, come viene definita la somma parziale dei primi
n termini della successione:
n
S n =∑ u i=u 1u 2...u n
i=1
e come sia possibile, in alcuni casi, calcolarla in maniera generale per ogni n.
Supponiamo, ora, di estendere la somma a tutti gli infiniti termini della successione:
S=u1u2 ...u n...
La somma S degli infiniti termini di una successione prende il nome di serie, e si usa
indicarla con il simbolo di sommatoria:
∞
S=∑ u n
n=1
Essa può avere valore finito o infinito. Nel primo caso la serie è detta convergente, nel
secondo caso è detta divergente.
Ma come fare per calcolare una somma infinita? Il procedimento consiste nel costruire, a
partire dalla successione data, una nuova successione del tipo:
S 1 , S 2 , S 3 , ... , S n ,...
cioè la successione delle somme parziali della successione data, dove abbiamo:
S 1=u 1
S 2=u1u2
S 3=u1u 2u3
...
S n =u1u 2u 3...un
...
A questo punto, la somma S degli infiniti termini della successione iniziale non è altro che
il limite della successione delle somme parziali per n che tende ad infinito:
∞
S= ∑ u n =lim n ∞ S n
n=1
Se tale limite esiste ed è finito la serie è convergente (si usa dire che la successione iniziale
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è sommabile). Se tale limite non esiste, o esiste ed è infinito, la serie è divergente (cioè la
successione iniziale non è sommabile). Studiare una serie (o stabilirne il carattere) significa
verificarne la convergenza o la divergenza e, nel caso di convergenza, calcolarne il valore
S.
Esempi:
•
Studiare il carattere della serie:
∞
3
3
3
3
3
=3    ...
∑
n
2 4 8 16
n=0 2
Poiché si tratta di una successione geometrica di ragione q=
1
2
e primo termine 3, la
relativa somma n-esima si può scrivere come:
 
n
3
1
=6 1− n
i
2
i =0 2
e, dunque, la serie si può calcolare come il limite per n che tende ad infinito della somma
parziale Sn:
∞
3
1
S=∑ n =lim n  ∞ 6 1− n =6
n=0 2
2
S n =∑
 
Il limite della successione delle somme parziali esiste ed è finito. La serie è, dunque,
convergente e la sua somma vale 6.
•
Studiare la serie
∞
∑ n=1234...n...
n=1
E' la serie degli interi naturali che abbiamo visto avere come somma parziale n-esima:
n
S n =∑ i=
i=1
n n1
2
Studiamo, ora, il limite della somma parziale n-esima per n che tende ad infinito:
∞
S=∑ n=lim n  ∞
n=1
n n1
=∞
2
Tale limite è infinito; dunque, la serie è divergente (come ci aspettiamo, la somma degli
infiniti numeri interi naturali è infinita).
Nota molto importante:
Gli esempi di serie calcolate sopra dimostrano che non vi è alcuna difficoltà a determinare
il carattere di una serie e a calcolarne la somma S se si conosce l'espressione generale della
somma parziale n-esima Sn. Infatti, basterà calcolarne il limite per n che tende ad infinito:
∞
n
n=1
i=1
S=∑ u n=lim n ∞ S n=lim n  ∞ ∑ ui
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La vera difficoltà nello studio delle serie, allora, è proprio quella di scrivere la somma
parziale n-esima della successione in forma generale. Tale difficoltà potrà essere superata
in seguito mediante la definizione di opportuni criteri, i quali ci permetteranno di stabilire
la convergenza (o la divergenza) di una serie a partire dallo studio dei singoli termini un
della successione.
2b. Condizione necessaria per la convergenza
Un criterio di grande utilità pratica perché serve a stabilire con certezza la divergenza di
una serie (ma non la sua convergenza) è il seguente:
condizione necessaria per la convergenza di una serie è che per n che tende ad infinito il suo termine
generale tenda a zero.
La condizione è necessaria ma non sufficiente. Ciò significa che:
➔
➔
se lim n ∞ u n ≠0 , allora la serie è sicuramente divergente
se lim n ∞ u n=0 , allora la serie può essere convergente o divergente
la condizione, dunque, è molto utile per stabilire che una serie è sicuramente divergente.
Se, invece, si ha che lim n  ∞ u n=0 nulla si può dire sulla convergenza della serie.
Un esempio che si presta bene a dimostrare che la condizione è necessaria ma non
sufficiente è la successione dei reciproci dei numeri interi naturali, la cui serie è detta serie
armonica:
∞
1
1 1 1
1
S=∑ =1   ... ...
n
2
3
4
n
n=1
Per questa serie vale la condizione che il limite del termine generale è zero:
1
lim n ∞ =0
n
eppure si può dimostrare che la serie non converge, cioè la somma degli infiniti termini
della successione è infinita.
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2c. Carattere di alcune serie notevoli
Serie geometrica
E' la serie i cui termini sono quelli di una successione geometrica con ragione q e primo
termine u1:
●
∞
S=∑ u1 q
n=1
n−1
2
3
n
=u 1u 1 qu1 q u 1 q ...u 1 q ...
Notiamo che, a volte, la serie geometrica viene scritta con l'indice n della sommatoria che
parte da 0; in questo caso la serie si scrive:
∞
S=∑ u 1 q n
n=0
Conosciamo, per questo tipo di successione, l'espressione generale della somma parziale
n-esima, che vale:
1−q n
S n =u1
1−q
Dunque, per calcolare quanto vale la serie (cioè la somma degli infiniti termini della
successione) basta trovare il limite per n che tende ad infinito della Sn. Bisogna, però,
distinguere diversi casi, a seconda del valore di q:
n
u
1−q
= 1
1−q 1−q
n=0
la serie è convergente e la sua somma vale S=u1/(1-q).
∞
➔
Se ∣q∣1 si ha:
S=∑ u 1 q n=lim n ∞ S n=lim n  ∞ u1
➔
Se ∣q∣1 si ha:
S=∑ u 1 q n=lim n ∞ S n=lim n  ∞ u1
∞
n=0
1−q n
=∞
1−q
la serie è divergente e la sua somma vale infinito.
➔
Se q=1 la serie diventa S=u1u1u1...u 1... . La somma parziale
n-esima+è: S n =n⋅u1 , che per n che tende ad infinito diverge. La serie è,
dunque, divergente.
➔
Se q=−1 la serie diventa
converge.
S=u1−u1u1−...u 1−... ..... la serie non
In definitiva, una serie geometrica converge solo se ha ragione compresa tra i valori -1 ed
1.
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Serie armonica generalizzata
La serie armonica generalizzata si presenta nella forma:
●
∞
S=∑
n=1
1
1 1
1
=1    ...  ...

n
2 3
n
con α numero reale qualsiasi. Si può dimostrare che tale serie ha un carattere diverso a
seconda del valore di α:
➔
Se 1 la serie diverge
➔
Se =1 si ottiene la serie armonica, che è divergente:
➔
Se 1 la serie converge
∞
1
S=∑ =∞
n=1 n
Serie esponenziale
E' una serie del tipo:
●
∞
S=∑
n=0
n
2
3
4
a
a a
a
=1a   ...
n!
2 6 24
dove a è un qualsiasi numero reale. Si può dimostrare che questa serie è sempre
convergente per ogni valore di a e che vale:
∞
S=∑
n=0
an
=e a
n!
Notiamo che, nel caso particolare di a=1, si ottiene una definizione di e (numero di
Nepero) come somma infinita di termini:
∞
e=∑
n =0
1
1 1
=11  ...
n!
2 24
Serie di Mengoli
E' una serie definita come:
●
∞
S=∑
n=1
1
1
1
1
1
=


...
...
n n1 1⋅2 2⋅3 3⋅4
n⋅n1
Si dimostra che tale serie è convergente e la sua somma vale 1:
∞
S=∑
n=1
1
=1
n n1
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2d. Criteri di convergenza e divergenza di una serie
Nel seguito vedremo alcuni criteri utili per stabilire il carattere di una serie. Ci limiteremo,
per ora, al caso di serie a termini reali positivi, cioè serie i cui termini sono positivi e nulli
oppure negativi e nulli: il secondo caso si riconduce, infatti, al primo moltiplicando, come
è lecito, per la costante -1. I criteri di convergenza sono molto utili in quanto permettono
di stabilire il carattere di una serie senza dover scrivere l'espressione generale della somma
parziale ennesima (cosa che a volte può presentare notevoli difficoltà), ma studiando solo
il comportamento dei singoli termini un della successione.
●
Criterio del rapporto
Una serie a termini positivi:
∞
∑ un
n=1
è convergente se il limite del rapporto fra un termine
ed il precedente è minore di 1. E' divergente se il limite di tale rapporto è maggiore di 1.
In sintesi, vale:
u
l=lim n  ∞ n1
un
➔
se l1 la serie è convergente
➔
se l1 la serie è divergente
➔
se l=1 nulla si può dire sul carattere della serie (bisogna usare un altro metodo)
●
Criterio della radice
Una serie a termini positivi:
∞
∑ un
n=1
è convergente se il limite della radice n-esima di
u n è minore di 1. E' divergente se è maggiore di 1. In altre parole, vale:
l=lim n  ∞  un
n
➔
se l1 la serie è convergente
➔
se l1 la serie è divergente
➔
se l=1 nulla si può dire sul carattere della serie (bisogna usare un altro metodo)
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Criterio del confronto
●
Mediante questo criterio è possibile stabilire il carattere di una serie dal confronto con
un'altra di carattere noto. Sia
sia
∞
∑ vn
n=1
∞
∑ un
una serie della quale si voglia stabilire il carattere, e
n=1
una serie di cui è nota la convergenza. Se si trova il modo di dimostrare che per
ogni n vale:
u n≤v n
∞
∑ un
allora, anche la serie
è convergente.
n=1
Analogamente, se è nota un serie
∞
∑ zn
n=1
divergente e si dimostra che per ogni n vale:
u n≥ z n
∞
∑ un
allora anche la serie
n=1
è divergente. In altre parole, se il termine generale di una serie
data è sempre minore o uguale al termine generale di una serie convergente, allora la serie
data è anch'essa convergente. Se, invece, il termine generale di una serie data è sempre
maggiore o uguale al termine generale di una serie divergente, allora la serie data è
anch'essa divergente.
Esempi:
∞
1
1
1
=1 2  2 ...
∑
2
n=1 n
2 3
Studiamo la serie:
Trascurando, come è lecito, il primo termine essa può essere scritta come:
∞
1
1 1 1
= 2  2  2 ...
∑
2
n=1  n1
2 3 4
allora:
1
1
1
=
≤
2
n1
n1
n
n1
n1
e poiché la serie
∞
1
∑
n=1 n n1
è una serie convergente (serie di Mengoli) lo è anche la serie
data.
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2e. Somma di serie convergenti
Siano date le serie:
∞
∑ un
n=1
e
∞
∑ vn
n=1
. Se esse sono entrambe convergenti, allora lo è anche
la serie somma delle due. In altre parole, se:
∞
S 1=∑ un
n =1
allora la serie
∞
∑ u nv n
n=1
e
∞
S 2= ∑ v n
n=1
è convergente e la sua somma è:
∞
∑ u nv n=S 1S 2
n=1
Infine, è bene rimarcare che il carattere di una serie rimane inalterato se si moltiplicano i
suoi termini per una costante diversa da zero.
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