Punti nel piano cartesiano
In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e y. Solitamente, disegniamo la retta
x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e y (ordinate), verticalmente e orientata
dal basso verso l'alto. Le due rette si chiamano assi cartesiani e il loro punto d'intersezione O origine.
Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi. In
matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y. Si dice che nel piano è stato
fissato un sistema di riferimento cartesiano.
A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di
numeri reali (x,y).
Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u
otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y,
l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.
Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K,
infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.
Le due rette dividono il piano in quattro quadranti; il primo quadrante è formato dai due assi positivi
pertanto i punti interni ad esso avranno coordinate di segno positivo, nel quadrante opposto (terzo) avranno segno negativo; nel secondo quadrante i punti avranno ascisse negative e ordinate positive mentre
nel quarto le ascisse saranno positive e le ordinate negative.
Segni delle coordinate nei quattro
quadranti
2° quadrante
(-,+)
3° quadrante
(-,-)
1° quadrante
(+,+)
4° quadrante
(+,-)
Punti particolari
L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0).
I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H (x,0).
I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K (0,y).
Distanza tra due punti
Casi particolari:
I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH. La distanza si calcola più rapidamente
con la formula |x2 - x1|.
I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH. La distanza si calcola più rapidamente
con la formula |y2 - y1|.
Negli altri casi si applica il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H, e otteniamo :
d ( P; Q ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Punto medio di un segmento
Per determinare le coordinate del
punto medio basta applicare le
seguenti formule:
x1 + x 2
2
y + y2
ym = 1
2
xm =
La retta
Consideriamo il piano cartesiano nella figura qui sotto, in cui è raffigurata la retta r: anche senza
conoscere le equazioni delle rette, possiamo già dire due cose importanti:
•
•
la retta r incontra l’asse x nel punto di coordinate (-2, 0);
la retta r incontra l’asse y nel punto di coordinate (1,0)
Tutti i punti che appartengono alla medesima retta sono tali che la coordinata x di ciascun punto è legata
alla coordinata y dello stesso punto. L’equazione della retta generica è: y = kx + n (forma esplicita)
Il grafico della funzione y = kx + n è una retta che incontra l’asse y (delle ordinate) nel punto n.
Pertanto in questo caso k è il coefficiente angolare e n rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta
incontra l’asse y.
La retta y = kx + n può anche essere scritta nella forma: ax + by + c = 0 (forma implicita)
da cui risulta che by = -ax – c; dividendo tutto per b (diverso da 0) si ottiene
y = -(a/b)x - (c/b) dove -a/b = k e -c/b = n. Salvo casi di opportunità, preferiamo sempre riferirci alla
forma y = kx + n.
Se nell’equazione ax + by + c = 0 poniamo y = 0 otteniamo x = -c/a che è il punto in cui la retta incontra
l’asse x.
Analogamente se poniamo x = 0 si ha y = -c/b che è il punto di intersezione con l’asse y.
Consideriamo la retta r raffigurata nella figura seguente:
Il punto A appartiene alla retta r ed ha coordinate (1; 1/2). Anche il punto B, di coordinate (3; 3/2)
appartiene alla retta r.
In entrambi i casi la coordinata y è la metà di quella x. Scriviamo questa relazione con y = 1/2 x
equazione della retta: y = kx
(retta passante per l'origine)
E’ evidente che da k dipende l’inclinazione della retta rispetto all’asse x, per questo a k si da il nome di
coefficiente angolare.
Se k>0 la retta è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k<0 la retta è nel secondo e quarto quadrante.
Se k=0 l’equazione diventa y = 0 e rappresenta l’asse x (ascisse)
Se k=1 la retta è la bisettrice del I e III quadrante. y = x
Se k=-1 la retta è la bisettrice del II e IV quadrante. y = -x
Se k>1 la retta forma con l’asse delle x un angolo compreso fra 45° e 90°.
Se 0<k<1 la retta forma con l’asse delle x un angolo compreso fra 0° e 45°.
Retta parallela all'asse y: equazione della retta: x = a
La funzione x = a impone alla coordinata x di essere sempre uguale ad a qualunque sia y; pertanto il suo
grafico è una retta parallela all’asse y che incontra l’asse x nel punto di ascissa a.
Es. (2,3) ; (2,4) ; (2,-1) ecc appartengono alla retta x = 2
Retta parallela all'asse x: equazione della retta: y = b
Analogamente, nel caso y = b il grafico sarà una retta parallela all’asse x che incontra l’asse y nel punto di
ordinata b.
Per a = 0 e b = 0 le rette coincidono con gli assi cartesiani.
Es. (-2,3) ; (2,3) ; (5,3) ecc appartengono alla retta y = 3
Distanza di un punto da una retta
La distanza del punto P = (p,q) dalla
retta ax + by + c = 0 è data dalla
seguente formula:
Dato il punto P(x1,y1) per trovare tutte le rette che
passano per esso basta scrivere:
y - y1 = k ( x - x1 )
Al variare di k otteniamo un fascio infinito di rette
passanti per P.
Retta parallela ad una retta data.
Data la retta di equazione y = kx + n al variare di n si ottengono
infinite rette parallele alla retta data, ma se fissiamo un punto P(x1,y1)
per questo passa una e una sola retta parallela ad essa.
Per trovare l’equazione di tale retta si scrive: y - y1 = k ( x - x1 ) dove k
è il coefficiente angolare della retta data.
Retta perpendicolare ad una retta data.
Anche in questo caso data la retta y = kx + n esistono infinite rette ad
essa perpendicolari, ma se fissiamo un punto P(x1,y1) da esso si può
tracciare una e una sola perpendicolare. L’equazione si trova nello
stesso modo cioè scrivendo: y - y1 = k ( x - x1 ), ma questa volta k
deve essere uguale al coefficiente angolare inverso ed opposto a
quello della retta data k = -l /k.
Retta passante per due punti.
Siano P(x1,y1) e Q(x2,y2) i due punti del piano cartesiano, per
trovare l’equazione della retta che passa per essi bisogna scrivere:
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1
FORMULARIO:
equazione cartesiana in forma implicita:
La forma esplicita di una equazione e la forma
implicita si riferiscono semplicemente al modo in
cui l’equazione è scritta.
equazione cartesiana in forma esplicita:
Ad esempio l’equazione 3x + y - 2 = 0
è una equazione in forma implicita,
coefficiente angolare:
mentre y = -3x +2
è la stessa equazione scritta in forma esplicita.
termine noto:
equazione della retta passante per due punti , :
equazione della retta passante per un punto :
condizione di parallelismo tra le due rette , :
,
:
condizione di perpendicolarità tra le due rette , :
,
o anche
: