Momento angolare
“Momento angolare” ( o “momento della quantità di moto”)
di un punto materiale P avente quantità di moto p = mv rispetto ad un “polo” O :


 

Lo  OP  p  OP  mv
LO
P
p
OP
O
Per le proprietà
del prodotto vettoriale:



LO  p , OP

LO
p
 mv OP sin 

Dimensioni di L:
P
O
U.Gasparini,Fisica I

L
 
 Kg  m2  s 1  N  m  s
1
Momento di una forza
“Momento” di una forza F, applicata in un punto P,
rispetto ad un polo O :



M o  OP  F
MO

P
b
F
O
Per le proprietà
del prodotto vettoriale:
“braccio”



M O  F , OP

M O  F OP sin   Fb
Dimensioni di M:
U.Gasparini,Fisica I


M


 dL 
 N m  

dt


2
Momento di una forza (II)
Cambiando il polo rispetto al quale si calcola il momento di una forza:










M o'  O' P  F  ( O' O  OP )  F  O' O  F  OP  F




M o '  O' O  F  M o
Analogamente, per il momento angolare:




Lo '  O' O  mv  Lo
Se si hanno più forze applicate in uno stesso punto P, il momento risultante
dei singoli momenti è uguale al momento della forza risultante applicata in P :

F1
O
P
 tot
MO 

i
U.Gasparini,Fisica I

Mi 

i

F2


( OP  Fi )  OP 

R

i



Fi  OP  R
3
Teorema del momento angolare
la derivata rispetto al tempo del momento angolare, calcolato rispetto ad un
polo fisso O in un sistema di riferimento inerziale, di un punto materiale soggetto
ad una forza F è uguale al momento della forza rispetto ad O :


dLO
 MO
dt

 v
Infatti:





dLO


d (r  mv )
dr
dmv


 mv  r 
dt
dt
dt
dt
=0



dLO

 r  F  MO
dt
U.Gasparini,Fisica I

 F
( 2 legge di Newton ,
se v è la velocità in un sistema
di riferimento inerziale)
4
Esempio: moto di un “pendolo semplice”
y
Con riferimento alla figura:
d (t )
dt
d
LOz  mv  m 2




LO  OP  mv
Dal teorema del
momento angolare:
dLOz
 M Oz
dt
 m
d 2 ( t )
dt 2
d 2 ( t )
dt 2
O
ds
 
dt
dt
M Oz  mg sin 
2
z
 
x

P



M O  OP mg
mg
v
 mg sin  ( t )
g
sin  ( t )

piano di
oscillazione
equazione del
pendolo semplice
( Nota: per piccole oscillazioni: sin  (t )   (t )
U.Gasparini,Fisica I
d 2 (t )
g
 
 (t )   2 (t )
2
dt

5
Teorema del momento dell’impulso
Integrando rispetto al tempo l’equazione che esprime il teorema del
momento angolare, si ha:
t
f


M O ( t ) dt 
ti
t
f

ti

dLO ( t )
dt 
dt

Lf


Li


dLO  LO



M O (t )  r (t )  F (t )
In particolare, se il momento
è applicato per un tempo sufficientemente breve affinchè il punto di applicazione
di F(t) possa essere considerato costante : r (t) = rO
t
f


M O ( t ) dt 
ti
t
f


[ rO


 F ( t )]dt  rO 
ti
t
f



F ( t ) dt  LO
ti
J



rO  J  LO
impulso
della forza F
“teorema del momento
dell’impulso”
“momento dell’impulso”
U.Gasparini,Fisica I
6
Lavoro nei moti rotatori
In un moto circolare, il lavoro della forza può essere espresso come il
prodotto del momento della forza rispetto al centro di rotazione O
per l’angolo di rotazione del punto di applicazione:


dW  F  ds  F cos ds
 F cos Rd
ds P

d
F
b
R cos 

R
“braccio” b
 Fbd  M O d
O
f
W 
M


O
( ) d
i
In particolare, se il momento M è costante:
U.Gasparini,Fisica I
W  M O 
7
Campo di forza centrale
In ogni punto dello spazio il vettore forza F ( r ) è diretto verso uno stesso
punto 0 dello spazio detto “centro di forza”, ed il suo modulo é funzione
della sola distanza r dal centro di forza:
 

F (r )  F (r ) u R
P
r
F
versore radiale
uR
O
“linea di forza”
Esempio:
campo della forza gravitazionale generata da
una massa M che agisce su una massa m:
U.Gasparini,Fisica I
F ( r )  
Mm
r2
8
Campo di forza centrale (II)
un campo di forze centrali è conservativo:
il moto avviene conservando l’energia meccanica
2
W12 

 

F ( r )  ds 



F ( r ) u R  ds 
 F (r )dr
 G ( r2 )  G ( r1 )
1
= dr
1
funzione primitiva di F(r)
ds
dr
il lavoro W12 non dipende
dal cammino percorso
uR
2
O
Ad esempio, per un campo di forza gravitazionale:
F (r ) 
 Mm
r2
,
Mm
G(r ) 
r
E p ( r )  E p ( r1 )  W1 P
 1
1
 mM 
 
r
 r1
E M  Ek  E p 
U.Gasparini,Fisica I
 1
1
W12  Mm


r1 
 r2
E p (r )  
mM
C
r
1
mM
mv 2 (r )  
 costante
2
r
9
Campo di forza centrale (III)
In un campo di forza centrale , il moto avviene mantenendo costante
il momento angolare , calcolato rispetto al centro di forza:


 
dLO



 M O  r  F (r )  r  F (r )u R  0
dt

LO  costante
centro della forza
il piano individuato dai vettori r e v è sempre lo stesso, ossia
il moto avviene in un piano
piano del moto
costante
LO
O
r
P
p=mv
direzione costante
U.Gasparini,Fisica I
10
Velocità areale
La costanza del modulo di L implica che il moto avviene con
“velocità areale” costante :
derivata rispetto al tempo
dell’area A(t) “spazzata” dal vettore posizione r(t)
dA(t)
O
ds
r ( t+dt )
r(t)
1
dA(t ) 
r (t )ds sin  (t )
2
ds sin

dA(t )
1
ds
1

r (t )
sin  (t ) 
rv sin 
dt
2
dt
2
LO  r (t )mv (t ) sin  (t )
costante
LO
dA( t )

dt
2m
(esempio: 2a legge di Keplero per il moto dei pianeti nel campo della
forza gravitazionale generata dal Sole)
U.Gasparini,Fisica I
11