“Corpo rigido”
Distribuzione estesa di massa i cui punti mantengono invariate le distanze reciproche
( non ci sono deformazioni)
Possibili moti di un corpo rigido:
i ) traslatorio: tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità
(uguale a quella del centro di massa)
v1
dm1
dm2
v1 = v2 = vCM
v2
ii) rotatorio (intorno ad un asse fisso):
v=wr
v
r
w
iii) roto-traslatorio:
l’asse di rotazione è in moto e, in generale,
cambia direzione
U.Gasparini, Fisica I
1
“Gradi di libertà” di un sistema
numero n di parametri indipendenti necessari a descriverne
il moto ( definirne completamente la posizione)
Esempi:
- punto materiale in moto nello spazio tridimensionale:
P = ( x(t), y(t), z(t) )
n=3
- sistema di N punti materiali indipendenti:
Pi = ( x i (t) , y i (t), z i (t) )
n=3N
- 2 punti materiali vincolati a mantenere una distanza fissa
P2 = ( x 2 (t) , y 2 (t), z 2 (t) )
n = 5 ( = 3 2 - 1)
d=costante
P1= ( x 1 (t) , y 1 (t), z 1 (t) )
- corpo rigido :
n=6
U.Gasparini, Fisica I
equazione di vincolo:
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z2 ) 2  d 2
2
Gradi di libertà di un corpo rigido
I gradi di libertà di un corpo rigido sono 6 :

u1
z
x

u3
sistema di assi solidale rispetto
al corpo rigido
CM
u2
y
posizione del centro di massa :
3 gradi di libertà
orientazione degli assi :

u1  ( u1x , u1 y , u1z )

u2  ( u2 x , u2 y , u2 z )

u3  ( u3 x , u3 y , u3z )
condizioni:

u1  1

u2  1

u3  1
9


u1  u2  0


u1  u3  0


u2  u3  0
parametri
6
equazioni
9 - 6 = 3 parametri indipendenti
U.Gasparini, Fisica I
6 gradi di libertà
3
Esempio: orientazione di un corpo rigido nello spazio
Dati 3 punti arbitrari non allineati del corpo:
2 parametri (J , j)
per definire la direzione
dell’asse 1-2 nello spazio
2
F
J
j
U.Gasparini, Fisica I
1
3
1 parametro ( F ) per definire
la direzione dell’asse 2-3
nel piano ^ all’asse 1-2
4
Densità
La materia, osservata su scala atomica ( 10 -10 m) ha una struttura discontinua .
Volumi “ infinitesimi” su scala macroscopica ( molto piccoli rispetto alle
variazioni delle proprietà macrospiche, come la densità, della materia, e
Comunque rispetto alle dimensioni tipiche dei corpi considerati) contengono un
numero enorme di atomi :
esempio: numero N di atomi in 1 cm3 di rame:
densità:
Cu  8,96g / cm3
NA
NA
6,02 10 23
22
N 



8
,
5

10
atomi/cm3
3
Vmole
mmole /  Cu
63,55 g / 8,96 gcm
Su volumi (macroscopicamente) infinitesimi la materia puo’ essere considerata una
distribuzione continua di massa.
“Densità media” di un corpo di volume V e massa m :
  
U.Gasparini, Fisica I
m
V
5
Densità (di volume) di un corpo
Funzione continua dei punti dello spazio occupati dal corpo:
massa contenuta nel volume V
 ( x , y , z )  lim
V 0
mV
dm

V
dV
volume centrato nel punto (x,y,z)
V
P = (x,y,z)
dimensioni:
[  ] = kg / m 3
Densità superficiale :
 ( x , y )  lim
S 0
mS
dm

S
dS
[ ] = kg / m2
S
Densità lineare :
 ( x )  lim
 0
U.Gasparini, Fisica I
m
dm


d
[  ] = kg / m

6
Centro di massa di un corpo rigido C
“Centro di massa” G di un sistema di punti materiali Pi :


OG  rCM 


i
mi OPi
i
P1
z
r1
rCM



mi
P2
i

mri
M
massa totale
del sistema
G
y CM
zCM
O
yCM
x
xCM

1
OG  rCM 
M
Per un corpo rigido:
C
zCM
y


V
volume del corpo
G

dm   (r )dV

1
r dm 
M
x CM 
y CM 
r = (x,y,z)
U.Gasparini, Fisica I
volume dV
1
M
1

M
1

M
x CM 
P3
zCM 
1
M
1
M
1
M

 mx
 my
 mz
i
i
i
i
i
i
 
r  (r )dV
V
 x ( x , y , z)dV
V
 y ( x , y , z )dV
V
 z ( x , y7, z)dV
V
Centro di massa: esempi:
i) centro di massa di un’asta omogenea di lunghezza  :
dm  dx
xG
O
densità lineare:

xG
G
1

M
x
dx

V
  M /
1
xdm 
M


xdx 
0
 2
M
2


2
xG 

2
ii) centro di massa di un “semidisco” omogeneo di raggio R:
y
2
2
( y ) 
 y
R
xG  0
dy =
y
G
yG


M
1

M
R

0
R
area infinitesima dS  2( y ) dy
x
R
M
densità superficiale  

S
2
R 2 / 2
1
ydm 
M
 y
2
dy
z
2
2
 
( R 2  y 2 ) 3/ 2
3M
(per simmetria)
 ydS
S
 

M
y R

y 0
z

1/ 2

M
R
 y2
0
R 2  y 2 dy

z 3/ 2
dz  
M 3/ 2
2
R3
3M
yG 
4R
3
Definizioni:
Sistema di punti materiali
Centro
di massa:

rCM 
Corpo rigido

i

mri
M
1

rCM 
M


1

r dm 
M
V
 
r  ( r ) dV
V
Velocità del CM :

drCM (t )

1
vCM ( t ) 

dt
M

i

mi vi
Quantità di moto:

P 


pi 

i


mi vi  Mv CM

P
i
1
M


V

1
vdm 
M

dp 
V
Momento angolare:



LO 
(ri  pi ) 

i



 L' CM  rCM  MvCM
teorema di Koenig
Energia
cinetica :

vCM 
Ek 

i
 E ' k CM
U.Gasparini, Fisica I
1
mvi2 
2
1
2

Mv CM
2
teorema di Koenig

LO 





v  (r )dV
V


vdm  MvCM
V


r  dp 
V

 
r  vdm
V



 L' CM  rCM  MvCM
Ek 

V
 E ' k CM
1 2
v dm 
2
1
2

Mv CM
2
9
Moto puramente traslatorio di un corpo rigido :
Tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità, uguale a quella del centro di massa:

1
vCM 
M

V

1
vdm 
M

V
v1 = v2 = vCM
dm1
G



v
v  (r )dV 
M
Quantità di moto :
vCM

P 

LO 
Momento angolare :



V
v1
v2
dm2

 (r )dV  v

dp 
V

=M


vdm  Mv CM
V





r  vdm  L' CM  rCM  MvCM

V



r  v ' dm  0
V

LO 





r  vdm  rCM  MvCM
velocità relative al CM : = 0
V
U.Gasparini, Fisica I
Ek 

1 2
1
2
v dm  E ' k CM 
MvCM
2
2
V
1 2
1 2
1

v ' dm  0
2
v dm 
MvCM
2
Ek 
Energia cinetica :
2
V
2

V
10