“Centro di massa”

“Centro di massa” G


OG  rCM 
di un sistema di punti materiali Pi :
P1
z
i
P3
i
M
i
1
M
1

M
1

M
x CM 
zCM
O
y
y CM
xCM
yCM
zCM
mx
my
 mz
i
i
i
i
i
i
i
i
CM di un sistema di 3 punti materiali di egual massa m
posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l :
Esempio:
h


massa totale del sistema
G
rCM
y
i

mi ri
P2
r1
x

m
mi OPi
0
P3

G
P1
P2
U.Gasparini, Fisica I
x
/2 
xCM 
1
m(1  1 / 2) 
(mx1  mx2  mx3 ) 

3m
3m
2
yCM 
1
m 3 / 2
(my1  my2  my3 ) 
 3 / 6
3m
3m
0
h
2  2 / 4 
3 / 21
i
Velocità e accelerazione del CM

drCM (t )

d  1
vCM (t ) 


dt
dt  M

dri (t )

1

mi ri (t ) 
mi
i
i

M
dt

drCM (t )


1
vCM ( t ) 

mi vi
i
dt
M



v1
La quantità di moto totale di un sistema
di punti materiali può essere espressa da:
vCM

P 
v2
p

i
i

m v

i
i

 Mv CM
i
Accelerazione del CM :

dvCM (t )

d  1
aCM (t ) 


dt
dt  M

U.Gasparini, Fisica I

1

mi vi (t ) 
i

M


dvi (t )
mi
i
dt


dvCM ( t )

1
a CM ( t ) 

dt
M

i

mi ai
2
Teorema del moto del centro di massa
Per ogni punto materiale Pi di massa m i :
E
I
E
 tot

mi ai  Fi
 Fi
 Fi  Fi

j i
legge di
Newton
risultante delle forze interne
agenti su Pi
risultante delle forze esterne
al sistema agenti su Pi
CM
P1


Fij
forza interna che
il punto Pj
esercita su Pi
P2
F21 = - F12
F12

Ma CM 
E
F1
(es.: m1g )




mi ai 
i
 RE


 
Fij 






F12  F21  F12  F12  0
E

MaCM  R
accelerazione del CM
in un sistema di riferimento inerziale
U.Gasparini, Fisica I

E


Fi  F12  F13
i
 E
 Fi 


i
i
i


 F14 ....... F21 ... 
 tot
Fi

legge di azione e reazione
risultante delle forze esterne
che agiscono sul sistema
3
Quantità di moto totale del sistema
Esempio:
il CM di un sistema di punti materiali in moto sotto l’azione della forza peso
compie il moto parabolico di un punto materiale soggetto all’accelerazione g :
E

Ma CM  R 

i
 
mi g  



i

mi 
g



aCM  g
Considerando la quantità di moto totale del sistema :


P  MvCM

E
dP
 R
dt


dv CM
dP
 M
dt
dt

 Ma CM
In particolare, per un sistema isolato o per il quale la forza
risultante di tutte le forze esterne sia nulla :

dP
0
dt
P = costante
la quantità di moto totale si conserva.
U.Gasparini, Fisica I
4
Proprietà del centro di massa
- il momento risultante delle forze peso agenti sul sistema
di punti materiali rispetto ad un polo O é uguale al
momento della forza peso totale applicata nel centro di massa del sistema
 tot
MO

mi
Pi
i
ri
O


Mi 




G

i



OPi  mi g 
i







mi OPi   g  M OG  g  OG  Mg


mi g

 tot

M O  OG  Mg
Mg
- l’energia potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali è uguale
all’energia potenziale di un punto materiale di massa uguale alla massa totale
del sistema e coincidente col centro di massa :
Ep 
E
p
i
i
U.Gasparini, Fisica I

 m gz
i
i
i
 g
m z
E p  MgzCM
i i
i
 MzCM
5
Proprietà dei sistemi di forze parallele


Dato un insieme di forze parallele Fi  Fi u
applicate nei punti Pi , esiste un punto C, detto
“centro delle forze parallele”:


OC  rC 


i

Fi ri
i
Fi
tale che il momento risultante delle forze Fi rispetto ad un

R

generico polo O sia uguale al momento rispetto ad O della risultante
applicata in C. Infatti:
 tot
MO


Mi 

i

Pi


i
ri
R
Fi
il centro delle forze peso,

o “baricentro”, è:
rG 
U.Gasparini, Fisica I


OPi  Fi 

i
 

Fi OPi   u 


Fi OPi
i
i
i



( OPi  Fi u )  
i

C
O



Fi

Fi

i



Fi u  OC  R
Se il sistema delle forze parallele è costituito



dalle forze peso:
Fi  mi g  mi guz

mg
i

mi gri
i
i


m
i

mi ri
i
i
e coincide col centro
di massa.
6
Momento risultante di un sistema di forze
Un sistema di forze Fi applicate in n punti Pi ha un momento risultante che
in generale dipende dal polo considerato:

MO 




OPi  Fi  M O ' 
i



O' Pi  Fi
i
Pi
Fi
OPi
O
Si ha:
O’O

M O' 



O' Pi  Fi 

i


O' O  Fi 
i
= O’O + OPi

 O' O



Fi  M O
i

O’
O’Pi


OPi  F
i
=MO
risultante del sistema di forze




M O '  O' O  R  M O
In particolare un sistema di forze a risultante nulla ha un momento che
non dipende dal polo considerato
U.Gasparini, Fisica I
7
Coppia di forze :
Sistema di due forze di egual modulo e direzione e di verso opposto ( R  0 ) .
Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polo
rispetto al quale viene calcolato; prendendo come polo il punto A:
M = AB  F
J
F
-F
A
B
“braccio”: b= ABsinJ
(= distanza tra le due rette d’azione)
M  AB F sin J  Fb
Per la legge di azione e reazione, le forze interne di un sistema
costituiscono un insieme di coppie di braccio nullo .
U.Gasparini, Fisica I
8
Momento angolare di un sistema di punti materiali

LO 

i

Li 

i


ri  mi vi
Teorema di Koenig del momento angolare:

LO 

 
 rG


i




(
r

r
'
)

m
(
v

v
' ) 



 



 
r
   r

m
v
'
'

m
(
v






ri  mi vi 
i

mi vG
G
i
G
i

 Mv G


 rG  Mv G 


 rG  Mv G 
Pi
ri =
ri’ +rG
i
i
i
G
i
i
i
i
G


 vi ' ) 

 MvG '  0
 r 'm v '    r 'm v  
i
i

i
i
i
i



ri ' mi vi '  


v i = v i’ + v G

L G’

i
i
i
G
 

mi ri '

v
G



 MrG '  0
r i’
G
rG
O
i
vG
U.Gasparini, Fisica I



LO  rG  Mv G 



 rG  Mv G  L ' G
 r 'm v '
i
i
i
i
9
Teorema di Koenig del mom.angolare: esempi:
Moto traslatorio:
v1
nel sistema di riferimento del CM:
v1’ = v 2’ = 0
r1
G
v2

L' G 
vG = v1 = v2
rG
Quantità di moto totale:
Moto roto-traslatorio:
v2’
r2’
i
i



LO  rG  MvG
O


P  MvG





LO  rG  MvG  r1 'm1v1 '
v1’
G
i
i
r2
r1’
 r 'm v '  0
v1


 r2 'm2 v2 '
vG
v2
rG
O
U.Gasparini, Fisica I
Quantità di moto totale:


P  MvG
10
Teorema del momento angolare
Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali
( “ 2a equazione cardinale” della dinamica):
massa totale del sistema

 (E)
dLO


 MO
 vO  MvG
dt
momento totale delle
forze esterne rispetto al polo O
vG
G
ri
vi
Infatti:




=0



vi  mi vi  vO 
U.Gasparini, Fisica I


vO
sistema inerziale
O
i
i
i

dLO


d

ri  mi vi 
dt
dt


dri
dvi



 mi vi 
ri  mi

dt
dt
O
C
velocità del polo O
nel sistema di riferimento
inerziale nel quale i punti
materiale hanno le velocità vi
che entrano nella definizione



di LO : L

r mv


mi vi 







 vi  vO  mi ai  Fi 
 (I)
 (E)


F

F

i
i
ri  ( Fi ( I )  Fi ( E ) )

 MvG
11
Teorema del momento angolare (II)

dLO


 vO  MvG 
dt


 (E)

ri  Fi



 (I)

ri  Fi
 (E)
 (E)
M Oi
 MO
=0
Infatti, il momento risultante delle forze interne è nullo:



ri  Fi ( I ) 

i

ri 

j i





Fij  r1  F12  r1  F13 ...







... r2  F21  r2  F23 ....  ( r1  r2 )  F12 ....

  F12
=0
poichè le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo :
m1
r1




r1  r2  r21 / / F12
F12
F21 = - F12
r12
m2

  
(r1  r2 )  F12  0
r2
O
Pertanto:
U.Gasparini, Fisica I

 (E)
dLO


 vO  MvG  M O
dt
12
Momento angolare (III)
Se il polo O è fisso nel sistema inerziale nel quale sono misurate le
velocità vi dei punti materiali:

 (E)

dLO
vO  0
 MO
dt
Se il sistema é isolato o il momento risultante delle forze esterne

agenti sul sistema è nullo :
dL
O
dt
 0
LO = costante
Il momento angolare totale di un sistema isolato si conserva
Una galassia è con
ottima approssimazione
un esempio di sistema
con momento angolare
costante
U.Gasparini, Fisica I
13
La Supernova della nebulosa del Granchio
Il collasso gravitazionale (e la successiva esplosione) di una “supernova” avviene
conservando il momento angolare della stella originaria.
Al centro dei resti della Supernova della nebulosa del Granchio (esplosione
osservata da astronomi cinesi nel 1054) vi è una “pulsar” (oggetto compatto che
emette un fascio di radiazione e.m. ruotando con un periodo Tpulsar= 33 ms )
Dalla conservazione del momento
angolare [per un oggetto sferico rotante, come
la stella iniziale prima dell’esplosione o la
“pulsar” finale: L= I, dove I=5MR2/2
(vedi più avanti, lezioni sul corpo rigido),
dove M=massa dell’oggetto e R è il suo raggio ]
si ha allora:
L = costante
“pulsar”
I stella stella  I pulsar  pulsar
2
 MRstella
2
 MR pulsar
R pulsar  Rstella
Assumendo, come
ordine di grandezza: Rstella  RSole  106 km
Tstella  TSole  25giorni
U.Gasparini, Fisica I
 stella
 Rstella
 pulsar
Tpulsar
Tstella
R pulsar  10 5 RSole  10km
La pulsar è una “stella di neutroni”
(distanze internucleari 1 fm)
14
Momento angolare rispetto al centro di massa
Se viene scelto come polo il centro di massa del sistema:
OG ,


vO  vG


vG  MvG  0

LG 
dove:

 (E)
dLG
 MG
dt

i


ri  mi vi
velocità dei punti materiali
nel sistema inerziale:
vettori posizione
rispetto al polo G


vi  v 'i
Applicando il teorema di Koenig del momento angolare:
velocità
rispetto a G




LO  rG  MvG  L' G


i


ri  mi vi
al caso in cui O=G :
e quindi:

rG  0
vettore posizione
di G rispetto ad O

 (E)
dL' G
 MG
dt

 r '  m v'

i
i

i
i


LG  L' G

L' G 



r '  mi vi '
dove
i i
è il momento angolare relativo al sistema del CM,
ossia calcolato utilizzando sia le posizioni ri’ che le velocità vi’ rispetto al centro di massa G.
U.Gasparini, Fisica I
15
i
Energia cinetica di un sistema di punti materiali:
Ek 

i
Eik 

i
1
mi vi2
2
Teorema di Koenig per l’energia cinetica:



1
mi ( vG  vi ' ) 2 
i 2


1
1

mi vG 2 
mi vi ' 2 
i 2
i 2



1
1

MvG 2 
mi vi ' 2  vG 
i 2
2
Ek 





energia cinetica
associata al moto del CM
Pi
ri =
ri’ +rG
v i = v i’ + v G
ri ’
G
rG
O
U.Gasparini, Fisica I
i

mi vi '

 MvG '  0
energia cinetica EK’
associata al moto
relativo al CM

1  2
1  2
MvG 
mv '
i2 i i
2
1 
 MvG 2  E k '
2
Ek 
vG
i


mi vG  vi ' 
16
Teorema dell’energia cinetica
Teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti materiali :
I)
(E)
E k  E kf  E ki  Wi (
f  Wi  f
Fj
lavoro delle forze interne
tra gli istanti iniziale e finale
dsj
lavoro delle
forze esterne
al sistema
Il lavoro infinitesimo dW di tutte le forze
agenti sul sistema quando ciascun punto
materiale
 ( I ) si sposta
 ( E ) del vettore infinitesimo dsj è:
 Fj  Fj
dW 



j


Fj  ds j 
dv j
j
mj
j
d Ek
j

dt

ds j 
j

  d  
Integrando su spostamenti finiti:
j
j


m j a j  ds j 
m j dv j v j 


j
1

d
mv 2
 
j
j
2

  dE
Ek
j 
k

posizione finale di
ciascun punto Pj
f
Wi  f 
 dW
f

 
j
i

  dE
j
i


F j  ds j 
i
f
U.Gasparini, Fisica I
m j aTj ds j 
k
j


j
E
k
j
posizione iniz.
 E k
Lavoro delle forze interne ed esterne
Nel calcolo del lavoro, si deve tener conto sia delle forze interne che di quelle interne;
il lavoro delle forze interne non è, in generale, nullo :
 (I)
 





Fj
 dr j 
F jk  dr j 

j
j
k j





 dr1  F13  dr1 ... F21  dr2 .... 

(I)
dW

 F12
 

  F12






 F12  (dr1  dr2 )  F13  (dr1  dr3 ) .... 






 F12  ( dr1  dr2 )  F13  ( dr1  dr3 ) .... 






 F12  d ( r1  r2 )  F13  d ( r1  r3 ) .... 
 

r12

r1 ( t )
F12
dr1
k j
0


F12  dr12  0
dr2
1
j


F jk  dr jk  0

r2 (t )
O

r12 (t  dt )

r12 (t ) 


r1 (t )  r2 (t )
tempo t
U.Gasparini, Fisica I
2
2



dr12  dr1  dr2
1
tempo t +dt
F12
18