Appendice 4A
I coefficienti di elasticità
della domanda:
un’esposizione
algebrico-grafica1
Il calcolo dei coefficienti di elasticità
della domanda
La teoria e l’indagine economica hanno identificato
numerosevariabilicheinfluisconosullaquantitàdomandatadiunbeneoservizio.Traquestevisonoil
prezzodelbene,iprezzidibenicorrelati,ilreddito
spendibiledegliacquirenti,igustielepreferenze,le
aspettativedegliacquirentiecosìvia.
Interminigenerali,sipuòquindidefinirelaseguente funzione di domanda di un bene o servizio
diconsumo:
Qi 5 f(Pi,Pj,Ya,ga,Aa)(A1)
dovelavariabiledipendenteQi èlaquantitàdomandata di i e le variabili indipendenti sono rispettivamenteilprezzodii,ilprezzodiungenericobenej
diversodai,ilredditoprocapitedegliacquirenti,le
loropreferenzeversoilbene,leloroaspettative.
Dallarelazionegenerale(A1),sipossonodedurre
–attraversoilricorsoall’ipotesi“aparitàdialtrecondizioni”–relazionifunzionalisemplificateeristrette
aduesolevariabili.Peresempio:
Qi 5 f 1Pi 2, date 1Pj, Ya, ga, Aa 2 (A19)
Qi 5 f 1Pj 2, date 1Pi, Ya, ga, Aa 2 (A10)
Qi 5 f 1Ya 2, date 1Pi, Pj, ga, Aa 2 (A1-)
LeEquazionisemplificate(A19),(A10)e(A1-)consentonodianalizzareseparatamentel’influenzadiuna
sola variabile sulla quantità domandata di un bene,
pur nei limiti dell’accettabilità dell’ipotesi semplifi-
1
QuestaappendiceèacuradelprofessoreCarloRicciardi.
catrice“aparitàdialtrecondizioni”,ovvero“aparità
dialtrevariabilirilevanti”.
Inriferimentoall’Equazione(A19)–lacuirappresentazioneèlatradizionalecurvadidomanda–,sipuò
quindicalcolareilcoefficiente di elasticità (diretta) domanda-prezzo delbenei (eQi,Pi)attraversolarelazione2
eQi,Pi 5
5
#
dQi Pi
# > DQi # Pi 5 DQi>Qi # 100 5
dPi Qi
DPi Qi
DPi>Pi 100
variazione , di Qi
variazione , di Pi
(A2)
PoichénormalmentelarelazionetraQi ePi èinversa
onegativa,ilcoefficienteeQi,Pi hasegnonegativo:la
suainterpretazione–inquantoindicatoredireattività
dellaquantitàdomandataalprezzo–èquindipiùagevoleselosiconsideracomenumeropurooinvalore
assoluto )eQi,Pi). Così considerato, il campo di variazione del coefficiente di elasticità diretta domandaprezzoè0# )eQi,Pi) , `.
Inriferimentoall’Equazione(A10),sipuòcalcolare il coefficiente di elasticità incrociata della domanda diunbenei alprezzodiunaltrobenej (eQi,Pj)
attraversolarelazione
eQi,Pj 5
5
dQi Pj
# > DQi # Pj 5
dPj Qi
DPj Qi
variazione , di Qi
variazione , di Pj
(A3)
2
Ilsimbolodèconvenzionalmenteusatoperindicarevariazioni infinitesime di una variabile: quindi, dQi/dPi è la
derivata di Qi rispetto a Pi. Il simbolo ∆ è convenzionalmenteusatoperindicarevariazionifiniteodiscretediuna
variabile:quindi,∆Qi/∆Pi èilrapportotravariazionidiscrete
delleduevariabili(cosiddetto“rapportoincrementale”).
72
Parte 2
d
La microeconomia positiva
Ilsegnodelcoefficientedielasticitàincrociatadomanda-prezzopuòesseresiapositivosianegativo:ilsegno
dipendedaltipodirelazionetraiduebeni.SeeQi,Pj . 0,
ibenii ej sonosostituti.SeeQi,Pj , 0,iduebenisono
complementari.NelcasoincuieQi,Pj 5 0,sipuòdire
cheiduebenisonoindipendenti.
Inriferimentoall’Equazione(A1-),lacuirappresentazionegraficaènotacomecurvadiEngel,3sipuò
calcolare il coefficiente di elasticità della domanda
delbenei rispettoal reddito procapitedegliacquirenti
(eQi,Ya)attraversolarelazione
eQiYa 5
5
Pi
B
PA
DD
dQi Ya DQi Ya
# >
# 5
dYa Qi DYa Qi
variazione , di Qi
variazione , di Ya
0
(A4)
A
QA
C
Qi
Figura 4A.1
Ancheilcoefficientedielasticitàdomanda-redditopuò
averesegnopositivoonegativoeilsuocampodirelazioneeconomicamentesignificativoè2` , eQi,Ya , `.
SeeQi,Ya . 0,ilbenei èdettonormale;seeQi,Ya , 0,il
beneèdettoinferioreopovero.Ibeninormalisonopoi
distinguibiliinbeninecessariobenidiprimanecessità
seeQi,Ya , 1ebenidilussoosuperioriseeQi,Ya . 1.
OsservandolaFigura4A.1,èinfattiagevolerendersi
contoche
Rappresentazioni grafiche dei coefficienti
di elasticità della domanda
Interpretatocomerapportotraduependenze(angoli)
orapportotraduesegmenti,risultaevidentecheilcoefficiente eQi,Pi misura l’elasticità domanda-prezzo in
unpunto–nelpuntoA dellaFigura4A.1–dellacurva
di domanda e varia normalmente da punto a punto.
Inoltre,larappresentazioneemisurazionedelcoefficientedielasticitàdirettadomanda-prezzocomerapportotrasegmentinesemplificaladefinizionegrafica.
Siconsideri,peresempio,lacurvadidomandalinearerappresentatanellaFigura4A.2.
Nel punto A, )eQi,Pi) 5 6>2 5 3; nel punto M,
)eQi,Pi) 5 4>4 5 1ecosìvia.Ivaloridi)eQi,Pi) alvariare
delpuntoconsideratosullaDD sonorappresentatinel
grafico (b) della Figura 4A.2, la quale dimostra che
nonviècoincidenzatrapendenzadiunacurvadidomandaedelasticitàdomanda-prezzo.LaDD hapendenzacostanteeparia–1(inquestocaso)e,purtuttavia,ilvaloredieQi,Pi cambiadapuntoapunto.
RicordandoilcriteriodicalcolodieQi,Pi –nelpuntoA diunacurvadidomandacomenellaFigura4A.1
–comerapportotraisegmenti0PA>PAB,èsemplice
verificare la non corrispondenza tra pendenza della
domanda ed elasticità domanda-prezzo attraverso
l’esempiodellaFigura4A.3.
LecurveDD eD0D0sonoretteparalleleehanno
lastessapendenza.Tuttavia,neipuntiA eA0 ilvalore
di)eQi,Pi) èdiverso:piùprecisamente,
Puòessereutileancheaunostudentechedebbaacquisireifondamentidell’analisieconomicacomprendereesaperrappresentaregraficamenteicoefficienti
dielasticitàdelladomandaprimadefinitieutilizzati
nelmanuale.
La relazione che consente di calcolare il coefficientedielasticitàdirettadomanda-prezzo(eQi,Pi)può
esserescrittanelmodoseguente:
eQi,Pi 5
5
dQi Pi
# 5 Pi>Qi > Pi>Qi 5
dPi Qi
dPi>dQi DPi>DQi
pendenza di 0A
pendenza di DD 1in A2
(A5)
Cosìriformulata,l’Equazione(A3)puòesserefacilmente rappresentata facendo riferimento alla curva
didomanda.
3
Lacurvacherappresentalarelazionetraquantitàdomandata(consumata)diunbeneeredditoprocapitedegliacquirentièdettacurvadiEngelinonoredell’economistae
statisticotedescoErnstEngel(1821-1896)chefutraiprimi
adanalizzarlaempiricamente.
Pi>Qi 5 0PA>0QA
dPi>dQi > DPi>DQi > 0B>0C 5 PAB>PAA 5 PAB>0QA
Quindi
eQi,Pi 5
Pi>Qi
0PA
0PA 0QA
#
5
5
dPi>dQi
0QA PAB
PAB
)eQi,Pi (A)) , )eQi,Pi (A0))
Appendice A4
I coefficienti di elasticità della domanda: un’esposizione algebrico-grafica
d
(b)
(a)
Pi
punti
di DD
valore
assoluto
di eQi,Pi
P1
A
M
B
Q1
`
3
1
1/3
0
8 P1
A
6
@ eQi,Pi @
3
M
4
73
2
DD
B
2
1
1/3
Q1
0
2
4
6
8
0
Qi
2
4
6
8
Q1
Figura 4A.2
Ya
Pi
EE
P1
P2
A''
PA
A
A'
A
YA
D'D'
DD
D''D''
Qi
0
0
Figura 4A.3
5
dQi Ya
# 5 YA>Qi > Ya>Qi 5
dYa Qi
dYa>dQi DYa>DQi
pendenza di 0A
pendenza di EE 1in A2
QA
Qi
Figura 4A.4
Per contro, le curve DD e D9D9 hanno diversa pendenza,maneipuntiA eA9ilvaloredi)eQi,Pi) èidentico
perentrambe.
Ancheilcoefficientedielasticitàdomanda-reddito
è più agevolmente rappresentabile in termini grafici
seespressonellaforma
eQi,Ya 5
B
In riferimento alla Figura 4A.4, si può infatti dedurre che
Ya
0YA
5 pendenza di 0A 5
Qi
0QA
dYa
0YA
5 pendenza di EE inA 5
dQi
BQA
Quindi,ilcoefficienteeQi,Ya nelpuntoA ègraficamente
espressoda
(A6)
Cosìriformulata,l’Equazione(A4)puòessererappresentata in riferimento alla curva di Engel (EE) che
collegalaquantitàdomandatadii alredditoprocapite
degliacquirenti.
eQi,Ya 5
0YA BQA
BQA
#
5
0QA 0YA
0QA
Èquindiagevolevalutaregraficamenteilvaloreedefinire l’andamento del coefficiente di elasticità domanda-reddito lungo una curva di Engel. Nel punto
74
Parte 2
d
La microeconomia positiva
(a)
(b)
Ya
Ya
E'E'
EE
E''E''
EE
E'E'
YA
0
A
QA
YA
A'
QA'
Qi
0
A
QA
Qi
Figura 4A.5
A,eQi,Ya , 1e,nelcasorappresentato,continuaadiminuirealcrescerediYa.
Risultaaltresìevidenteche,selacurvadiEngelè
lineare,lavalutazionedell’elasticitàdomanda-reddito
èancorapiùsemplice.NellaFigura4A.5(a),l’elasticità domanda-reddito è – in ogni punto e, quindi, a
ognilivellodireddito–ugualea1.Nelcaso(b)della
Figura 4A.5, l’elasticità domanda-reddito varia da
puntoapuntolungolacurvadiEngel:nelpuntoA –
quindialredditoYA –lacurvaEE haun’elasticità.1,
lacurvaE9E9 haun’elasticità,1elacurvaE0E0 ha
un’elasticitànegativa.
Appendice A4
d
I coefficienti di elasticità della domanda: un’esposizione algebrico-grafica
Approfondimento 4A.1 Il calcolo e la rappresentazione del coefficiente
di elasticità dell’offerta
Il coefficiente di elasticità dell’offerta rispetto al
prezzo misura la reattività della quantità offerta da
un’impresa o da un settore a variazioni del prezzo
del loro prodotto.
Il coefficiente di elasticità dell’offerta del prodotto
rispetto al prezzo si calcola attraverso la relazione
eQs,P 5
dQs P
# > variazione , di Qs
dP Q
variazione , di P
(A7)
Data la relazione normalmente diretta o positiva tra
quantità offerta e prezzo dei beni o servizi, il coefficiente di elasticità dell’offerta al prezzo è normalmen-
te positivo e può variare da zero a infinito. Se il coefficiente è maggiore di uno, l’offerta è elastica. Se è
minore di uno, l’offerta è inelastica o rigida al prezzo.
Se è pari a zero, l’offerta è anelastica o assolutamente
rigida al prezzo.
Di solito, il coefficiente di elasticità dell’offerta rispetto al prezzo varia da punto a punto della curva
di offerta. Graficamente (si veda la Figura 4A.6), il valore del coefficiente di elasticità dell’offerta in un
punto A della curva di offerta SS è dato dal rapporto
tra il prezzo (0P ) corrispondente al punto e il segmento (BP ) determinato dall’intercetta verticale della
retta tangente alla curva di offerta nel punto considerato, ovvero
P
eQs,P = 0P/BP
SS
A
P
0
Q
H
B
Figura 4A.6 Coefficiente di elasticità
dell’offerta in un punto A della curva di offerta.
(a)
P
(b)
P
SS
Tratto
rigido
PA
B
(c)
P
SS
SS
S''S''
S'''S'''
S'S'
Tratto
elastico
0
Ciò considerato, è agevole valutare l’elasticità dell’offerta al prezzo deducendola dalla forma grafica
della curva di offerta. Nella Figura 4A.7 sono rappresentate alcune tipiche curve di offerta, con definita
elasticità al prezzo.
La curva di offerta nella Figura 4A.7 (a) ha elasticità variabile da punto a punto ma è scindibile in un
tratto elastico,– inferiore al punto A in cui eQs,P = 1,
e in un tratto inelastico. Le curve di offerta nella Figura
4A.7 (b) sono isoelastiche: la SS ha elasticità nulla, la
S 9S 9 ha elasticità infinita e le S 0S 0 e S -S - hanno entrambe elasticità unitaria. Le tre curve di offerta della
Figura 4A.7 (c), pur essendo parallele, hanno diversa
elasticità al prezzo: la SS è elastica, la S 0S 0 è rigida
e la S 9S 9 ha elasticità unitaria.
S' S'
B
A
QA
Q
B
0
Q
B
S''S''
0
–B
Figura 4A.7
Rappresentazione di alcune tipiche curve di offerta con determinate elasticità al prezzo.
Q
75