COORDINATE POLARI y π¦π 2 1 = sin π = = 2 π 2 P P2 yP=1 O π xP=1 π P1 π= π π= 4 12 + 12 = 2 x π ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono: π = ππ π = ππππ π₯ποΏ½π Nellβesempio: π, π = π 2, 4 COORDINATE POLARI β’ Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: π₯ = π cos π π¦ = π sin π β’ Da cui segue che: π₯ cos π = π π¦ sin π = π β’ si osservi che: π = π₯2 + π¦2 2 NUMERI REALI β’ Lβinsieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. β’ Tutti i numeri reali sono somma ( differenza / prodotto / quoziente) di due numeri reali? β’ La relazione è biunivoca? 3 NUMERI COMPLESSI β’ Sia π₯ β π₯ = β1 β’ x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. β’ Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a β 1: π 2 = β1 π = β1 4 NUMERI COMPLESSI β’ Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: π§ = π + ππ β’ Si compone di una parte reale ed una immaginaria β’ Lβinsieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione. 5 GLI INSIEMI NUMERICI β’ Sussiste una precisa relazione di inclusione: βββ€ββββββ 6 NUMERI COMPLESSI β’ Siano dati due numeri complessi π§ = π + ππ π£ = π + ππ β’ SOMMA: π§ + π£ = π + ππ + π + ππ = π + π + π + π π β’ DIFFERENZA: π§ β π£ = π + ππ β π + ππ = π β π + π β π π β’ PRODOTTO: π§ β π£ = π + ππ β π + ππ = π β π + π β ππ + π β ππ β π β π 7 NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso π£Μ , il numero: π£Μ = π β ππ β’ La somma e la differenza tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato π£Μ sono date rispettivamente da: π£ + π£Μ = π + ππ + π β ππ = 2π + ππ β ππ = 2π π£ β π£Μ = π + ππ β π β ππ = π β π + 2ππ = 2ππ 8 NUMERI COMPLESSI Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato π£Μ è dato da: π£ β π£Μ = π + ππ β π β ππ = π 2 + π 2 β’ La radice quadrata del prodotto di v e del suo coniugato è detto modulo di v π£ = π 2 + π 2 = π£ β π£Μ β’ Si noti che il modulo di v è un numero reale non negativo 9 NUMERI COMPLESSI β’ QUOZIENTE: π + ππ π β ππ π§ ÷ π£ = π + ππ ÷ π + ππ = β = π + ππ π + ππ πβ πβπβ π πβ π+πβ π = + β π = 2 2 2 2 π +π π +π πβ πβπβ π πβ π+πβ π = + β π 2 2 π£ π£ 10 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI β’ Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dellβunità immaginaria. y P2 P Ο yP = b O Ο xP = a P1 x 11 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI β’ Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha: z = a + b β i = Ο cosΟ + Ο sin Ο β i = Ο (cosΟ + sin Ο β i ) y P2 P Ο yP = b O Ο xP = a P1 x 12 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Dato il numero complesso z: z = a + b β i = Ο cosΟ + Ο sin Ο β i = Ο (cosΟ + sin Ο β i ) e il numero complesso v : v = c + d β i = Ο cos Ο + Ο sin Ο β i = Ο (cos Ο + sin Ο β i ) Il prodotto tra z e v è: z β v = Ο (cos Ο + sin Ο β i ) β Ο (cos Ο + sin Ο β i ) = = ΟΟ β [(cos Ο β cos Ο β sin Ο β sin Ο ) + i (sin Ο cos Ο + cos Ο sin Ο )] = = ΟΟ β [cos(Ο + Ο ) + i sin(Ο + Ο )] (regole di addizione di seno e coseno) 13 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI β’ In particolare se π§ = π£ si ottiene: π§ 2 = π2 β [cos 2π + π β sin 2π] e in generale: π§ π = ππ β [cos ππ + π β sin ππ] detta Formula di De Moivre. 14