COORDINATE POLARI
y
𝑦𝑝
2
1
= sin πœ— =
=
2
𝜌
2
P
P2
yP=1
O
𝜌
xP=1
πœ—
P1
𝜌=
πœ‹
πœ—=
4
12 + 12 = 2
x
𝑃 ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
𝜌 = 𝑂𝑂 πœ— = π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž π‘₯𝑂�𝑃
Nell’esempio: 𝜌, πœ— =
πœ‹
2,
4
COORDINATE POLARI
β€’ Esiste la seguente relazione tra le coordinate
polari e cartesiane di un punto:
π‘₯ = 𝜌 cos πœ—
𝑦 = 𝜌 sin πœ—
β€’ Da cui segue che:
π‘₯
cos πœ— =
𝜌
𝑦
sin πœ— =
𝜌
β€’ si osservi che: 𝜌 =
π‘₯2 + 𝑦2
2
NUMERI REALI
β€’ L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto
alle operazioni algebriche di +, -, *, :
Questo significa che la somma (la
differenza, il prodotto e il quoziente) di 2
numeri reali è un numero reale.
β€’ Tutti i numeri reali sono somma ( differenza
/ prodotto / quoziente) di due numeri reali?
β€’ La relazione è biunivoca?
3
NUMERI COMPLESSI
β€’ Sia π‘₯ β‹… π‘₯ = βˆ’1
β€’ x non può essere un numero reale perché il
quadrato di un numero reale non può essere
uguale ad un numero reale negativo.
β€’ Si definisce unità immaginaria il numero
i il cui quadrato è uguale a – 1:
𝑖 2 = βˆ’1
𝑖 = βˆ’1
4
NUMERI COMPLESSI
β€’ Un numero non reale (complesso) z può
essere scritto nel seguente modo:
𝑧 = π‘Ž + 𝑏𝑏
β€’ Si compone di una parte reale ed una
immaginaria
β€’ L’insieme dei numeri complessi viene
indicato con C e risulta chiuso rispetto alle
operazioni algebriche di somma, differenza,
prodotto e divisione.
5
GLI INSIEMI NUMERICI
β€’ Sussiste una precisa relazione di inclusione:
β„•βŠ‚β„€βŠ‚β„šβŠ‚β„βŠ‚β„‚
6
NUMERI COMPLESSI
β€’
Siano dati due numeri complessi
𝑧 = π‘Ž + 𝑏𝑏
𝑣 = 𝑐 + 𝑑𝑑
β€’ SOMMA:
𝑧 + 𝑣 = π‘Ž + 𝑏𝑏 + 𝑐 + 𝑑𝑑 = π‘Ž + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
β€’ DIFFERENZA:
𝑧 βˆ’ 𝑣 = π‘Ž + 𝑏𝑏 βˆ’ 𝑐 + 𝑑𝑑 = π‘Ž βˆ’ 𝑐 + 𝑏 βˆ’ 𝑑 𝑖
β€’ PRODOTTO:
𝑧 β‹… 𝑣 = π‘Ž + 𝑏𝑏 β‹… 𝑐 + 𝑑𝑑 = π‘Ž β‹… 𝑐 + π‘Ž β‹… 𝑑𝑑 + 𝑏 β‹… 𝑐𝑐 βˆ’ 𝑏 β‹… 𝑑
7
NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato
del numero complesso 𝑣̅ , il numero:
𝑣̅ = 𝑐 βˆ’ 𝑑𝑑
β€’ La somma e la differenza tra il numero
complesso v e il suo complesso coniugato
𝑣̅ sono date rispettivamente da:
𝑣 + 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑐 βˆ’ 𝑑𝑑 = 2𝑐 + 𝑑𝑑 βˆ’ 𝑑𝑑 = 2𝑐
𝑣 βˆ’ 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 βˆ’ 𝑐 βˆ’ 𝑑𝑑 = 𝑐 βˆ’ 𝑐 + 2𝑑𝑑 = 2𝑑𝑑
8
NUMERI COMPLESSI
Il prodotto tra il numero complesso v e il suo
complesso coniugato
𝑣̅ è dato da:
𝑣 β‹… 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 β‹… 𝑐 βˆ’ 𝑑𝑑 = 𝑐 2 + 𝑑 2
β€’ La radice quadrata del prodotto di v e del suo
coniugato è detto modulo di v
𝑣 =
𝑐 2 + 𝑑 2 = 𝑣 β‹… 𝑣̅
β€’ Si noti che il modulo di v è un numero reale non
negativo
9
NUMERI COMPLESSI
β€’
QUOZIENTE:
π‘Ž + 𝑏𝑏 𝑐 βˆ’ 𝑑𝑑
𝑧 ÷ 𝑣 = π‘Ž + 𝑏𝑏 ÷ 𝑐 + 𝑑𝑑 =
β‹…
=
𝑐 + 𝑑𝑑 𝑐 + 𝑑𝑑
π‘β‹…π‘βˆ’π‘Žβ‹…π‘‘
π‘Žβ‹…π‘+𝑏⋅𝑑
=
+
⋅𝑖 =
2
2
2
2
𝑐 +𝑑
𝑐 +𝑑
π‘β‹…π‘βˆ’π‘Žβ‹…π‘‘
π‘Žβ‹…π‘+𝑏⋅𝑑
=
+
⋅𝑖
2
2
𝑣
𝑣
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
β€’ Un numero complesso può essere rappresentato
geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha
come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente
reale dell’unità immaginaria.
y
P2
P
ρ
yP = b
O
Ο‘
xP = a P1
x
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
β€’ Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
z = a + b β‹… i = ρ cosΟ‘ + ρ sin Ο‘ β‹… i = ρ (cosΟ‘ + sin Ο‘ β‹… i )
y
P2
P
ρ
yP = b
O
Ο‘
xP = a P1
x
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
Dato il numero complesso z:
z = a + b β‹… i = ρ cosΟ‘ + ρ sin Ο‘ β‹… i = ρ (cosΟ‘ + sin Ο‘ β‹… i )
e il numero complesso v :
v = c + d β‹… i = Οƒ cos Ο‰ + Οƒ sin Ο‰ β‹… i = Οƒ (cos Ο‰ + sin Ο‰ β‹… i )
Il prodotto tra z e v è:
z β‹… v = ρ (cos Ο‘ + sin Ο‘ β‹… i ) β‹… Οƒ (cos Ο‰ + sin Ο‰ β‹… i ) =
= ρσ β‹… [(cos Ο‘ β‹… cos Ο‰ βˆ’ sin Ο‘ β‹… sin Ο‰ ) + i (sin Ο‘ cos Ο‰ + cos Ο‘ sin Ο‰ )] =
= ρσ β‹… [cos(Ο‘ + Ο‰ ) + i sin(Ο‘ + Ο‰ )] (regole di addizione di seno e coseno)
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
β€’ In particolare se 𝑧 = 𝑣 si ottiene:
𝑧 2 = 𝜌2 β‹… [cos 2πœ— + 𝑖 β‹… sin 2πœ—]
e in generale:
𝑧 𝑛 = πœŒπ‘› β‹… [cos π‘›πœ— + 𝑖 β‹… sin π‘›πœ—]
detta Formula di De Moivre.
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Lezione 5 - Numeri complessi e coordinate polari