NUMERI
COMPLESSI
E
DINTORNI
NUMERI REALI
• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto
alle operazioni algebriche di +, -, *, :
Questo significa che la somma, la differenza, il
prodotto e il quoziente di 2 numeri reali è un
numero reale.
Non vale il viceversa!
2
NUMERI COMPLESSI
• Sia x  x  1 , x non può essere un numero
reale perché il quadrato di un numero reale
non può essere uguale ad un numero reale
negativo.
• Si definisce unità immaginaria il numero i il
cui quadrato è uguale a – 1:
i  1
2
3
NUMERI COMPLESSI
• Un numero non reale (complesso) z può
essere scritto nel seguente modo:
z  a  bi
• L’insieme dei numeri complessi viene indicato
con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni
algebriche di somma, differenza, prodotto e
divisione.
4
•
NUMERI COMPLESSI
Siano dati due numeri complessi
v  c  di
z  a  bi
• SOMMA:
z  v  (a  b i )  (c  d i )  (a  c)  (b  d ) i
• DIFFERENZA:
z  v  (a  b i )  (c  d i )  (a  c)  (b  d ) i
• PRODOTTO:
z  v  ( a  b i )  (c  d i )  a  c  a  d  i  b  c  i  b  d  i 2 
 (a  c  b  d )  (a  d  b  c)  i
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NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato
del numero complesso v, il numero:
v  c  di
• Il prodotto tra il numero complesso v e il
suo complesso coniugato v è dato dal
numero reale (chiamato modulo di v):
v  v  (c  di)  (c  di)  c 2  d 2  v
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NUMERI COMPLESSI
•
QUOZIENTE:
a  bi c  d i
z  v  ( a  b i )  (c  d i ) 


cdi cdi
a c  bd bc  ad
 2
 2
i 
2
2
c d
c d
a c  bd bc  ad


i
v
v
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COORDINATE POLARI
• P ha
coordinate
cartesiane
(1,
1)
y
P2
yP  1
P
 2

4
x P  1 P1

O
x
Le coordinate polari di P sono:
  asse x Oˆ P
  OP
Nell’esempio:

 ,    ( 2 , )
4
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COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le
coordinate polari e cartesiane di un punto:
x   cos
y   sin 
• si osservi che:
 x2y
2
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COORDINATE POLARI E NUMERI
COMPLESSI
• Un numero complesso può essere
rappresentato geometricamente dal punto,
nel piano cartesiano, che ha come ascissa la
parte reale e come ordinata il coefficiente
reale dell’unità immaginaria.
y
P2
P

yP  b
O

xP  a
P1
x
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COORDINATE POLARI E NUMERI
COMPLESSI
• Usando il legame tra coordinate cartesiane e
polari si ha:
z  a  b  i   cos   sin   i   (cos  sin   i)
y
P2
yP  b
O
P


xP  a
P1
x
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RICORDI DI TRIGONOMETRIA
• Formule di somma e sottrazione:
sin      sin   cos   cos   sin 
sin      sin   cos   cos   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
COORDINATE POLARI E NUMERI
COMPLESSI
• Dato il numero complesso z:
z  a  b  i   cos   sin   i   (cos  sin   i)
e il numero complesso v :
v  c  d  i   cos    sin   i   (cos   sin   i )
Il prodotto tra z e v è:
z  v   (cos  sin   i )   (cos  sin   i ) 
   cos  cos  sin   sin    isin  cos  cos sin   
   cos(   )  i sin(   )
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COORDINATE POLARI E NUMERI
COMPLESSI
• In particolare se z=v si ottiene:
z 2   2  cos 2  i sin 2 
e in generale:
z n   n  cos n  i sin n 
Sono util le Formule di De Moivre:
eit  cost  i sin t
e it  cost  i sin t
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