8.10
Alcuni cambi di coordinate notevoli
Ricordiamo che per cambiamento di coordinate su una regione A Rn si intende una funzione
! : E $ A definita su un’altra regione E Rn e tale che
• ! è biiettiva tra E ed A;
• ! 5 C 1 (E );
• det J! (u1 , ..., un ) 9= 0 per ogni (u1 , ..., un ) 5 E .
Essendo un campo vettoriale, la funzione (x1 , ..., xn ) = ! (u1 , ..., un ) si rappresenta mediante n equazioni
;
A
x = !1 (u1 , ..., un )
A
? 1
..
!: .
A
A
=
xn = !n (u1 , ..., un )
(equazioni del cambiamento
di coordinate)
(8.8)
che legano le coordinate (u1 , ..., un ) 5 E alle coordinate (x1 , ..., xn ) 5 A di uno stesso punto P .
Ricordiamo inoltre come si trasforma un integrale multiplo sotto l’azione di un cambiamento di
coordinate: se ! : E $ A è un cambiamento di coordinate tra due regioni quadrabili ed f : A $ R è
limitata e continua, allora
]
]
f (x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn =
f (! (u1 , ..., un )) |det J! (u1 , ..., un )| du1 ...dun .
A
(8.9)
E
Notiamo esplicitamente che, stanti le (8.8), si ha f (! (u1 , ..., un )) = f (!1 (u1 , ..., un ) , ..., !n (u1 , ..., un )).
Nel seguito presentiamo alcuni cambi di coordinate standard, tramite i quali la formula (8.9) consente
spesso di ricondurre il calcolo di un integrale multiplo a quello di un integrale che risulta più semplice, per
espressione della funzione integranda o per forma del dominio di integrazione (Sezione 8.11). Fissando
una o più coordinate, le equazioni di tali cambi forniscono anche alcune rappresentazioni parametriche
di curve o superfici.
Coordinate polari centrate in (x0 , y0 )
8.10.1
Siano (x0 , y0 ) 5 R2 e 0 5 R qualsiasi. La funzione ! : E $ A definita da
+
!:
x = x0 + cos y = y0 + sin ,
(, ) 5 E = (0, +4) × [0 , 0 + 2) ,
(x, y) 5 A = R2 \ {(x0 , y0 )}
è un cambiamento di coordinate con
cos sin det J! (, ) = = > 0,
sin cos 121
; (, ) 5 E.
La funzione ! lega tra loro le coordinate cartesiane (x, y) di un qualunque punto P del piano cartesiano
privato del punto P0 = (x0 , y0 ) e le coordinate polari (, ) dello stesso punto P , le quali hanno il
significato geometrico espresso in figura.
Notiamo esplicitamente che
• è la distanza euclidea tra P e P0 , ossia = d (P, P0 ) =
t
(x x0 )2 + (y y0 )2 ;
• è la misura in radianti dell’angolo orientato (positivo se spazzato in senso antiorario, negativo
altrimenti) di cui deve ruotare la semiretta y = y0 , x x0 per sovrapporsi alla semiretta P0 P .
Osservazione 102 Ragionando sul significato geometrico appena illustrato, si intuisce facilmente che
il passaggio a coordinate polari trasforma cerchi, corone circolari e loro settori in rettangoli (v. esercizi
in Sezione 8.11).
Fissando una variabile nelle equazioni del passaggio a coordinate polari, si ottengono parametrizzazioni di circonferenze o rette o parti di esse. Più precisamente:
• fissando = 0 > 0, si ottengono le equazioni
+
x = x0 + 0 cos y = y0 + 0 sin ,
parametro,
che parametrizzano la circonferenza di centro P0 = (x0 , y0 ) e raggio 0 (tutta o in parte, a seconda
dell’intevallo di variabilità di );
• fissando = 0 5 R, si ottengono le equazioni
+
x = x0 + cos 0
y = y0 + sin 0
,
parametro,
che parametrizzano la retta passante per P0 = (x0 , y0 ) e parallela al vettore u = (cos 0 , sin 0 )
(tutta o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di ).
122
Coordinate ellittiche centrate in (x0 , y0 )
8.10.2
Siano (x0 , y0 ) 5 R2 , 0 5 R e a, b > 0 qualsiasi. La funzione ! : E $ A definita da
+
!:
x = x0 + a t cos y = y0 + b t sin ,
(x, y) 5 A = R2 \ {(x0 , y0 )}
(t, ) 5 E = (0, +4) × [0 , 0 + 2) ,
è un cambiamento di coordinate con
a cos at sin det J! (t, ) = = abt > 0,
b sin bt cos ; (t, ) 5 E.
La funzione ! lega tra loro le coordinate cartesiane (x, y) di un qualunque punto P del piano cartesiano
privato del punto P0 = (x0 , y0 ) e le coordinate ellittiche (t, ) dello stesso punto P , le quali dipendono
dai parametri a e b fissati ed hanno il significato geometrico (non immediato) espresso in figura.
Notiamo esplicitamente che
v
• t è una “distanza ellittica” (di parametri a e b) tra P e P0 , ossia t =
• considerate l’ellisse
E:
(x x0 )2 (y y0 )2
+
;
a2
b2
(x x0 )2 (y y0 )2
+
= t2
a2
b2
(che passa per P ed ha centro in P0 e semiassi at e bt) e la circonferenza C di centro P0 ed inscritta
in E (la quale ha raggio pari al semiasse minore di E), è l’angolo delle coordinate polari centrate
in P0 del punto P 3 ottenuto proiettando P su C parallelamente al semiasse maggiore di E.
Osservazione 103 In base al significato geometrico appena illustrato, è facile intuire che il passaggio
a coordinate ellittiche muta ellissi e settori ellittici in rettangoli (v. esercizi in Sezione 8.11).
Fissando una variabile nelle equazioni del passaggio a coordinate ellittiche, si ottengono parametrizzazioni di ellissi o rette o parti di esse. Più precisamente:
123
• fissando t = t0 > 0, si ottengono le equazioni
+
x = x0 + a t0 cos y = y0 + b t0 sin ,
parametro,
che parametrizzano l’ellisse di centro P0 = (x0 , y0 ) e semiassi at0 e bt0 , cioè di equazione
x2 y 2
+ 2 = t20
a2
b
(tutta o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di );
• fissando = 0 5 R, si ottengono le equazioni
+
x = x0 + a t cos 0
y = y0 + b t sin 0
,
t parametro,
che parametrizzano la retta passante per P0 = (x0 , y0 ) e parallela al vettore u = (a cos 0 , b sin 0 )
(tutta o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di t).
8.10.3
Coordinate cilindriche di centro (x0 , y0 , z0 ) e asse parallello all’asse z
Siano (x0 , y0 , z0 ) 5 R3 e 0 5 R qualsiasi. La funzione ! : E $ A definita da
;
A
A
? x = x0 + r cos ! : y = y0 + r sin ,
A
A
=z = z +h
0
(r, , h) 5 E = (0, +4) × [0 , 0 + 2) × R,
(x, y, z) 5 A = R3 \ {x = x0 , y = y0 , }
è un cambiamento di coordinate con
cos r sin 0 det J! (r, , h) = sin r cos 0 = r > 0,
0
0
1
; (r, , h) 5 E.
La funzione ! lega tra loro le coordinate cartesiane (x, y, z) di un qualunque punto P dello spazio
cartesiano privato dell’asse x x0 = y y0 = 0 e le coordinate cilindriche (r, , h) dello stesso punto
P , le quali hanno il significato geometrico espresso in figura, dove si è preso (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) per
semplicità.
124
Notiamo esplicitamente che
• h è sostanzialmente la quota di P (a meno di una traslazione);
• (r, ) sono le coordinate polari nel piano z = z0 della proiezione ortogonale P 3 di P su tale piano.
Osservazione 104 Grazie al significato geometrico appena illustrato, è facile intuire che il passaggio
aIl passaggio a coordinate cilindriche trasforma cilindri, gusci cilindrici e loro settori in parallelepipedi
(su cui è facile integrare).
Fissando una o più variabili nelle equazioni del passaggio a coordinate cilindriche, si ottengono
parametrizzazioni di superfici o curve in R3 . Ad esempio:
• fissando r = r0 > 0, si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + r0 cos y = y0 + r0 sin ,
A
A
=z = z +h
, h parametri,
0
che parametrizzano il cilindro rotondo di asse x x0 = y y0 = 0 e raggio r0 (tutto o in parte, a
seconda dell’intevallo di variabilità di e h);
• fissando r = r0 > 0 ed h = h0 5 R, si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + r0 cos y = y0 + r0 sin ,
A
A
=z = z +h
0
parametro,
0
che parametrizzano la circonferenza del piano z = z0 + h0 di centro (x0 , y0 , z0 + h0 ) e raggio r0
(tutta o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di ).
125
8.10.4
Coordinate sferiche di centro (x0 , y0 , z0 ) e asse parallello all’asse z
Siano (x0 , y0 , z0 ) 5 R3 e 0 5 R qualsiasi. La funzione ! : E $ A definita da
;
A
A
? x = x0 + sin * cos ! : y = y0 + sin * sin ,
A
A
= z = z + cos *
0
(, , *) 5 E = (0, +4) × [0 , 0 + 2) × (0, ) ,
(x, y, z) 5 A = R3 \ {x = x0 , y = y0 , }
è un cambiamento di coordinate con
sin * cos sin * sin cos * cos det J! (, , *) = sin * sin sin * cos cos * sin = 2 sin * > 0,
cos *
0
sin * ; (, , *) 5 E.
La funzione ! lega tra loro le coordinate cartesiane (x, y, z) di un qualunque punto P dello spazio
cartesiano privato dell’asse x x0 = y y0 = 0 e le coordinate sferiche (, , *) dello stesso punto P ,
le quali sono dette rispettivamente raggio, longitudine, colatitudine ed hanno il significato geometrico
espresso in figura, dove si è preso (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) per semplicità.
Notiamo esplicitamente che
• è la distanza euclidea tra P e P0 , ossia = d (P, P0 ) =
t
2
2
2
(x x0 ) + (y y0 ) + (z z0 ) ;
• è l’angolo delle coordinate polari nel piano z = z0 della proiezione ortogonale P 3 di P su tale
piano;
$
• * è l’angolo tra il versore k dell’asse z ed il vettore P0 P .
Osserviamo che, per le ben note relazioni tra lati e angoli di un triangolo rettangolo, il raggio r delle
coordinate polari nel piano z = z0 della proiezione ortogonale P 3 di P su tale piano e la distanza d (P, P 3 )
di P dallo stesso piano sono dati da r = sin * e d (P, P 3 ) = cos *.
Osservazione 105 Ragionando sul significato geometrico appena illustrato, non è di!cile intuire che
il passaggio a coordinate sferiche trasforma sfere, gusci sferici e loro settori in parallelepipedi (v. esercizi
in Sezione 8.11).
126
Fissando una o più variabili nelle equazioni del passaggio a coordinate sferiche, si ottengono parametrizzazioni di superfici o curve in R3 . Ad esempio:
• fissando = 0 > 0, si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + 0 sin * cos y = y0 + 0 sin * sin ,
A
A
= z = z + cos *
0
, * parametri,
0
che parametrizzano la sfera di centro P0 = (x0 , y0 , z0 ) e raggio 0 (tutta o in parte, a seconda
dell’intevallo di variabilità di e *);
• fissando * = *0 5 0, 2 , si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + sin *0 cos y = y0 + sin *0 sin ,
A
A
= z = z + cos *
0
, parametri,
0
che parametrizzano il cono rotondo di vertice P0 = (x0 , y0 , z0 ) e apertura *0 (tutto o in parte, a
seconda dell’intevallo di variabilità di e );
• fissando = 0 > 0 e = 0 5 R, si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + 0 sin * cos 0
y = y0 + 0 sin * sin 0 ,
A
A
= z = z + cos *
0
* parametro,
0
che parametrizzano il meridiano staccato dal piano (sin 0 ) (x x0 ) (cos 0 ) (y y0 ) = 0 sulla
sfera di centro P0 = (x0 , y0 , z0 ) e raggio 0 (tutto o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità
di *);
• fissando = 0 > 0 e * = *0 5 (0, ), si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + 0 sin *0 cos y = y0 + 0 sin *0 sin ,
A
A
= z = z + cos *
0
0
parametro,
0
che parametrizzano il parallelo staccato dal piano z = z0 + 0 cos *0 sulla sfera di centro P0 =
(x0 , y0 , z0 ) e raggio 0 (tutto o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di ); polo nord e
polo sud della stessa sfera si ottengono rispettivamente per * = 0 e * = ;
127
• fissando = 0 5 R e * = *0 5 [0, ], si ottengono le equazioni
;
A
A
? x = x0 + sin *0 cos 0
y = y0 + sin *0 sin 0 ,
A
A
= z = z + cos *
0
parametro,
0
che parametrizzano la retta per P0 = (x0 , y0 , z0 ) e parallela ad u = (sin *0 cos 0 , sin *0 sin 0 , cos *0 )
(tutta o in parte, a seconda dell’intevallo di variabilità di ).
128
8.11
Esempi di integrazione tramite cambi di coordinate
ESERCIZIO. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’origine della lamina piana omogenea di densità unitaria rappresentata dall’insieme
A = (x, y) 5 R2 : x2 + y 2 1, x2 + 4y 2 1 .
Svolgimento. Per definizione di momento d’inerzia rispetto all’origine, si tratta di calcolare l’integrale
doppio
]
2
x + y 2 dxdy .
IO =
A
L’insieme A è l’intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
x2 + y 2 1
$
cerchio di centro l’origine e
raggio 1, circonferenza inclusa;
x2 + 4y 2 1
esterno dell’ellisse x2 + 4y 2 = 1,
$
ellisse inclusa.
Si tratta dunque della regione di piano compresa tra l’ellisse x2 + 4y 2 = 1 (di centro l’origine e semiassi
a = 1 e b = 1/2) e la circonferenza x2 + y 2 = 1.
Il calcolo di IO può essere allora eseguito spezzando l’insieme A nei due insiemi y-semplici
q
(x, y) : x 5 [1, 1] ,
s
1x2
2
y
r
q
r
s
s
s
2
1 x2
e (x, y) : x 5 [1, 1] , 1 x2 y 1x
2
e riducendo l’integrale su ciasuno a due integrazioni semplici successive, oppure passando a coordinate
polari ed ellittiche; seguiamo questa seconda via, che risulta molto più agevole.
Introdotti gli insiemi
(cerchio chiuso)
A1 = (x, y) 5 R2 : x2 + y 2 1
A2 = (x, y) 5 R2 : x2 + 4y 2 < 1 (interno dell’ellisse),
risulta ovviamente A1 = A2 ^ A, da cui segue (essendo |A2 _ A| = 0)
]
2
x + y 2 dxdy =
A
]
2
x + y 2 dxdy ]
A1
A2
Si tratta dunque di calcolare i due integrali a secondo membro.
Passando a coordinate polari
+
!:
x = cos y = sin 129
2
x + y 2 dxdy .
si ha
• x2 + y 2 = 2 cos2 + 2 sin2 = 2 cos2 + sin2 = 2 ;
• dxdy = |det J! (, )| dd = dd;
• A1 \{(0, 0)} = ! (E1 ) con E1 = (0, 1]×[0, 2); si noti che ciò può essere dedotto sia geometricamente,
tramite la rappresentazione grafica di A1 ed il significato geometrico delle coordinate polari, sia
algebricamente, tramite la definizione di A1 e le equazioni del cambio di coordinate:
;
? (x, y) 5 R2 \ {(0, 0)}
= x2 + y 2 1
;
? > 0, 0 < 2
/
/
= 2 cos2 + 2 sin2 1
;
? > 0, 0 < 2
= 2 1
/
;
?0 < 1
= 0 < 2.
Dunque si ottiene2
]
2
x +y
2
]
]
dd =
dxdy =
A1
]
2
3
4 1
d = 2
= .
4 0
2
3
d
0
[0,1]×[0,2]
1
0
Tramite coordinate ellittiche di parametri a = 1 e b = 1/2 (suggeriti dall’equazione dell’ellisse che
delimita A2 )
+
!:
x = t cos y = 12 t sin si ha
• x2 + y 2 = t2 cos2 + 14 t2 sin2 = t2 cos2 +
1
4
sin2 ;
• dxdy = |det J! (t, )| dtd = 12 t dtd;
• A2 \ {(0, 0)} = ! (E2 ) con E2 = (0, 1) × [0, 2); si noti che ciò può essere dedotto sia geometricamente, tramite la rappresentazione grafica di A2 ed il significato geometrico delle coordinate
ellittiche, sia algebricamente, tramite la definizione di A2 e le equazioni del cambio di coordinate:
;
? (x, y) 5 R2 \ {(0, 0)}
= x2 + 4y 2 < 1
/
;
? t > 0, 0 < 2
= t2 cos2 + 4 1 t2 sin2 < 1
4
/
;
? t > 0, 0 < 2
= t2 < 1
/
;
?0 < t < 1
= 0 < 2.
Dunque si ottiene
]
2
x + y 2 dxdy =
A2
2 come
]
t
1
1
1
2
2
2
3
2
t cos + sin t cos + sin dtd
dtd =
4
2
2 [0,1]×[0,2]
4
[0,1]×[0,2]
]
2
d’uso, si sono sottintesi i passaggi che sfruttano l’invarianza dell’integrale per insiemi trascurabili:
]
]
]
]
2
2
x + y 2 dxdy =
x + y2 dxdy =
43 d4dw =
43 d4dw
A1
A1 \{(0,0)}
(0,1]×[0,2Z)
130
[0,1]×[0,2Z]
1
cos2 + sin2 d
4
0
0
4 1 ] 2 ]
1 t
1 2
1 2
3
2
2
=
1 sin + sin d =
1 sin d
2 4 0 0
4
8 0
4
#
2 $
] 2
1
1
1
3
3 sin 2
3
5
2
=
sin d =
=
2 2 2 =
.
8
4 0
8
4 2
4
8
4
32
0
=
1
2
]
1
]
t3 dt
In definitiva risulta
2
]
IO =
2
1
5
11
x + y 2 dxdy = =
.
2
32
32
A
ESERCIZIO. Calcolare l’integrale
]
2
4x + 2y 2 6xy dxdy
con A = (x, y) 5 R2 : 0 y + x 3, 0 y x 2 .
A
Svolgimento. L’insieme A è l’intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
x y 3 x
$
striscia compresa tra le rette y = x
e y = 3 x, rette incluse;
xy 2+x
$
striscia compresa tra le rette y = x
e y = 2 + x, rette incluse.
Si tratta dunque del parallelogramma rappresentato in figura.
Il calcolo dell’integrale può essere eettuato sia per riduzione che per cambiamento di variabili.
Vediamo entrambi i procedimenti, di cui il secondo è notevolmente più comodo.
1 metodo) Per ridurre l’integrale doppio a due integrazioni successive occorre suddividere A in sottoinsiemi
le cui frontiere in ingresso ed uscita possano essere ambedue espresse come grafici di un’unica
funzione. Poiché le intersezioni tra i lati di A
+
+
y = x
y = x
,
,
y=x
y =2+x
+
y =3x
y=x
+
,
y =3x
y =2+x
sono rispettivamente P1 = (0, 0) , P2 = (1, 1) , P3 = (3/2, 3/2) , P4 = (1/2, 5/2), si ha ad esempio
131
A = A1 ^ A2 ^ A3
con
A1 = (x, y) 5 R2 : 1 x 0, x y 2 + x
A2 = (x, y) 5 R2 : 0 < x < 12 , x y 2 + x
A3 = (x, y) 5 R2 :
1
2
x 32 , x y 3 x
e quindi (essendo |Ai ^ Aj | = 0 per i 9= j)
]
3
[
2
4x + 2y 2 6xy dxdy =
A
]
2
4x + 2y 2 6xy dxdy.
Ai
i=1
Calcoliamo separatamente i tre integrali: risulta
]
2
4x + 2y 2 6xy dxdy =
0
]
1
A1
]
]
2+x
2
2
4x + 2y 6xy dy dx
x
y=2+x
] 0
y3
16
28 3
=
dx =
4x2 y + 2 3xy 2
x 4x +
dx
3
3
3
1
1
y=x
x=0
16
7 4
= 5,
x 2x2 + x
=
3
3 x=1
]
2
4x + 2y 2 6xy dxdy =
0
]
1/2
0
A2
]
2+x
2
2
4x + 2y 6xy dy dx
x
y=2+x
] 1/2 y3
16
=
dx =
4x2 y + 2 3xy 2
4x +
dx
3
3
0
0
y=x
x=1/2
16
13
2
=
= 2x + x
3 x=0
6
]
1/2
e
]
2
4x + 2y 2 6xy dxdy =
]
3/2
1/2
A3
]
3/2
=
1/2
132
]
3x
x
2
4x + 2y 2 6xy dy dx
y=3x
y3
dx
4x2 y + 2 3xy 2
3
y=x
28 3
2
=
x + 36x 45x + 18 dx
3
1/2
x=3/2
45 2
7 4
1
3
= .
= x + 13x x + 18x
3
2
3
x=1/2
]
3/2
In definitiva si ottiene
]
2
13 1
15
+ =
.
4x + 2y 2 6xy dxdy = 5 +
6
3
2
A
2 metodo) Dalla definizione dell’insieme A, si vede subito che A si trasforma in un rettangolo (su cui è facile
integrare) tramite il cambiamento di variabili
+
y+x=u
yx=v
;
(8.10)
in tal modo risulta infatti
(x, y) 5 A +, (u, v) 5 [0, 3] × [0, 2] =: E.
Ciò significa A = ! (E) dove (x, y) = !(u, v) è l’inverso del cambiamento di coordinate di equazioni
(8.10), ossia (risolvendo le (8.10) rispetto a u e v)
;
uv
A
?x =
2 .
!:
A
=y = u+v
2
Tramite il cambio !, si ha poi
2
2
uv
u+v
uvu+v
2
2
• 4x + 2y 6xy = 4
+2
6
= 3v 2 uv;
2
2
2
2
• dxdy = |det J! (u, v)| dtd = 12 dudv, essendo
Cx Cx Cu Cv =
det J! (u, v) = Cy Cy Cu Cv
1 1 1
2 2 1 1
= + = .
2
1 1 4 4
2 2
Dunque si ottiene
]
A
]
] ]
1
2
1 2 3 2
3v uv dudv =
3v uv dudv
2
2
0
0
[0,3]×[0,2]
u=3
] 2
] 2
1 2
1
9
1
2
2
dv =
3v u u v
9v v dv
=
2 0
2
2 0
2
u=0
2
4x + 2y 2 6xy dxdy =
133
v=2
1
9 2
15
3
=
=
3v v
.
2
4
2
v=0
ESERCIZIO. Calcolare
+
]
16xy
A
(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2)2
dxdy
s ,
3
(x, y) 5 R : x + y 1, x y 2, 0 y x .
3
2
con A =
2
2
2
2
Svolgimento. L’insieme A è l’intersezione dei tre insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
x2 + y 2 1
$
esterno della circonferenza
x2 + y 2 = 1, frontiera inclusa;
x2 y 2 2
$
regione connessa delimitata
dall’iperbole x2 y 2 = 2,
frontiera inclusa;
0y
s
3
3 x
$
angolo del I quadrante con lati
dati dalle rette y = 0 e y s
3
3 x,
rette incluse.
Come si vede dalla figura, A è semplice rispetto ad entrambi gli assi, ma la riduzione dell’integrale
doppio a due integrazioni successive non è agevole, in quanto le frontiere in ingresso ed uscita di A
non hanno rappresentazione analitica unica. Vista l’espressione dell’integrando (che presenta il binomio
x2 + y 2 = 2 due volte) e vista la forma di A (parte di angolo con vertice nell’origine, delimitata almeno
da un lato da una circonferenza), potrebbe risultare più comodo passare a coordinate polari
+
!:
x = cos y = sin .
Ricaviamo la descrizione di A in coordinate polari sia geometricamente che algebricamente.
• L’angolo che contiene A ha chiaramente ampiezza
superiore è
s
3
3
= tan
6 ).
6
(in quanto il coe!ciente angolare del suo lato
Fissato un qualunque 5 0, 6 , i punti di A con coordinata angolare sono i punti del segmento x = cos , y = sin descritto dal raggio che cresce da = 1 (punto
sulla circonferenza) fino al raggio del punto in cui il segmento incontra l’iperbole x2 y 2 2; tale
intersezione è individuata dalla soluzione > 0 dell’equazione
2 cos2 2 sin2 = 2,
2 cos2 sin2 = 2,
134
2 cos (2) = 2,
t
ossia =
2
cos(2) .
Dunque risulta
+
k l
( cos , sin ) 5 R : 5 0,
,1
6
v
2
A=
,
2
cos (2)
.
(8.11)
• Sostituendo le equazioni del cambio di coordinate nella definizione di A, si ottiene
;
A
(x, y) 5 R2 \ {(0, 0)}
A
A
A
A
A
? x2 + y 2 1
;
;
;
A
A
> 0, 0 < 2
0 < 2
A
A
A
A
A
A
A
0 6
A
A
A
A
A
A
?
? 1
? 2 1
/
/
/
1
A
A
A
2 cos2 sin2 2
A
A
A
2 cos (2) 2
A
A
A
= 2 2
A
A
s
A
A
s
A
A
cos(2)
= 0 tan 3
= 0 sin 3 cos 3
3
;
? 0 6
t
/
2
=1 cos(2)
A
A
x2 y 2 2
A
A
A
s
A
=
0 y 33 x
e perciò si ritrova la rappresentazione (8.11).
q
r
t
2
Dunque A = ! (E) con E = (, ) : 5 0, 6 , 1 cos(2)
e quindi
]
]
16xy
A
(x2
+
y 2 ) (x2
+
y2
2 dxdy
162 cos sin =
+ 2)
2
E
(2
2
+ 2)
]
dd = 8
E
sin (2)
2 dd,
(2 + 2)
dove ad integrando si è operata la sostituzione dxdy = |det J! (, )| dd = dd, come prescritto dal
teorema sul cambiamento di variabili.
Integrando ora per segmenti paralleli all’asse (si noti che E è -semplice), si ottiene
]
sin (2)
E
(2 + 2)2
]
/6
dd =
3
]
C
0
t
2
cos(2)
1
4
sin (2)
(2 + 2)2
]
dD d =
/6
3
]
C
0
t
2
cos(2)
4
(2 + 2)2
1
dD sin (2) d,
dove la sostituzione t = 2 + 2, dt = 2d fornisce
]
]
]
2
1
1
1
1
1
d
=
d
=
dt = + c = +c
2
2
2
2
t2
2t
2 (2 + 2)
(2 + 2)
(2 + 2)
e quindi
]
E
sin (2)
(2 + 2)2
]
/6
dd =
0
=
1
6
]
t
1
2 (2 + 2)
=
/6
sin (2) d =
0
=1
/6
sin (2) d 0
3
]
2
cos(2)
1
4
]
0
/6
1
C1 D sin (2) d
2
6 2
+
2
cos(2)
cos (2)
sin (2) d.
1 + cos (2)
135
4
Calcolando separatamente i due integrali, si ha
]
/6
0
cos (2) 6
1
sin (2) d = =
2
4
0
e
]
/6
0
]
1
1 1/2
u
1
du = du
1+u
2 1
1+u
cos 0
s
1
1
1
3
1
3
1
2
log
+ log 2 = + log
,
= [u log (1 + u)]1 = 2
2
2
2
4
2
1
cos (2)
sin (2) d = 1 + cos (2)
2
]
cos(2/6)
dove si è operata la sostituzione u = cos (2), du = 2 sin (2) d. In definitiva, si conclude
]
16xy
A
]
2 dxdy
(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2)
=8
E
#
sin (2)
41
2 dd = 3 4 2
(2 + 2)
s $
1
1
3
3
+ log
= log .
4
2
6
4
ESERCIZIO. Facendo uso di coordinate cilindriche, calcolare il volume del solido A ottenuto facendo
ruotare attorno all’asse z la figura del piano yz data dall’insieme
C = (y, z) 5 R2 : 1 y 2, 4y 2 z 6y 4 .
Svolgimento. L’insieme C è l’intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
1y2
$
striscia compresa tra le rette verticali
y = 1 e y = 2, rette incluse;
4y 2 z 6y 4
$
regione di piano compresa tra i grafici
z = 4y 2 e z = 6y 4 , grafici inclusi.
Il solido risultante dalla rotazione di C attorno all’asse z si ottiene dalla definizione di C sostituendo
s
x2 + y 2 (distanza dall’asse di rotazione) al posto di y (variabile non relativa all’asse di rotazione)3 ; si
ha quindi
q
s
2 r
A = (x, y, z) 5 R3 : 1 x2 + y 2 2, 4 x2 + y 2 z 6 x2 + y 2
.
3 Precisamente, A è l’insieme delle circonferenze ortogonali all’asse z che passano per un punto di C, cioè l’insieme degli
(x, y, z) M R3 tali che
2
x + y 2 = y02
con (y0 , z0 ) M C.
z = z0
Ciò significa
+
x2 + y2 = y02
z = z0
+
e
136
1 $ y0 $ 2
4y02 $ z0 $ 6y04
Passando a coordinate cilindriche
si ottiene subito, sia ricordando che r =
;
A
A
? x = r cos ! : y = r sin A
A
=z = h
s
x2 + y 2 ed usando la definizione di A, sia ricordando il
significato geometrico delle coordinate cilindriche e ragionando sulla forma di A, la descrizione seguente:
A = (r cos , r sin , h) 5 R3 : 1 r 2, 0 < 2, 4r2 h 6r4 .
In altri termini A = ! (E) con E = (r, , h) : (r, ) 5 [1, 2] × [0, 2) , 4r2 h 6r4 e quindi
]
]
dxdydz =
vol (A) =
r drddh,
A
E
dove ad integrando si è operata la sostituzione dxdydz = |det J! (r, , h)| drddh = r drddh, come
prescritto dal teorema sul cambiamento di variabili.
Integrando ora per fili paralleli all’asse h (si noti che E è h-semplice, a meno di passare alla sua
chiusura), si conclude
#]
]
$
6r 4
#]
]
r dh drd =
vol (A) =
[1,2]×[0,2]
]
4r2
r
]
dh drd
]
2
d
0
[1,2]×[0,2]
$
4r2
[1,2]×[0,2]
r 6r4 4r2 drd =
=
6r4
2
5
6r 4r3 dr
1
2
= 2 r6 r4 1 = 96.
ESERCIZIO. Calcolare l’integrale
]
2
x + y 2 z 2 dxdydz
con A = (x, y, z) 5 R3 : x2 + y 2 z 2 9 x2 y 2 , z 0 .
A
s
s
Svolgimento. Poiché x2 + y 2 z 2 equivale a z x2 + y 2 oppure z x2 + y 2 , risulta
+
x2 + y 2 z 2
z0
+
/
s
s
z x2 + y 2 b z x2 + y 2
z0
/ z
s
x2 + y 2
e pertanto l’insieme A è l’intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
e pertanto, eliminando i parametri y0 =
s
x2 + y 2 e z0 = z dal complesso delle relazioni precedenti, si ottiene
+
s
1 $ x2 + y2 $ 2
2
2
4 x + y2 $ z $ 6 x2 + y2 .
137
x2 + y 2 + z 2 9 $
z
palla chiusa
s
x2 + y 2 $
di centro l’origine
e raggio 3;
regione delimitata dal semicono
s
z = x2 + y 2
(rotazione di z = |x| attorno all’asse z)
e contenente il semiasse z 0,
semicono incluso.
Si tratta dunque del settore sferico di apertura
Passando a coordinate sferiche
4
rappresentato nella seconda figura, frontiera inclusa.
;
A
A
? x = sin * cos ! : y = sin * sin A
A
= z = cos *
si ha
• x2 + y 2 z 2 = 2 sin2 * cos2 + sin2 * sin2 cos2 * = 2 sin2 * cos2 * = 2 1 2 cos2 * ;
• dxdy = |det J! (, , *)| ddd* = 2 sin * ddd*;
• A \ {asse z} = ! (E) con E = (0, 3] × [0, 2) × 0, 4 ; ciò può essere dedotto sia geometricamente,
tramite la rappresentazione grafica di A ed il significato geometrico delle coordinate sferiche, sia
algebricamente, tramite la definizione di A e le equazioni del cambio di coordinate:
;
;
3
A
> 0, 0 < 2, 0 < * < \
{asse
z}
(x,
y,
z)
5
R
A
A
A
A
? ?
2 sin2 * cos2 + sin2 * sin2 + cos2 * 9
/
x2 + y 2 + z 2 9
A
A
s
A
A
s
A
=
= cos * sin2 * cos2 + sin2 * sin2 z x2 + y 2
;
;
0 < 2
> 0, 0 < 2, 0 < * < A
A
A
A
?
?
2
/
/
0<3
9
A
A
A
A
=
=
0 < * < 4 .
cos * sin *
138
Dunque si ottiene
]
]
2
x + y 2 z 2 dxdydz =
A
[0,3]×[0,2]×[0, 4]
]
]
2
d
=
0
3
4 1 2 cos2 * sin * ddd*
#]
4 d
0
0
/4
$
sin * 2 cos2 * sin * d*
# s
$
s
/4
243
cos3 *
2
2 22 2
= 2
cos * + 2
= 2
+
+1
5 0
3
5
2
3 8
3
0
s
162
1 2 .
=
5
5 3
139