Progetto lauree scientifiche
Unità 3
numeri complessi e poligoni
regolari
A cura di Maurizio Dini e Paola Gario
Dipartimento di Matematica
“F. Enriques”
Università degli Studi di Milano
-1 non è un quadrato in R
Poiché non esiste alcun numero reale il cui
quadrato sia -1,
i matematici hanno inventato il
attribuendogli la proprietà desiderata:
2
i = -1
un nuovo insieme numerico
L’insieme dei numeri reali viene ampliato con
gli “oggetti” a + i b
dove a e b sono numeri reali.
a = a + i b si chiama
il numero a + i b è definito dalla coppia
(a, b) di numeri reali.
Denotiamo con
il nuovo insieme.
è un’estensione di
la struttura algebrica di
Definito il nuovo insieme di numeri,
dovremmo definire l’uguaglianza e le
operazioni tra numeri complessi.
...ma questo lo
sapete!
Allora
passiamo
oltre...
rappresentazione sul piano
Poiché il numero complesso a = a + i b
è definito dalla coppia di numeri reali (a, b)
può essere rappresentato sul piano:
Come se a+ib
fosse il punto di
coordinate (a,b) !
iy
P=(a,b)
b
a+ib
a
x
coordinate polari (; )
Ne ho già
sentito
parlare?
Nel piano cartesiano, un punto P può
essere individuato dalla sua distanza  ( 0)
dall’origine O e dalla rotazione antioraria 
che il semiasse positivo delle ascisse deve
compiere per sovrapporsi ad OP (angolo orientato).
Figura
dalle coordinate polari alle
coordinate cartesiane
abbiamo il punto P di coordinate polari (, )
vogliamo le sue coordinate cartesiane
Qui serve la
trigonometria!
x =  cos 
y =  sen 
(x, y) sono le coordinate cartesiane
del punto P .
Figura
dalle coordinate cartesiane alle
coordinate polari
Mettendole
Elevando
al aquadrato
rapportolericaviamo
precedenti
invece
relazioni
l’angolo:
e
sommandole ricaviamo il raggio:
x   cos 
Adesso, però,
y  fate
 sin voi!


x =  cos() = 2,68 * cos(38,16 °) = 2,11
y = 2sen() 2= 2,682* sen(38,16 °) = 1,66

xy  sincos
 

2
x2  cos
 2
y

sin
= 2,68
x=2 38,16
 y2 °
y
  arctan
x
y2
x arctan
y 
x
2
2
Y
y
O


P
x
X
la “forma polare” di a = a + i b
Il numero complesso a individua il punto P (a, b):
se P ha coordinate polari (, ):
 si chiama modulo di a
 si chiama argomento di a
Attenzione!
iY
b


O
 è un numero positivo
 è definito a meno di multipli di 2.
P
a
X
la forma trigonometrica di a = a + i b
Se (, ) sono le coordinate polari del punto
P (a, b) , con le formule di passaggio
a =  cos 
b =  sen 
iY
il numero complesso a = a + i b
si scrive anche in questo modo:
a + i b =  (cos  + i sen )
b
O


P
a
X
forma trigonometrica e prodotto
Che gusti!
forse è
“comodo”
Fare i conti con i numeri complessi
in forma trigonometrica è “interessante”…
Dati i numeri complessi
a = a + i b =  (cos  + i sen )
a’ = a’ + i b’ = ’(cos ’ + i sen ’)
con le formule della trigonometria si ottiene
a a’ =  ’ (cos ( +’) + i sen (+’))
forma trigonometrica e potenze
Applica la formula del prodotto per calcolare an
Ottieni:
a2 = a a =   (cos ( +) + i sen (+)) =
= 2 (cos 2 + i sen 2)
a3 = a2 a = 2  (cos (2 +) + i sen (2+)) =
= 3 (cos 3 + i sen 3)
interessante...
e così via fino a
an = n (cos n + i sen n)
potenze di un numero di modulo 1
E ora lavora
con i numeri
di modulo  = 1
a = cos  + i sen 
le potenze successive
a2 = cos 2 + i sen 2
a3 = cos 3 + i sen 3
…..…
an = cos n + i sen n
sono numeri di modulo 1
e argomento  , 2 , 3 , ... , n
potenze di un numero di modulo 1
i punti del piano che rappresentano i numeri complessi
a , a2 , a3 , … , an in coordinate polari sono:
U1 (1, ) , U2 (1, 2) , U3 (1, 3) , … , Un (1, n)
Questi punti si trovano tutti
sulla circonferenza
unitaria di centro O
e sono alla stessa distanza
l’uno dall’altro.

iy
 


x
Figura