TEOREMA DI GAUSS CONDENSATORI Immaginiamo di avere una superficie (nel disegno essa è chiusa, ma non è vincolante) e di considerare, per esempio, il vettore campo elettrico E esistente in ogni punto della superficie. Immaginiamo di scomporre il vettore lungo il piano tangente e lungo la direzione perpendicolare a questo. Chiameremo En la componente del vettore campo elettrico perpendicolare. E' evidente che se il vettore è sempre perpendicolare alla superficie, come nel caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme rispetto alle superfici speriche con centro nella carica stessa, la componente En coincide con il campo elettrico E. In tutti gli esempi successivi questa ipotesi sarà verificata. Un condensatore è un dispositivo costruito mediante due superfici conduttrici affacciate (piane, cilindriche, speriche...), separate da un materiale isolante (aria, plastica, carta imbevuta...). Il suo scopo è essere caricato (mediante dispositivi chimici o meccanici): su una superficie (“armatura”) viene trasferito un eccesso di elettroni (carica -Q ), mentre sull'altra armatura vi sarà una analoga mancanza di elettroni (carica +Q). Tra le due armature c'è una zona di campo elettrico, con conseguente differenza di potenziale. Si definisce “capacità del condensatore” il rapporto tra la quantità di carica Q e la differenza di potenziale: C= Q U ; [F = C Coulomb ] ; Farad = V Volt Maggiore capacità significa poter accumulare più carica a parità di differenza di potenziale. O, al contrario, significa che, a parità di carica trasferita da un'armatura all'altra, sarà minore la differenza di potenziale (con minore rischio di scarica diretta attraverso l'isolante e conseguente danneggiamento del condensatore) Il condensatore viene utilizzato (nei circuiti in corrente continua) per produrre correnti elettriche elevate in poco tempo: es. flash della macchina fotografica, defibrillatore per utilizzo medico ... Il flusso del vettore si definisce, approssimativamente, in questo modo: E = E n⋅A FLUSSO DI UN VETTORE (“Approssimativamente”, in quanto se il vettore è variabile da punto a punto, dovremmo scomporre la superficie in tante superfici piccolissime intorno a ciascun punto della superficie, effettuare il calcolo localmente e infine sommare tutti gli innumerevoli flussi ottenuti: questa operazione si chiama “integrale di superficie”) Dato un campo di forza, cioè un vettore definito in ogni punto dello spazio, si dice flusso del vettore attraverso una superficie il prodotto della superficie per la componente (fatta punto per punto) del vettore perpendicolare (o normale) alla superficie. 1/3 TEOREMA DI GAUSS Data una superficie chiusa, il flusso del campo elettrico che la attraversa è uguale al valore della carica totale in essa contenuta, divisa per la conduttività elettrica (o permettività elettrica) del mezzo E = E = Q 0 Q 0⋅r ; nel vuoto dalla quale si ricava la nota formula: ; in un mezzo diverso dal vuoto E= La costante εo è caratteristica del vuoto e vale circa 8,854 10 -12 F/m essendo stato posto: La costante εr è maggiore di uno per qualsiasi materiale ed è una caratteristica del comportamento elettrico del materiale stesso. ko = 1 4 o CONDENSATORE PIANO: capacità Utilizziamo ora il Teorema di Gauss per determinare la capacità di un condensatore formato da due armature piane e parallele, di area A, poste a distanza d Essendo E il campo elettrico, uniforme, tra le piastre, il lavoro, espresso dalla differenza di potenziale, vale: ESEMPIO campo elettrico generato da carica puntiforme Mediante il Teorema di Gauss possiamo ritrovare la formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q. Il campo elettrico ha direzione radiale (con verso uscente se la carica è positiva) e per motivi di simmetria non può che essere costante ad una certa distanza r dalla carica. Varia però con il variare della distanza e varia in modo da rispettare il Teorema di Gauss. U = E⋅d Consideriamo una generica superficie sferica di raggio r. Il campo elettrico è radiale, quindi perpendicolare ad essa. Coincide con En ed ha valore costante. Pertanto il flusso si ottiene semplicemente moltiplicando il valore di E per l'area della superficie sferica. Q = o⋅4 r 2⋅E 1 Q ⋅ 4 o r 2 Se applichiamo il Teorema di Gauss alla superficie tratteggiata, l'area attraversata dal campo elettrico vale A, ovvero l'area delle armature, essendo il campo elettrico presente solo tra i due conduttori. ( nel vuoto) Pertanto: Q = 0 r⋅E⋅A 2/3 Unendo le due: C= EA Q = 0 r U Ed e semplificando: C || = 0 r A d che esprime la capacità di un condensatore piano. Con calcoli più complessi, utilizzando una operazione chiamata integrale (perché ora il campo E non è uniforme ma dipende dal raggio), otteniamo: CONDENSATORE CILINDRICO: capacità C cil = 2 0 r L R est ln Rint CONDENSATORE SFERICO: capacità C sf = 4 0 r 1 1 − Rint Rest 3/3