Elettrostatica II
• Energia Elettrostatica (richiamo)
• Potenziale Elettrico
• Potenziale di cariche puntiformi
• Superfici equipotenziali
• Condensatori
• Dielettrici
Energia potenziale di due cariche
Si può dimostrare che la forza di Coulomb
è conservativa e quindi esiste una energia
potenziale elettrostatica. Consideriamo per
semplicità una carica q1 nel campo generato
da un’altra carica q2 fissa nell’origine.
L’energia potenziale si ricava dal lavoro fatto
dalla forza elettrica fra rA e rB :
Z
B
U (rB ) − U (rA) = −
F~ · d~s
A
ed ha la seguente espressione:
kq1q2
U (r) =
r
Il risultato è analogo al caso della forza di gravità; l’energia potenziale gravitazionale
U (r) = −GM m/r si riduce alla forma nota U = mgh sulla superficie della terra
Energia potenziale elettrostatica II
Nel caso in cui abbiamo molte cariche, l’energia potenziale U è data da
X X kqiqj
U (~r1, ~r2, ...) =
|~ri − ~rj |
i>j j
ovvero dalla somma dell’energia potenziale di tutte le coppie di cariche.
~ dato,
Se consideriamo invece una carica q in un campo elettrico E
possiamo definire l’energia potenziale U tramite l’espressione
Z
B
U (~rB ) − U (~rA) = −
~ · d~s
qE
A
(possiamo prendere U (~r) = 0 per un qualche valore di ~r, come nell’espressione
dell’energia potenziale di due cariche in cui si è assunto U (∞) = 0; oppure limitarci a
considerare differenze di energia potenziale che sono le sole significative)
Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico, o semplicemente potenziale, di solito indicato con
V , è definito a partire dall’energia potenziale U di una carica q come:
U
V =
q
(di nuovo, definito a meno di una costante come l’energia potenziale)
• Il potenziale si misura in Volt: 1 V = 1 J/C.
• Si usa spesso come unità di misura dell’energia in sistemi microscopici
l’elettronvolt (eV): 1eV è l’energia acquistata da un elettrone che
attraversa una differenza di potenziale di 1 V.
1 eV = 1.602 × 10−19C · 1 V = 1.602 × 10−19 J.
• Si usa spesso come unità di misura del campo elettrico il V/m
Potenziale e campo elettrico
Fra il potenziale e il campo elettrico intercorre la stessa relazione che
fra l’energia potenziale e le forze (conservative):
• Dal campo elettrico si ricava il potenziale tramite
Z B il lavoro fatto dal
~ · d~s
campo (con segno negativo): VB − VA = −
E
A
• Dal potenziale si ricava il campo elettrico tramite derivazione. Per
un potenziale in una sola dimensione:
dV (x)
E(x) = −
.
dx
In tre dimensioni:
∂V (x, y, z) ∂V (x, y, z) ∂V (x, y, z)
~
E(~r) = −
,
,
∂x
∂y
∂z
(la quantità fra parentesi è nota come gradiente di una funzione)
Differenza di potenziale, campo elettrico uniforme
~ è uniforme, la differenza
Se il campo elettrico E
di potenziale ∆V = VB − VA fra due punti vale
Z
B
∆V = −
~ · d~s = −E(xB − xA)
E
A
Se la carica q è positiva, è spinta dal campo
verso destra, dove ∆V = −Ex < 0: il potenziale
diminuisce. Anche l’energia potenziale diminuisce
(∆U = q∆V ) mentre l’energia cinetica aumenta.
Se q è negativa, sarà spinta dal campo verso sinistra, dove il potenziale
aumenta: ∆V = −Ex > 0 (mentre ∆U = q∆V diminuisce).
Possiamo scrivere per il potenziale di un campo costante la forma:
~ · ~r + V (~r = 0)
V (x) = −Ex + V (x = 0) o più in generale V (~r) = −E
Differenza di potenziale, campo elettrico uniforme II
Assumiamo campo elettrico uniforme,
E = 8 × 104 V/m, distanza d = 0.5m.
Differenza di potenziale fra le armature?
∆V = VB − VA = −Ed = −4 × 104 V.
Variazione di energia potenziale?
∆U = e∆V = −6.4 × 10−15 J.
A questo punto potete rispondere alla domanda:
“quanto vale l’energia cinetica finale del protone?”
Sia il potenziale che l’energia
potenziale sono più bassi in B che in
A. Riuscite a vedere la somiglianza fra
questo caso e un corpo nel campo
gravitazionale terrestre descritto da
un’energia potenzlale U = mgh?
Potenziale di cariche puntiformi
Il potenziale generato da
dall’espressione dell’energia
kq1q
U (r) =
da cui V (r) =
r
una carica puntiforme q si ricava
potenziale di due cariche puntiformi:
kq
. (assumiamo V (∞) = 0)
r
In presenza di più cariche puntiformi, vale il principio di sovrapposizione
lineare: il potenziale totale è la somma dei contributi delle varie cariche,
X qi
V (~r) = k
, dove ri è la distanza del punto ~r dalla carica qi.
ri
i
Per una distribuzione continua
la somma
Z di carica,
Z
dq
ρ(~r)
diventa un integrale: V = k
=k
dxdydz,
r
r
dove r è la distanza della carica dq dal punto P dove si
calcola il potenziale. E’ sempre complicato da calcolare
ma più semplice che calcolare il campo elettrico!
Esempio: potenziale di un dipolo
E’ la somma dei potenziali delle due cariche:
1
1
V (~r) = V+(~r)+V−(~r) = kq
−
|~r − ~r+| |~r − ~r−|
(~r+, ~r− posizione delle due cariche; ~r distanza dal
centro del dipolo al punto P ). Si dimostra che
per r >> a il potenziale è approssimabile come
~ · r̂
D
V (~r) ' k 2 ,
r
~ = e(~r+ − ~r−)
D
Notare che lungo l’asse y, |~r − ~r+| = |~r − ~r−| e
quindi V = 0. Lo stesso vale per tutto il piano
yz ortogonale al dipolo e passante per il centro.
Un piano su cui il potenziale ha valore costante si chiama equipotenziale.
Superfici equipotenziali
Su di una superficie equipotenziale il potenziale ha un valore costante.
Il campo elettrico è ortogonale ad una superficie equipotenziale (in caso
contrario, la superficie non può essere equipotenziale!). Di conseguenza,
le linee di forza sono ortogonali ad una superficie equipotenziale.
Qui sopra: superfici equipotenziali per campo elettrico costante (piani),
per campo elettrico di una carica (sfere), per un dipolo (forme più
complesse, ma notare il piano equipotenziale a metà fra le cariche).
Conduttori e Potenziale
Abbiamo visto che per un conduttore (ideale) il
campo elettrico:
• è nullo ovunque all’interno, e
• è ortogonale alla superficie e vale E = σ/0,
σ = densità di carica superficiale del conduttore
Di conseguenza, qualunque sia la carica sul
conduttore:
• il potenziale è costante su tutto il conduttore
• la sua superficie è equipotenziale
Possiamo quindi parlare di ”conduttore a
potenziale V ” perchè V ha un valore costante.
In figura: potenziale e campo elettrico per una sfera metallica carica.
Condensatori
Un qualunque sistema di conduttori che possa
immagazzinare carica si chiama condensatore.
Un condensatore particolarmente semplice e
importante è il condensatore piano, formato da
due lastre metalliche (armature) di area A tenute
parallele a distanza d . Collegato ad una batteria
che produce una differenza di potenziale V , il
condensatore si carica di una carica +Q su di
un’armatura, −Q sull’altra.
Linee di forza del campo elettrico
per un condensatore piano. Il
campo è quasi costante fra le
armature, salvo vicino ai bordi, e
quasi nullo al di fuori
Capacità di un condensatore
La grandezza che caratterizza un condensatore
è la capacità, ovvero il rapporto fra carica
immagazzinata su di un’armatura, Q, e
differenza di potenziale fra le armature, V :
Q = CV
La ”capacità” è veramente ciò che il nome
suggerisce: capacità di immagazzinare carica.
E’ una grandezza sempre positiva!
La capacità si misura in Farad (F): 1 F = 1 C/V. In pratica, 1F è una
capacità enorme: si usano da microFarad (µF) a picoFarad (pF).
La capacità di un condensatore dipende dalle sue caratteristiche
geometriche e dalla presenza di dielettrico (materiale isolante
polarizzabile).
Capacità di un condensatore piano
Campo elettrico fra due lastre uniformemente
cariche:
σ
Q
E= =
0 A0
Differenza di potenziale fra le armature di un
condensatore piano:
d
V = Ed = Q
A0
da cui:
0 A
C=
d
La capacità aumenta all’aumentare della superficie delle armature e al
−4 2
diminuire della distanza. Esempio:
A
=
4×10
m , d=1 mm, capacità:
−4
0A
4
×
10
−12
C=
= 8.85 × 10−12
F
=
3.54
×
10
F = 3.54pF
−3
d
1 × 10
Energia elettrostatica di un condensatore
Portare una carica ∆q da un’armatura a potenziale 0 all’altra a
potenziale V richiede un lavoro ∆W = V ∆q.
Calcoliamo il lavoro fatto per caricare il condensatore da q = 0 a q = Q,
carica finale, ricordandoci che V ≡ V (q) = q/C:
Z
Q
Z
V (q)dq =
W =
0
0
Q
2 Q
q
1 q Q2
dq =
=
C
C 2 0
2C
L’energia potenziale U immagazzinata in un condensatore di capacità
C con una carica Q = CV è quindi U =
Q2
2C
= 12 CV 2
Per un condensatore piano: C = a0A/d, V = Ed, U = 12 (0Ad)E 2.
Notare la dipendenza dell’energia elettrostatica da E 2: è un risultato generale
Condensatore con dielettrico
Un dielettrico è un materiale isolante polarizzabile: per esempio,
contenente dipoli che sotto il campo elettrico si allineano.
La polarizzazione produce un campo opposto al campo esterno che ne
riduce la grandezza di un fattore > 1 (costante dielettrica). può
valere da poco più di 1 fino a qualche decina. Per un conduttore = ∞.
A parità di carica immagazzinata, la differenza di potenziale fra le
armature di un condensatore con dielettrico è ridotta di , per cui la
capacità aumenta di :
0A
C=
d
Dipolo in un campo elettrico
Perchè i dipoli si allineano in presenza
di un campo elettrico?
le forze
agenti sulle due cariche di ogni dipolo
producono un momento torcente:
~τ = −2qEa sin θẑ = −DE sin θẑ
(il segno è negativo perché la rotazione
è in verso orario; ẑ esce dal foglio)
~ definito come in precedenza in un
Si può associare ad un dipolo D
~ una energia potenziale, funzione dell’angolo θ:
campo elettrico E
~ ·E
~ = −DE cos θ
U (θ) = −D
dU
Il momento torcente si ricava da τ = −
= −DE sin θ
dθ
Condensatore con dielettrico (2)
Consideriamo un condensatore di capacità C0 in
assenza di dielettrico, carico con carica Q, isolato.
Inseriamo un dielettrico di costante dielettrica :
• Il campo elettrico nel condensatore, e la
differenza di potenziale, diminuiscono di un
V0
E0
,V = .
fattore : E =
• La capacità aumenta di un fattore : C = C0
1
1 Q2
2
• L’energia elettrostatica: U = CV =
2
2C
diminuisce di un fattore : U = U0/
Il dielettrico è ”risucchiato” nel condensatore: l’energia diminuisce.
E se colleghiamo il condensatore ad una batteria che tiene il potenziale costante?
Condensatori in parallelo
Per due condensatori C1 e C2 in parallelo, abbiamo V1 = V2 e Q1 = C1V , Q2 = C2V ,
da cui Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2)V , ovvero Ceq = C1 + C2.
Condensatori in serie
In questo caso, abbiamo che Q1 = Q2 = Q da cui V1 = Q/C1, V2 = Q/C2, da cui
V = V1 + V2 = Q(1/C1 + 1/C2), ovvero 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2.