Analisi delle Decisioni
Funzioni di utilita’ e lotterie
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010
Il processo di scelta razionale
Il soggetto deve essere in grado di:
• Determinare l’insieme di scelta (piani,
azioni);
• Una relazione che lega le azioni alle
conseguenze;
• Ordinare tutte le conseguenze possibili;
• Selezionare l’azione migliore
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Contesti (1/3)
• 1. Scelta in condizioni di certezza: ad
ogni azione e’ associata una ed una
sola conseguenza.
Nell’ambito del processo di scelta
razionale questo problema diventa
banale una volta che il decisore abbia
definito l’insieme delle scelte ed
ordinato tutte le possibili conseguenze.
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Contesti (2/3)
• 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad
ogni azione sono associate piu’
conseguenze, in base ad una
distribuzione di probabilita’ data.
L’incertezza ‘e esogena.
– Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
– Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA
IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
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Scelte in condizioni di
incertezza
• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le
conseguenze sono incerte e tale incertezza è
quantificabile in modo non ambiguo.
• L’incertezza dipende dalla presenza di più di
uno stato di natura.
• Si assume che le probabilità con cui i vari stati
si verificano sia nota.
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Contesti (3/3)
• 3. Scelta in condizioni di interazione
strategica: ad ogni azione sono
associate piu’ conseguenze, ma ora cio’
dipende dalle scelte effettuate da altri
soggetti razionali.
L’incertezza non e’ esogena.
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Il processo di scelta razionale
Principio della massima utilita’
attesa: Il decisore razionale
massimizza la propria utilita’
attesa (oggettiva o soggettiva).
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Le basi della teoria dell’utilita’
• Se restringiamo l’attenzione alle sole
azioni che influenzano la quantita’ di
denaro vediamo che gli agenti mostrano
una preferenza monotona per il
denaro.
• Ma non siamo ancora in grado di
confrontare lotterie anche se queste
coinvolgono quantita’ di denaro.
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Confronto tra lotterie
il valore atteso di una lotteria non
può essere preso a criterio
universale (valido per tutti i decisori)
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• C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore
atteso di una lotteria in questo contesto.
Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una
situazione in cui la decisione deve essere
presa una tantum.
• Diverso sarebbe il discorso se si dovesse
scegliere una lotteria sapendo di doverla poi
giocare un numero molto elevato di volte.
Infatti, ripetendo indefinitamente un processo
aleatorio, potremmo prendere il valore atteso
come stima del guadagno medio a ogni
ripetizione.
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LA FUNZIONE UTILITA’
• Il valore dell’utilità, in generale, non è il
semplice guadagno in termini monetari, ma
dipende da vari fattori, tra cui la
predisposizione del decisore. Infatti per ogni
singolo decisore dovremo definire una
(diversa) funzione di utilità i cui valori attesi
rappresentano le sue preferenze specifiche.
• Assumeremo però che tali preferenze siano
consistenti con certi assiomi di razionalità.
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LOTTERIE
• DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è
determinato da semplici meccanismi di
fortuna. Si assume inoltre che il numero dei
risultati (premi) sia finito.
• Sia
X  x1, x2,..., xr 
l’insieme dei possibili risultati, comprendente
anche il premio nullo, cioè la perdita.
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Assunzioni sulle conseguenze
• Le conseguenze devono essere:
• mutuamente esclusive (al piu’ se ne
verifica una);
• esaustive (almeno una si verifica
necessariamente).
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Confronto tra lotterie
• Si consideri l’insieme R dei possibili
risultati certi
x 1  x2  …  xr
• Una generica lotteria L può
rappresentarsi come
L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >
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Osservazioni
• r indica l’insieme dei possibili risultati, e può
essere anche un numero molto alto.
• Anche se il nostro universo di situazioni
comprende r elementi, una lotteria può avere
come possibili risultati un sottoinsieme molto
piccolo di essi (molti dei pi nell’espressione di
L possono essere uguali a 0).
• Indicheremo sempre con x1 e xr
rispettivamente il risultato più desiderabile e
meno desiderabile, rispettivamente,
nell’ambito dell’insieme di situazioni in cui ha
senso il nostro problema decisionale.
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Confronto tra lotterie
• Un risultato certo xi è equivalente a
una particolare lotteria:
xi ~ < 0,x1 ; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr >
• Si vuole definire un ente matematico
in grado di rappresentare le
preferenze di un decisore, anche
relativamente a diverse lotterie
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• Associamo a ogni risultato certo un
valore u(•) che ne indica il
“gradimento”, ossia tale che
u(x1)  u(x2)  …  u(xr)
• Usando queste “utilità elementari”, è
possibile far corrispondere a
qualsiasi lotteria un valore di utilità
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Osservazioni
• Supponiamo di associare (in che modo, lo
vedremo più tardi) a ciascuno degli r risultati
certi, un numero che ne esprime il livello di
gradimento. Per ora, diciamo solo che questi
numeri sono tali per cui a un risultato più
gradito corrisponde un valore più alto.
• Questi numeri rappresentano delle “utilità
elementari”, che come ora vedremo – sotto
determinate condizioni -- ci consentiranno di
esprimere in modo quantitativo il livello di
gradimento di un decisore nei confronti di
qualsiasi lotteria.
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Utilità (attesa) di una lotteria L
U[L] = p1 u(x1) + p2 u(x2)
+ … + pr u(xr)
• Si considerino due lotterie L,M
L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >
M = < q1,x1 ; q2,x2 ; … ; qr,xr >
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Osservazioni
• L’espressione precedente prende il
nome di utilità attesa di una lotteria L.
Come si vede, questa è una quantità
soggettiva, in quanto dipende dai valori
di utilità che il decisore ha attribuito agli
r risultati certi.
• Inserendo i valori di probabilità che
definiscono ciascuna lotteria, si può
calcolare l’utilità attesa di qualsiasi
lotteria per un particolare decisore.
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Utilità (attesa) di una lotteria L
• Vogliamo individuare una funzione
u(•) dei risultati tale che:
LM
se e solo se
r
r
 p u( x )   q u( x )
i
i 1
i
i
i 1
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i
Riassumendo…
I)
II)
Vogliamo individuare una funzione u che
permetta di:
definire un ordinamento nell’insieme dei
risultati X di una lotteria;
scegliere tra lotterie in base alla regola
dell’utilità attesa.
u è definita su un insieme A che contiene
l’insieme dei premi X e l’insieme delle
lotterie L, ma vedremo che contiene anche
altri tipi di lotterie, quindi:
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