Analisi delle Decisioni
Atteggiamenti rispetto
al rischio
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Funzione di utilità e attitudini
al rischio del decisore
• Nel seguito vedremo come la funzione di
utilità, a seconda della sua forma, può tenere
conto delle diverse attitudini al rischio del
decisore.
Assumeremo, per semplicità che le
conseguenze possano essere rappresentate
da numeri reali e che le preferenze del
decisore aumentino all’aumentare di tali
valori.
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Valutazione di una lotteria
• Data una lotteria L, è possibile
associarvi
r
• E[L] =
• U[L] =
p x
i 1
i
Valore oggettivo
i
r
 p u( x )
i 1
i
i
Valore soggettivo
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Equivalente certo di una
lotteria
• L’equivalente certo xc di una lotteria
L è quella somma avente utilità pari
all’utilità attesa della lotteria
u(xc) = U[L]
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Equivalente certo di una
lotteria
• Il decisore è indifferente tra
ricevere xc o partecipare alla
lotteria L
• xc rappresenta la minima cifra che il
decisore è disposto a ricevere per
non partecipare alla lotteria L
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Premio di rischio
• Data una lotteria L, il premio di
rischio p è definito come
p = E[L] - xc
• p può interpretarsi come quella
parte del valore atteso E[L] cui si è
disposti a rinunciare pur di non
partecipare alla lotteria L
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Premio di rischio (esempio)
40
0.5
100
0.5
0
~ L
p = E[L] - xc = 50 – 40 = 10
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Premio di rischio
• Il premio di rischio non è
necessariamente positivo (e.g.
individuo che deve
necessariamente reperire 100
euro)
• A seconda del segno di p si hanno
diversi atteggiamenti rispetto al
rischio
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Atteggiamenti rispetto al rischio
• p = E[L] - xc > 0
avverso al rischio
• p = E[L] - xc < 0
propenso al rischio
• p = E[L] - xc = 0
indifferente al rischio
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Atteggiamenti rispetto al rischio
p
x1
1-p
x2
L
E[L] = p x1 +(1-p) x2
U[L] = p u(x1) +(1-p) u(x2)
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Atteggiamenti rispetto al rischio
E[L] = p x1 +(1-p) x2
xc = u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
Se il decisore è avverso al rischio,
p x1 +(1-p) x2  u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
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u(x2)
U[L]
p
u(x1)
x1
xc E[L] x2
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u(x2)
U[L]
-p
u(x1)
x1
E[L] xc
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x2
u(x2)
U[L]
p =0
u(x1)
x1
E[L]= xc
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x2
Determinazione delle
probabilità
• A questo punto occorre avere
informazioni sulla verosimiglianza
con cui diversi stati di natura
potranno presentarsi
• Si opera col meccanismo
dell’intervista…
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Variazione indice Dow-Jones (%)
Decisioni
< -3
[-3,+2]
> +2
a1
110
110
110
a2
100
105
115
a3
90
100
120
0.2
0.4
0.4
probabilità
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Utilità attesa dei tre
investimenti
U[a1] = 0.2 *u(110) + 0.4*u(110) +0.4*u(110)
= 0.8
U[a2] = 0.2 *u(100) + 0.4*u(105) +0.4*u(115)
= 0.7
U[a3] = 0.2 *u(90) + 0.4*u(100) +0.4*u(120)
= 0.56
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Analisi della sensibilità
• Per giungere a una soluzione più
ponderata, occorre sottoporre ad
analisi le preferenze espresse dal
decisore
• Un decisore non ha capacità di
discernimento infinita
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Analisi della sensibilità (II)
• Poiché l’utilità della lotteria a1 è
ritenuta superiore alle altre, occorre
trovare:
– un limite inferiore al valore di U[a1] e
– un limite superiore al valore di U[a2]
e U[a3]
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Analisi della sensibilità (III)
110
0.75
120
0.25
90
L
• Supponiamo il decisore preferisca i
110 sicuri
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Analisi della sensibilità (IV)
110
0.75
120
0.25
90
L
u(110) > 0.75*u(120) + 0.25*u(90)=0.75
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Analisi della sensibilità (V)
• Analogamente possono stabilirsi limiti
superiori:
u(100) < 0.45
u(105) < 0.64
u(115) < 0.96
• Usando questi valori-limite nelle utilità di
a2 e a3 si possono ottenere indicazioni
più complete
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Utilità attesa dei tre
investimenti (rivista)
U[a1] > 0.75
U[a2] < 0.2 *0.45 + 0.4*0.64 +0.4*0.96= 0.73
U[a3] < 0.2 *0 + 0.4*0.45 +0.4*1= 0.58
• Alla luce dell’analisi della sensibilità,
l’investimento a1 sembra il più adatto al
decisore in esame
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