Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 3 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Esistenza della funzione u • Una simile funzione u(•) esiste? • Assiomi “della razionalità” riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Esistenza della funzione u • X è l’insieme dei risultati certi x1, x2 , …, xi,…, xr • L rappresenta l’insieme di tutte le lotterie che si possono definire su X Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 1. Ordinamento debole • Dati due elementi a, b A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: ab ba a~b • Inoltre a b, b c implica a c Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni • L’assioma di ordinamento debole stabilisce che vale la transitività delle preferenze, cosa questa che non dovrebbe suscitare particolari obiezioni. Se considero il risultato a migliore di b, e b migliore di c, a maggior ragione direi che a è meglio di c. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 2. Non banalità • Si consideri l’insieme X dei possibili risultati certi x1 x2 … xr allora x1 x r >>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 3. Riduzione di lotterie composite (I) • Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie) L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls> che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s. Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c. pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r. Allora L L’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 3. Riduzione di lotterie composite (II) Consideriamo la lotteria L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr> che assegna il premio xi con probabilità 1. Allora xi L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Questo corollario dell’assioma 3 permette di stabilire che il decisore non “prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 3. Lotterie composite (esempio) • Una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie +10 0.5 0.2 L1 0.3 L 0.5 0.5 +20 0.4 0.6 L2 0.3 L3 -10 0.7 -10 +10 -20 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni Si consideri qui una lotteria i cui “premi” sono biglietti di ingresso in altre lotterie. Questa è una lotteria composita. Se ci chiediamo, ad esempio, con quale probabilità si verificherà il risultato +20, essa è data da 0.3*0.4=0.12, in quanto l’unica possibilità è che l’esito della lotteria L sia L2 e che questa dia come risultato appunto +20. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Lotterie composite • Probabilità di avere +10: +10 0.5 0.2 L1 0.3 L 0.5 0.5 +20 0.4 0.6 L2 0.3 L3 -10 0.7 -10 +10 -20 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni In questo caso invece, osservando che il risultato +10 può essere ottenuto in due modi diversi, concludiamo che la probabilità di tale risultato è 0.2*0.5+0.5*0.3=0.25. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25 +10 0.5 0.2 L1 0.3 L 0.5 0.5 +20 0.4 0.6 L2 0.3 L3 -10 0.7 -10 +10 -20 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 La lotteria L’ è equivalente a L +20 0.12 L’ 0.25 +10 0.28 -10 0.35 -20 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni • Ripetendo il procedimento per tutti i risultati possibili, otteniamo una lotteria L’ avente come probabilità i numeri ottenuti. E’ evidente che le probabilità di conseguire i vari risultati sono esattamente le stesse nella lotteria composita L, come nella lotteria L’. Per questo motivo, l’assioma delle lotterie composite dice che un decisore razionale dovrebbe provare indifferenza tra L e L’. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 4. Sostituibilità • Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L = < …;… ; p,a ;…;…> L’ = < …;… ; p,b ;…;…> L L’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni • Il concetto espresso da questo assioma è che due risultati ritenuti equivalenti, fanno sì che due lotterie che differiscano solo per questi due risultati devono essere altresì percepite come equivalenti. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Lotterie di riferimento • Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: p x1 1-p xr L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 LOTTERIE DI RIFERIMENTO DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> . DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme delle lotterie di riferimento x1pxr A, 0p1 . Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 5. Monotonicità p x1 p’ x1 1-p’ xr L’ L 1-p xr L L’ p p’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 6. Continuità • Esiste un valore di probabilità ui tale che: xi ui x1 1-ui xr ~ L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Osservazioni Il sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi l’unico un po’ controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio xi. Questo assioma dice che per ogni xi esisterà un valore di probabilità, indicato con ui, tale da rendere il risultato certo xi indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui ui è la probabilità di vincere x1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere xr, ci sarà sempre un valore ui che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato xi. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 6. Continuità • Obiezione circa l’esistenza del valore ui (facilmente confutabile) • Difficoltà nella determinazione precisa del valore ui • >>> Necessità di una analisi della sensibilità Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Teorema di von NeumannMorgenstern • Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: – se L è preferita a M U[L] > U[M] – se M è preferita a L U[M] > U[L] – se L e M sono indifferenti U[L] = U[M] Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Utilità elementari • Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 all’utilità dei due risultati estremi, ossia u(x1) = 1 u(xr) = 0 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Utilità di una lotteria di riferimento u(xi) xi = ui u(x1) + (1- ui )u(xr) ui x1 1-ui xr ~ L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 u(xi) = ui u(x1) + (1- ui )u(xr) =1 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 =0 Funzione di utilità • L’utilità del risultato xi è data dal valore di probabilità ui che rende indifferente xi rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(xi) = ui Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 • A questo punto è chiaro che il valore di ui definito prima può essere preso proprio a misura dell’utilità del risultato xi. In altre parole, se riusciamo a stabilire i valori di utilità per i singoli risultati certi, e se il decisore accetta gli assiomi della razionalità, allora è possibile esprimere il valore di utilità attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare tali valori per confrontare quantitativamente due lotterie qualsiasi. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Funzione di utilità • Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore • Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 • Da quanto detto finora, emerge che è possibile associare un valore di utilità a ciascun risultato certo xi. Occorre sottolineare che questa funzione esprime le preferenze del singolo decisore, e dunque decisori diversi, pur accentando gli stessi assiomi, possono avere funzioni di utilità molto diverse. L’unica proprietà che deve avere una u(x) perché sia una funzione di utilità (rappresentando x una quantità di denaro) è il fatto che sia una funzione monotona crescente. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Determinazione di u(•) • Applicazione accurata dell’assioma di continuità • Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a1, a2, a3 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Variazione indice Dow-Jones (%) < -3 [-3,+2] > +2 a1 110 110 110 a2 100 105 115 a3 90 100 120 Decisioni Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment • Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare l’investimento più “razionale” per il decisore in questione Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 L’insieme X dei risultati • In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire 120, 115, 110, 105, 100, 90 x1 xr • Le lotterie di riferimento hanno come “premi” 90 e 120 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment • L’analista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due? 110 0.5 120 0.5 90 L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment (cont.) • Supponiamo che la risposta sia: “110 sicuri” • Possiamo già escludere che l’utilità di 110 sia inferiore 0.5 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment (cont.) • L’analista pone allora la seguente alternativa 110 0.875 120 0.125 90 L Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment (cont.) • Supponiamo che stavolta la risposta sia: “la lotteria” • Possiamo escludere che l’utilità di 110 sia superiore a 0.875 • Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment (cont.) • Supponiamo che si abbia per: 110 0.8 120 0.2 90 ~ L • Da cui, u(110)=0.8 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assessment (cont.) • Procedendo allo stesso modo si può determinare l’utilità degli altri valori, ad esempio u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(115)=0.95 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Verifica della consistenza 115 0.75 120 0.25 110 L • U[L] = 0.75 * u(120) + 0.25 *u(110) = 0.75 * 1 + 0.25 *0.8 = 0.95 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Verifica della consistenza • Poiché era stato misurato che l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente • Se ciò non accade: – vanno rivisti i valori di utilità – il decisore rifiuta gli assiomi di von Neumann… Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità • Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio? • Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 1 Stati di natura 2 3 a1 x11 x12 x13 a2 x21 x22 x21 a3 x31 x32 x33 P(1) P(2) P(3) Decisioni Probabilità Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Consideriamo la seguente lotteria semplice: Lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn> Allora ak lk Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 NOTE • Nella precedente equivalenza abbiamo leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare: 1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non assumiamo che x1 x2 … xr . Inoltre, le m lotterie che possono essere costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 • 2. Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta ak non appartiene all’insieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla). 3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza • Sia data la tavola di decisione precedente e siano li le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare, ai ak li lk, i,k=1,2,…,m. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Corollario • Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern discende che ai ak l i l k n P( )u(x j1 j n ij ) P(j )u(x kj ) j1 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 Riassumendo • Dall’Assioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata. • La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008 • Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + (>0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u + . Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008