Sistemi di Supporto alle
Decisioni I
Lezione 2
Chiara Mocenni
Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e
L2 in Ingegneria Informatica
III ciclo
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Il processo di scelta razionale
Il soggetto deve essere in grado di:
• Determinare l’insieme di scelta (le azioni);
• Una relazione che lega le azioni alle
conseguenze;
• Ordinare tutte le conseguenze possibili;
• Selezionare l’azione migliore
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Contesti (1/3)
• 1. Scelta in condizioni di certezza: ad
ogni azione e’ associata una ed una
sola conseguenza.
Nell’ambito del processo di scelta
razionale questo problema diventa
banale una volta che il decisore abbia
definito l’insieme delle scelte ed
ordinato tutte le possibili conseguenze.
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Contesti (2/3)
• 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad
ogni azione sono associate piu’
conseguenze, in base ad una
distribuzione di probabilita’ data.
L’incertezza ‘e esogena.
– Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
– Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA
IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
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Scelte in condizioni di
incertezza
• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le
conseguenze sono incerte e tale incertezza è
quantificabile in modo non ambiguo.
• L’incertezza dipende dalla presenza di più di
uno stato di natura.
• Si assume che le probabilità con cui i vari stati
si verificano sia nota.
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Contesti (3/3)
• 3. Scelta in condizioni di interazione
strategica: ad ogni azione sono
associate piu’ conseguenze, ma ora cio’
dipende dalle scelte effettuate da altri
soggetti razionali.
L’incertezza non e’ esogena.
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Il processo di scelta razionale
Principio della massima utilita’
attesa: Il decisore razionale
massimizza la propria utilita’
attesa (oggettiva o soggettiva).
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Le basi della teoria dell’utilita’
• Se restringiamo l’attenzione alle sole
azioni che influenzano la quantita’ di
denaro vediamo che gli agenti mostrano
una preferenza monotona per il
denaro.
• Ma non siamo ancora in grado di
confrontare lotterie anche se queste
coinvolgono quantita’ di denaro.
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Esempio
• Supponiamo che abbiate trionfato sugli
avversari in un gioco televisivo. Il
presentatore vi offre una scelta: prendere il
milione di euro che avete vinto o puntare tutto
sul lancio di una moneta: se esce testa
perdete tutto, se esce croce vincete 3 milioni
di euro.
->>> Accettate? E che cosa dovrebbe fare un
decisore razionale?
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• Il valore atteso dell’azzardo e’
0.5(0)+0.5(3.000.000)=1.500.000,
• Mentre il valore atteso del premio
originale e’ 1.000.000.
• Supponiamo che k sia la vostra
ricchezza corrente e che Sn sia lo stato
in cui la ricchezza e’ n.
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• E(L1)=0.5U(Sk)+0.5U(Sk+3.000.000)
• E(L)=U(Sk+1.000.000)
• Se ad esempio U(Sk)=5; U(Sk+3.000.000)=10;
U(Sk+1.000.000)=8
• Caso1. E(L1)=7.5<8 ->>RIFIUTATE
• Caso2. In banca avete 500.000.000 ->> I
benefici del 501-esimo milione saranno piu’ o
meno gli stessi del 503-esimo ->>POTETE
ACCETTARE
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Confronto tra lotterie
il valore atteso di una lotteria non
può essere preso a criterio
universale (valido per tutti i decisori)
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• C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore
atteso di una lotteria in questo contesto.
Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una
situazione in cui la decisione (tra L e L1) deve
essere presa una tantum. Diverso sarebbe il
discorso se si dovesse scegliere L o L1
sapendo di doverla poi giocare un numero
molto elevato di volte. Infatti, ripetendo
indefinitamente un processo aleatorio,
potremmo prendere il valore atteso come
stima del guadagno medio a ogni ripetizione.
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LA FUNZIONE UTILITA’
• Il valore dell’utilità, in generale, non è il
semplice guadagno in termini monetari, ma
dipende da vari fattori, tra cui la
predisposizione del decisore. Infatti per ogni
singolo decisore dovremo definire una
(diversa) funzione di utilità i cui valori attesi
rappresentano le sue preferenze specifiche.
• Assumeremo però che tali preferenze siano
consistenti con certi assiomi di razionalità.
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LOTTERIE
• DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è
determinato da semplici meccanismi di
fortuna. Si assume inoltre che il numero dei
risultati (premi) sia finito.
• Sia
X  x1, x2,..., xr 
l’insieme dei possibili risultati, comprendente
anche il premio nullo, cioè la perdita.
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• Le conseguenze devono essere:
• mutuamente esclusive (al piu’ se ne
verifica una);
• esaustive (almeno una si verifica
necessariamente).
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Confronto tra lotterie (II)
• Si consideri l’insieme R dei possibili
risultati certi
x 1  x2  …  xr
• Una generica lotteria L può
rappresentarsi come
L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >
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Confronto tra lotterie (II)
• Un risultato certo xi è equivalente a
una particolare lotteria:
xi ~ < 0,x1 ; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr >
• Si vuole definire un ente matematico
in grado di rappresentare le
preferenze di un decisore, anche
relativamente a diverse lotterie
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• Associamo a ogni risultato certo un
valore u(•) che ne indica il
“gradimento”, ossia tale che
u(x1)  u(x2)  …  u(xr)
• Usando queste “utilità elementari”, è
possibile far corrispondere a
qualsiasi lotteria un valore di utilità
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Utilità (attesa) di una lotteria L
U[L] = p1 u(x1) + p2 u(x2)
+ … + pr u(xr)
• Si considerino due lotterie L,M
L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >
M = < q1,x1 ; q2,x2 ; … ; qr,xr >
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Utilità (attesa) di una lotteria L
• Vogliamo individuare una funzione
u(•) dei risultati tale che:
LM
se e solo se
r
r
 p u( x )   q u( x )
i
i 1
i
i
i
i 1
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Decisioni in condizioni di
incertezza
• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le
conseguenze sono incerte e tale incertezza è
quantificabile in modo non ambiguo.
• L’incertezza dipende dalla presenza di più di
uno stato di natura.
• Si assume che le probabilità con cui i vari stati
si verificano sia nota.
• Cominceremo ad affrontare il problema delle
lotterie.
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Riassumendo…
I)
II)
Vogliamo individuare una funzione u che
permetta di:
definire un ordinamento nell’insieme dei
risultati X di una lotteria;
scegliere tra lotterie in base alla regola
dell’utilità attesa.
u è definita su un insieme A che contiene
l’insieme dei premi X e l’insieme delle
lotterie L, ma vedremo che contiene anche
altri tipi di lotterie, quindi:
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A
L
X
u: A R
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Esistenza della funzione u
• Una simile funzione u(•) esiste?
• Assiomi “della razionalità”
riguardanti il comportamento dei
decisori (Von Neumann e
Morgenstern 1947)
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Esistenza della funzione u
• X è l’insieme dei risultati certi
x1, x2 , …, xi,…, xr
• L rappresenta l’insieme di tutte le
lotterie che si possono definire su X
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1. Ordinamento debole
• Dati due elementi a, b  A
è sempre possibile confrontarli,
ossia vale una tra queste:
ab
ba
a~b
• Inoltre a  b, b  c implica a  c
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2. Non banalità
• Si consideri l’insieme X dei possibili
risultati certi
x1  x2  …  xr
allora
x1  xr
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3. Riduzione di lotterie composite (I)
• Consideriamo una lotteria composita (cioè
una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie)
L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls>
che dà diritto alla partecipazione a s lotterie
semplici, t.c.
Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s.
Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c.
pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r.
Allora L  L’
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Le preferenze del decisore dipendono
solo dai risultati finali e dalle probabilità
con cui questi possono essere ottenuti e
non dalle modalità con cui vengono di
volta in volta organizzate le lotterie.
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3. Riduzione di lotterie composite (II)
Consideriamo la lotteria
L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr>
che assegna il premio xi con probabilità 1.
Allora xi  L
Questo corollario dell’assioma 3 (che qui non
dimostriamo) permette di stabilire che il decisore non
“prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una
lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è
associato.
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3. Lotterie composite (esempio)
• Una lotteria i cui “premi” sono altre
lotterie
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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Lotterie composite
• Probabilità di avere +10:
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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La lotteria L’ è equivalente a L
+20
0.12
L’
0.25
+10
0.28
-10
0.35
-20
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4. Sostituibilità
• Se a ~ b, allora due lotterie identiche
tranne che per il fatto che a è
sostituito da b, sono equivalenti:
L = < …;… ; p,a ;…;…>
L’ = < …;… ; p,b ;…;…>
L  L’
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Lotterie di riferimento
• Sono di particolare importanza le
lotterie di riferimento:
p
x1
1-p
xr
L
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LOTTERIE DI RIFERIMENTO
DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del
tipo
x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> .
Queste lotterie appartengono ad A\(XL).
DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme
delle lotterie di riferimento
x1pxr  A,  0p1 .
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5. Monotonicità
p
x1
p’
x1
1-p’
xr
L’
L
1-p
xr
L  L’  p  p’
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6. Continuità
• Esiste un valore di probabilità ui tale
che:
xi
ui
x1
1-ui
xr
~ L
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6. Continuità
• Obiezione circa l’esistenza del
valore ui (facilmente confutabile)
• Difficoltà nella determinazione
precisa del valore ui
• >>> Necessità di una analisi della
sensibilità
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Teorema di von NeumannMorgenstern
• Se il sistema di preferenze di un decisore
rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una
funzione u: X  [0,1] che per qualunque
coppia di lotterie, L e M:
– se L è preferita a M
U[L] > U[M]
– se M è preferita a L
U[M] > U[L]
– se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]
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Utilità elementari
• Diamo convenzionalmente valore 1
e 0 all’utilità dei due risultati estremi,
ossia
u(x1) = 1
u(xr) = 0
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Utilità di una lotteria di
riferimento
u(xi)
xi
=
ui u(x1) + (1- ui )u(xr)
ui
x1
1-ui
xr
~ L
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u(xi)
=
ui u(x1) + (1- ui )u(xr)
=1
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=0
Funzione di utilità
• L’utilità del risultato xi è data dal
valore di probabilità ui che rende
indifferente xi rispetto alla lotteria di
riferimento, ossia
u(xi) = ui
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Funzione di utilità
• Una funzione di utilità U[L] modella
le preferenze di un particolare
decisore
• Diversi decisori hanno in generale
diverse funzioni di utilità, anche se
alcune funzioni sono più usate
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Determinazione di u(•)
• Applicazione accurata dell’assioma
di continuità
• Esempio: un investitore deve
scegliere tra 3 alternative (lotterie):
a1, a2, a3
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Variazione indice Dow-Jones (%)
< -3
[-3,+2]
> +2
a1
110
110
110
a2
100
105
115
a3
90
100
120
Decisioni
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Assessment
• Ricavando la funzione di utilità per i
sei risultati certi in esame, si potrà
calcolare l’investimento più
“razionale” per il decisore in
questione
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L’insieme X dei risultati
• In questo caso X consiste di tutti i
possibili risultati, vale a dire
120, 115, 110, 105, 100, 90
x1
xr
• Le lotterie di riferimento hanno
come “premi” 90 e 120
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Assessment
• L’analista pone domande del tipo:
cosa sceglierebbe tra queste due?
110
0.5
120
0.5
90
L
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che la risposta sia:
“110 sicuri”
• Possiamo già escludere che l’utilità
di 110 sia inferiore 0.5
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Assessment (cont.)
• L’analista pone allora la seguente
alternativa
110
0.875
120
0.125
90
L
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che stavolta la
risposta sia: “la lotteria”
• Possiamo escludere che l’utilità di
110 sia superiore a 0.875
• Si prosegue fino a individuare quel
valore di probabilità per cui si ha
indifferenza
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che si abbia per:
110
0.8
120
0.2
90
~ L
• Da cui, u(110)=0.8
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Assessment (cont.)
• Procedendo allo stesso modo si
può determinare l’utilità degli altri
valori, ad esempio
u(100)=0.4
u(105)=0.6
u(115)=0.95
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Verifica della consistenza
115
0.75
120
0.25
110
L
• U[L] = 0.75 * u(120) + 0.25 *u(110)
= 0.75 * 1 + 0.25 *0.8 = 0.95
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Verifica della consistenza
• Poiché era stato misurato che
l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di
fornte alla scelta il decisore
dovrebbe dichiararsi indifferente
• Se ciò non accade:
– vanno rivisti i valori di utilità
– il decisore rifiuta gli assiomi di von
Neumann…
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Tavole di decisione, analisi di
decisione e funzioni utilità
• Che relazione esiste tra la scelta tra
lotterie e la scelta in condizioni di
rischio?
• Cerchiamo di individuare una
corrispondenza tra lotterie e tavole di
decisione.
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1
Stati di natura
2
3
a1
x11
x12
x13
a2
x21
x22
x21
a3
x31
x32
x33
P(1)
P(2)
P(3)
Decisioni
Probabilità
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Consideriamo la seguente lotteria
semplice:
Lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn>
Allora
ak  lk
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NOTE
• Nella precedente equivalenza abbiamo
leggermente modificato la notazione
introdotta per le lotterie. In particolare:
1. Non assumiamo che i premi siano ordinati
secondo un ordine decrescente, cioè non
assumiamo che x1  x2  …  xr .
Inoltre, le m lotterie che possono essere
costruite a partire dalle azioni nella tavola di
decisione hanno il seguente insieme dei
premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
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• 2. Ogni conseguenza che risulta impossibile
sotto la scelta ak non appartiene all’insieme
dei premi (cioè non si considerano premi che
hanno probabilità nulla).
3. Che cosa succede se due scelte diverse
conducono agli stessi risultati?
Nella notazione precedente non avevamo
posto assunzioni sul fatto che i premi fossero
tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma
che se due premi sono uguali (o ugualmente
graditi), allora le lotterie che si possono
costruire sono tra loro equivalenti.
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Assioma 7. Equivalenza di
situazioni di incertezza
• Sia data la tavola di decisione
precedente e siano li le m lotterie da
essa estratte come mostrato. Allora il
decisore considera la sua scelta nella
tavola di decisione identica alla scelta
tra le suddette m lotterie. In particolare,
ai  ak  li  lk,  i,k=1,2,…,m.
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Corollario
• Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal
Teorema di von Neumann-Morgenstern
discende che
ai  ak  l i  l k 
n
 P( )u(x
j1
j
n
ij
)   P(j )u(x kj )
j1
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Riassumendo
• Dall’Assioma di continuità discende che
la funzione di utilità è univocamente
determinata.
• La funzione di utilità è una funzione che
permette di ordinare lotterie/decisioni
assumendo il fatto che le utilità attese
calcolate siano effettivamente coerenti
con le preferenze del decisore.
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• Teorema. Se u è una funzione di utilità
su X, allora w = u +  (>0) è a sua
volta una funzione di utilità che
rappresenta le stesse preferenze.
Viceversa, se u e w sono due funzioni di
utilità su X che rappresentano le stesse
preferenze, allora esistono >0 e  t.c.
w = u + .
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