Analisi delle Decisioni
Esistenza della funzione
di utilita’
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esistenza della funzione u
• Una simile funzione u(•) esiste?
• Assiomi “della razionalità”
riguardanti il comportamento dei
decisori (Von Neumann e
Morgenstern 1947)
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Esistenza della funzione u
• X è l’insieme dei risultati certi
x1, x2 , …, xi,…, xr
• L rappresenta l’insieme di tutte le
lotterie che si possono definire su X
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1. Ordinamento debole
• Dati due elementi a, b  A
è sempre possibile confrontarli,
ossia vale una tra queste:
ab
ba
a~b
• Inoltre a  b, b  c implica a  c
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2. Non banalità
• Si consideri l’insieme X dei possibili
risultati certi
x1  x2  …  xr
allora
x1  x r
>>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili
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3. Riduzione di lotterie composite (I)
• Consideriamo una lotteria composita (cioè
una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie)
L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls>
che dà diritto alla partecipazione a s lotterie
semplici, t.c.
Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s.
Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c.
pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r.
Allora L  L’
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Le
preferenze
del
decisore
dipendono solo dai risultati finali e
dalle probabilità con cui questi
possono essere ottenuti e non
dalle modalità con cui vengono di
volta in volta organizzate le
lotterie.
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3. Riduzione di lotterie composite (II)
Consideriamo la lotteria
L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr>
che assegna il premio xi con probabilità 1.
Allora xi  L
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Questo corollario dell’assioma 3
permette di stabilire che il decisore
non “prova gusto” semplicemente
nel partecipare ad una lotteria, ma
unicamente nel vincere il premio
che vi è associato.
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3. Lotterie composite (esempio)
• Una lotteria i cui “premi” sono altre
lotterie
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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Lotterie composite
• Probabilità di avere +10:
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25
+10
0.5
0.2
L1
0.3
L
0.5
0.5
+20
0.4
0.6
L2
0.3
L3
-10
0.7
-10
+10
-20
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La lotteria L’ è equivalente a L
+20
0.12
L’
0.25
+10
0.28
-10
0.35
-20
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Osservazioni
• Ripetendo il procedimento per tutti i risultati
possibili, otteniamo una lotteria L’ avente
come probabilità i numeri ottenuti. E’ evidente
che le probabilità di conseguire i vari risultati
sono esattamente le stesse nella lotteria
composita L, come nella lotteria L’. Per
questo motivo, l’assioma delle lotterie
composite dice che un decisore razionale
dovrebbe provare indifferenza tra L e L’.
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4. Sostituibilità
• Se a ~ b, allora due lotterie identiche
tranne che per il fatto che a è
sostituito da b, sono equivalenti:
L = < …;… ; p,a ;…;…>
L’ = < …;… ; p,b ;…;…>
L  L’
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Lotterie di riferimento
• Sono di particolare importanza le
lotterie di riferimento:
p
x1
1-p
xr
L
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LOTTERIE DI RIFERIMENTO
DEF. Si chiamano lotterie di riferimento
le lotterie del tipo
x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> .
DEF. Si definisce esperimento di
riferimento l’insieme di tutte le lotterie di
riferimento
x1pxr  A,  0p1 .
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5. Monotonicità
x1
p
p’
x1
1-p’
xr
L’
L
1-p
xr
L  L’  p  p’
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6. Continuità
• Esiste un valore di probabilità ui tale
che:
xi
ui
x1
1-ui
xr
~ L
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Osservazioni
Il sesto e ultimo assioma è forse il più
importante, anche se per certi versi l’unico un
po’ controverso. Consideriamo un qualunque
risultato intermedio xi. Questo assioma dice
che per ogni xi esisterà un valore di
probabilità, indicato con ui, tale da rendere il
risultato certo xi indifferente rispetto a una
lotteria di riferimento in cui ui è la probabilità
di vincere x1. Ossia, per quanto catastrofico
possa essere xr, ci sarà sempre un valore ui
che rende il rischio di giocare la lotteria L
equivalente alla certezza del risultato xi.
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6. Continuità
• Obiezione circa l’esistenza del
valore ui (facilmente confutabile)
• Difficoltà nella determinazione
precisa del valore ui
• >>> Necessità di una analisi della
sensibilità
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Teorema di von NeumannMorgenstern
• Se il sistema di preferenze di un decisore
rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una
funzione u: X  [0,1] che per qualunque
coppia di lotterie, L e M:
– se L è preferita a M
U[L] > U[M]
– se M è preferita a L
U[M] > U[L]
– se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]
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Utilità elementari
• Diamo convenzionalmente valore 1
e 0 all’utilità dei due risultati estremi,
ossia
u(x1) = 1
u(xr) = 0
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Utilità di una lotteria di
riferimento
u(xi)
xi
=
ui u(x1) + (1- ui )u(xr)
ui
x1
1-ui
xr
~ L
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u(xi)
=
ui u(x1) + (1- ui )u(xr)
=1
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=0
Funzione di utilità
• L’utilità del risultato xi è data dal
valore di probabilità ui che rende
indifferente xi rispetto alla lotteria di
riferimento, ossia
u(xi) = ui
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• A questo punto è chiaro che il valore di
ui definito prima può essere preso
proprio a misura dell’utilità del risultato
xi. In altre parole, se riusciamo a
stabilire i valori di utilità per i singoli
risultati certi, e se il decisore accetta gli
assiomi della razionalità, allora è
possibile esprimere il valore di utilità
attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare
tali valori per confrontare
quantitativamente due lotterie qualsiasi.
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Funzione di utilità
• Una funzione di utilità U[L] modella
le preferenze di un particolare
decisore
• Diversi decisori hanno in generale
diverse funzioni di utilità, anche se
alcune funzioni sono più usate
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• Da quanto detto finora, emerge che è
possibile associare un valore di utilità a
ciascun risultato certo xi. Occorre sottolineare
che questa funzione esprime le preferenze
del singolo decisore, e dunque decisori
diversi, pur accentando gli stessi assiomi,
possono avere funzioni di utilità molto
diverse. L’unica proprietà che deve avere una
u(x) perché sia una funzione di utilità
(rappresentando x una quantità di denaro) è il
fatto che sia una funzione monotona
crescente.
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Determinazione di u(•)
• Applicazione accurata dell’assioma
di continuità
• Esempio: un investitore deve
scegliere tra 3 alternative (lotterie):
a1, a2, a3
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Variazione indice Dow-Jones (%)
< -3
[-3,+2]
> +2
a1
110
110
110
a2
100
105
115
a3
90
100
120
Decisioni
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Assessment
• Ricavando la funzione di utilità per i
sei risultati certi in esame, si potrà
calcolare l’investimento più
“razionale” per il decisore in
questione
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L’insieme X dei risultati
• In questo caso X consiste di tutti i
possibili risultati, vale a dire
120, 115, 110, 105, 100, 90
x1
xr
• Le lotterie di riferimento hanno
come “premi” 90 e 120
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Assessment
• L’analista pone domande del tipo:
cosa sceglierebbe tra queste due?
110
0.5
120
0.5
90
L
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che la risposta sia:
“110 sicuri”
• Possiamo già escludere che l’utilità
di 110 sia inferiore 0.5
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Assessment (cont.)
• L’analista pone allora la seguente
alternativa
110
0.875
120
0.125
90
L
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che stavolta la
risposta sia: “la lotteria”
• Possiamo escludere che l’utilità di
110 sia superiore a 0.875
• Si prosegue fino a individuare quel
valore di probabilità per cui si ha
indifferenza
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Assessment (cont.)
• Supponiamo che si abbia per:
110
0.8
120
0.2
90
~ L
• Da cui, u(110)=0.8
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Assessment (cont.)
• Procedendo allo stesso modo si
può determinare l’utilità degli altri
valori, ad esempio
u(100)=0.4
u(105)=0.6
u(115)=0.95
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Verifica della consistenza
115
0.75
120
0.25
110
L
• U[L] = 0.75 * u(120) + 0.25 *u(110)
= 0.75 * 1 + 0.25 *0.8 = 0.95
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Verifica della consistenza
• Poiché era stato misurato che
l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di
fornte alla scelta il decisore
dovrebbe dichiararsi indifferente
• Se ciò non accade:
– vanno rivisti i valori di utilità
– il decisore rifiuta gli assiomi di von
Neumann…
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Tavole di decisione, analisi di
decisione e funzioni utilità
• Che relazione esiste tra la scelta tra
lotterie e la scelta in condizioni di
rischio?
• Cerchiamo di individuare una
corrispondenza tra lotterie e tavole di
decisione.
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1
Stati di natura
2
3
a1
x11
x12
x13
a2
x21
x22
x23
a3
x31
x32
x33
P(1)
P(2)
P(3)
Decisioni
Probabilità
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Consideriamo la seguente lotteria
semplice:
lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn>
Allora
ak  lk
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NOTE
• Nella precedente equivalenza abbiamo
leggermente modificato la notazione
introdotta per le lotterie. In particolare:
1. Non assumiamo che i premi siano ordinati
secondo un ordine decrescente, cioè non
assumiamo che x1  x2  …  xr .
Inoltre, le m lotterie che possono essere
costruite a partire dalle azioni nella tavola di
decisione hanno il seguente insieme dei
premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
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• 2. Ogni conseguenza che risulta impossibile
sotto la scelta ak non appartiene all’insieme
dei premi (cioè non si considerano premi che
hanno probabilità nulla).
3. Che cosa succede se due scelte diverse
conducono agli stessi risultati?
Nella notazione precedente non avevamo
posto assunzioni sul fatto che i premi fossero
tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma
che se due premi sono uguali (o ugualmente
graditi), allora le lotterie che si possono
costruire sono tra loro equivalenti.
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Assioma 7. Equivalenza di
situazioni di incertezza
• Sia data la tavola di decisione
precedente e siano li le m lotterie da
essa estratte come mostrato. Allora il
decisore considera la sua scelta nella
tavola di decisione identica alla scelta
tra le suddette m lotterie. In particolare,
ai  ak  li  lk,  i,k=1,2,…,m.
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Corollario
• Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal
Teorema di von Neumann-Morgenstern
discende che
ai  ak  l i  l k 
n
 P( )u(x
j1
j
n
ij
)   P(j )u(x kj )
j1
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Riassumendo
• Dall’Assioma di continuità discende che
la funzione di utilità è univocamente
determinata.
• La funzione di utilità è una funzione che
permette di ordinare lotterie/decisioni
assumendo il fatto che le utilità attese
calcolate siano effettivamente coerenti
con le preferenze del decisore.
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• Teorema. Se u è una funzione di utilità
su X, allora w = u +  (>0) è a sua
volta una funzione di utilità che
rappresenta le stesse preferenze.
Viceversa, se u e w sono due funzioni di
utilità su X che rappresentano le stesse
preferenze, allora esistono >0 e  t.c.
w = u + .
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