Chiara Massarani
Classe V°A
“EUCLIDS AND HIS
MODERN RIVALS”
Giugno 2001
CARTOGRAFIA
GEOMETRIA
GEOMETRIE
EUCLIDEA
NON EUCLIDEE
COSMOLOGIA
KANDINSKY
ESCHER
RELATIVITA’
GENERALE
EUCLIDS
and his
MODERN
RIVALS
FILOSOFIA E
TEORIE
SCIENTIFICHE
Vassily KANDINSKY
(1866-1944)
“L’opinione dominante fino ad oggi, che
sarebbe fatale <<scomporre>> l’arte, perché
questa scomposizione porterebbe
inevitabilmente alla morte dell’arte , deriva
dalla ignara sottovalutazione degli elementi
in se stessi e delle loro forze primarie”
La danzatrice
Palucca
Punto linea e superficie, 1926
Il cavaliere
azzurro
PUNTO
LINEA
SUPERFICIE
“tra silenzio e
parola”
“Forma piu’ concisa
dell’infinita possibilita’ di
movimento”
“…la relativita’ della
composizione per la
superficie di fondo”
-ALTRE ARTI. MUSICA
- MATERIALE E IMMATERIALE
- ASPETTO: FORMA E TENSIONE
-FORMAZIONE DI SUPERFICI
- DISTRIBUZIONE DEL PESO
- TENSIONI: SPESSORE E ANDA-
- LIRICA E DRAMMATICITA’:LA
MENTO E PIU’ LINEE
- TRIANGOLO - CUBO - CERCHIO
QUIETE DEL CERCHIO
-FILOSOFIA E TEORIE SCIENTIFICHEPROBLEMA DELLA NATURA DELLO SPAZIO FISICO
“Lo spazio e’ una rappresentazione necessaria a priiori, la quale e’ a fondamento di tutte le
istituzioni esterne. Non si puo’ mai formare la rappresentazione che non vi sia spazio, sebbene
si possa benissimo pensare che in esso non si trovi nessun oggetto. Lo spazio viene quindii
considerato come la condizione della possibilita’ dei fenomeni, non come determinazione
dipendente da essi: ed e’ una rappresentazione a priori, la quale e’ necessariamente a
fondamento di fenomeni esterni.”
Immanuel Kant (1724-1804)
KUHN
FEYERABEND
(1922)
(1924)
“Per un certo periodo forniscono
un modello di problemi e soluzioni”
“Qualsiasi cosa puo’ andar bene
tra quel proliferare di teorie”
PIU’ PARADIGMI:UNO PREVALE
NON DISCUSSIONE
RAZIONALE
MA QUALI PROBLEMI
PRIVILEGIARE
ANARCHISMO METODOLOGICO
NON UNICA TEORIA VERA
POINCARE’
LOTTA x TOLLERANZA
(1854-1912)
SCIENZA: MITO
“Gli spazi geometrici non sono ne’
giudizi sintetici a priori ne’ fatti
sperimentali. Sono delle
convenzioni; edelle libere
produzioni dello spirito umano. Gli
assiomi non sono altro che
definizioni mascherate. E’
questione di comodita’.”
La danzatrice
Palucca
Un salto…
…e il suo schema grafico
Diagonale disarmonica
SF accelerante
Il cavaliere
azzurro
L’abbandono del figurativo...
Improvvisazione V Parco, 1911
…e l’approdo all’astrattismo
Diagonale disarmonica
SF accelerante
Nel quadro nero, 1923
“EUCLIDS AND HIS MODERN RIVALS”
(1879)
CHARLES LUTWINDGE DODGSON (1832-1898)
Victorian Age
-CRISIS OF MODERNITYPseudonym
Real name
Famous for
children’s stories
Light-hearted
defending of Euclid
Alice’s
Adventures in
Wonderland
Scientific non
sensical world
Euclidian geometry: basis
for our perception of the
world
“TO THE PUPIL
.
“Beloved Pupil!Tamed by thee, addish, subtrac, multiplication, division,
fractions, rule of three, attese thy deft manipulation!
Then onward!Let the voice of fame from age to age repeat thy story,
till thou hast won thyself a name, exceeding even euclid’s glory!”
A tangled tale - 1885
“...LA VERA CARTOMANZIA
poiche’ richiede una vera e propria
divinazione matematica...” Odifreddi
DIMOSTRAZIONE MATEMATICA DI EULER
(1775)
-PROBLEMA METRICO (NON ISOMETRIA) E NON TOPOLOGICO“IL COMPROMESSO”
CONFORME ANGOLI
PROIEZ.DI
MERCATORE
GEODETICA
LOSS.=RETTA
MERID.
PROIEZ.
GNOMONICA
EQUIVALENTE PARAL
.PROIEZ.CIL.
CENTRALE
ORT/GEOD.=RETTA
PIANO
ORT/GEOD.=RETTA
CILINDRO
EQUIDISTANTE
GEOMETRIA EUCLIDEA
EUCLIDE
III sec a.C.
V. Risulti postulato: che se una retta venendo a cadere su due
rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minore di
due retti(=tali che la loro somma sia minore di due retti), che
due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi
da quella parte in cu sono gli angoli minori di due retti (=la cui
somma e’ minore di due retti).
Elementi
HILBERT
“…la descrizione esatta e
completa, ai fini
matematici, di queste
relazioni segue dagli assiomi
della geometria.”
Fondamenti della
geometria,1899
fine XIX sec.
Assiomi della geometria:
Geometria assoluta
Geometria del piano euclideo
• I incidenza
• V assioma della parallela
• II ordinamento
• III congrenza
• IV continuita’
Dati una retta r e un punto P
che non le appartiene, esiste
una ed una sola retta che
passa per P e non interseca r
GEOMETRIE NON EUCLIDEE
SACCHERI(XVIII
sec)
PER ASSURDO(falso),
MA AUTORIFIUTO
V POSTULATO
•non costruttivo
•prop inversa dimostrata
con altri assiomi
•base per teoremi
Lobacevskij
Bolyai - Gauss (XIX sec)
GENERALIZZAZIONE
DELLA GEOMETRIA
EUCLIDEA
“...non capere in
triangol due
ottusi…” Dante
(par.XIII,15)
ASSIOMA
PARALLELA
“LIMITE
CLASSICO”
CLASSIFICAZIONE DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE DI KLIEN
+ NESSUNA
ELLITTICA
REIMANN 1854
GEODETICHE
INFIN.
- INFIN.
KLEIN 1872
CERCHIO E
DISTANZA INFINITA
LOG DEL BIRAPPORTO
IPERBOLICA
BELTRAMI 1868
TRATTRICE E TANGENTE
PSEUDOSFERA
PIANO DI
PIANO DI KLEIN
REIMANN
K = 1 / r2
DISTANZA INFINITA
LOG DEL BIRAPPORTO
PIANO DI
BELTRAMI
PROIEZ.
GNOMONICA
PROIEZ.DI
MERCATORE
.PROIEZ.CIL.
CENTRALE
CILINDRICA
MERCATORE
MERCATORE
GNOMONICA
• GEODETICA (ortodromica)
• LOSSONDROMICA
Maurits Cornelis ESCHER
(1889-1972)
“Non so immaginare che cosa la mia vita sarebbe stata senza
questo problema. Mi imbattei molto tempo fa, durante le mie
peregrinazioni; vidi un alto muro e, come per la premonizione di
un’enigma lo scalai con qualche difficolta’. Dall’altro lato, pero’,mi
trovai in una giungla; dopo essermi aperta la via con grande
sforzo giunsi alla porta aperta della matematica, da cui si
dipartivano cammini in ogni direzione. A volte penso di averli
percorsi tutti, ammirandone le vedute; e poi improvvisamente
scopro un nuovo cammino e sperimento una nuova delizia”
Tassellazione del
piano euclideo
Tassellazione
dello spazio
PIANO
IPERBOLICO
PIANO
ELLITTICO
Tassellazione del piano...
…e dello spazio
Tassellazione
Riflesso-traslazione
PIANO
IPERBOLICO
PIANO
ELLITTICO
-Limiti del cerchio-
-”il concavo cielo”
(Pascoli-X Agosto)
-
MODELLI DI ESPANSIONE DELL’UNIVERO
Galassie che si allontanano occupano in loro movimento
punti diveri dello spazio preesistente
HUBBLE E
CEFEIDI
Ogni galassia puo’ esere considerata come al centro del moto di
recessione di tutte le altre galassie (modello bidimensionale)
Implosione
Esplosione
Gravitazione
Big bang
APERTO
pU<pC
EUCLIDEO
CHIUSO
pu=pC
pU<pC
pC = 1,03 * 10 -26 kg/m3
6 protoni * m3
Espansione dell’universo non e’ moto delle galassie, ma crescita
spazio tra di esse (modello bidimensionale)
-RELATIVITA’ GENERALE“ La gravita’ e’ lo spazio-tempo in azione” Wheeler
LEGGI DELLA FISICA CON STESSE FORME IN TUTTI I
SISTEMI DI RIFERIMENTO
1. Masse incurvano lo spazio-tempo
SPAZI CURVI
SPAZI PIATTI
REL RISTRETTA
REL GENERALE
> masse
> curvatura
eq. Campo Einstein
LIMITE
CLASSICO
2. Corpi seguono le geodetiche
segmenti
Conferme sperimentali:
• deflessione luce (E=m*c2)
• redshift gravitazionale
(c.g.rallenta masse)
geodetiche
Max circonf.
Previsioni teoriche:
• onde gravitazionali
(diversa posiz.masse = cambia
spazio-tempo)
(supernova-sistema binario)
Spostamenti possibili
Deflessione del raggio di luce
Le rette
Limite classico
“ La gravita’ e’ lo
spazio-tempo in
azione” Wheeler
Triangolo sulla sfera
Movimento lungo le geodetiche
Modello bidimensionale
-”il concavo cielo”
(Pascoli-X Agosto)-
I 3 modelli di espansione dell’Universo
Bibliografia
• Kandinsky - CATALOGO MOSTRA - Fondazione Mazzotta
• Kandinsky - OPERE DAL CENTRE GEORGES POMPIDOU
• Kandinsky -PUNTO LINEA E SUPERFICIE - Adelphi
• Odifreddi - IL COMPUTER DI DIO - Cortina Editore
• Guglielmini - GUIDA AL DIPORTO NAUTICO
• Magnani - LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE - Zanichelli
• Carroll - UNA STORIA INTRICATA- Racconti matematici
• Amaldi - LA FISICA PER I LICEI SCIENTIFICI vol. II-III - Zanichelli
• AA VV - IL MONDO DI ESCHER - Garzanti
• Maraschini Palma - FORMAT Spe vol. III - Paravia
• Abbagnano - FILOSOFI E FILOSOFIE NELLA STORIA - Paravia