CLASSE 3BS
a.s. 2009/2010
Disequazioni
di 2° grado
In questa presentazione verrà mostrato,
ricorrendo ad alcuni esempi,
come si risolvono le
disequazioni di 2° grado
ed in particolare
come si scrivono le soluzioni.
Premessa
Risolvere la disequazione di secondo grado
x  6x  9  0
2
se si considera la parabola
y  x  6x  9
2
equivale ad individuare i punti della parabola
aventi ordinata positiva
Pertanto, nella risoluzione di una
disequazione di 2° grado, si può
ricorrere al grafico “qualitativo”
di una parabola che funga da guida
nella scrittura delle soluzioni.
Nota Bene: Per comodità grafica, nei
grafici che seguono, non verrà
rappresentato l’asse y.
La soluzione di una disequazione, come si
vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S
(proprio o improprio) dell’insieme dei
numeri reali R
Esempio N°1
1
x  6x  9  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  6x  9  0
2
x2  6x  9  0
2
Risolviamola con la formula ridotta
trovando le eventuali radici reali…
3  9  1  9 
x
1
x  3 0
x  3 0
x3
x3
RADICI REALI COINCIDENTI
3
x3
Posizioniamo tale valore sull’asse x
3
x
1x  6 x  9  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per il punto trovato e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
3
x
5
x2  6x  9  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  6 x  9 aventi ordinata
positiva,
>0
3
x
evidenziamo i punti della parabola
che hanno ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse x
>0
3
x
x2  6x  9  0
6
L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è costituito
dai valori reali x tali che:
x3
x3
3
ossia
x
S  R  3 
Esempio N°2
1
x  2x  5  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  2x  5  0
2
x2  2x  5  0
2
Risolviamola con la formula ridotta
trovando le eventuali radici reali…
1  1  1  5
x
1
x  1  4
3
NON ESISTONO RADICI REALI!!!
Pertanto non possiamo posizionare
alcuna radice reale sull’asse x!!!!
x
4
1x  2 x  5  0
2
Disegniamo una parabola che non
interseca l’asse x e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
x
5
x2  2x  5  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
y  x 2  2 x  5 aventi ordinata
positiva,
>0
x
evidenziamo i punti della parabola
aventi ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse x
>0
x
x2  2x  5  0
6
L’insieme S di numeri reali in cui la
disequazione data è soddisfatta è costituito
da……
x
….da tutti i numeri reali!
ossia
SR
Esempio N°3
1
x  5x  6  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  5x  6  0
2
x 2  5x  6  0
2
Risolviamola, trovando le eventuali radici reali
5  25  4 1 6
x
2
5 1
x
2
5 1
x
2
x2
x3
3
x2
x3
Posizioniamo le radici sopra
l’asse x
2
3
x
1x  5 x  6  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per i punti trovati e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
2
3
x
x 2  5x  6  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  5x  6 aventi ordinata
negativa,
2
3
x
<0
evidenziamo i punti della parabola
aventi ordinata negativa
5
e proiettiamoli sull’asse x.
2
3
x
<0
x 2  5x  6  0
6
L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è costituito
dai valori reali x tali che:
2 x3
2
cioè
3
x
S   x R 2  x  3 
Esempio N°4
1
x  2x 1  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  2x 1  0
2
x2  2x 1  0
2
Risolviamola con la formula ridotta
1  1  1 1
x
1
x  1 0
x  1 0
x 1
x 1
RADICI REALI COINCIDENTI
3
x 1
Posizioniamo tale valore sull’asse x.
1
x
1x  2 x  1  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per il punto trovato e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
1
x
5
x2  2x 1  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  2 x  1 aventi ordinata
negativa,
1
x
<0
evidenziamo i punti della parabola
che hanno ordinata negativa …
NON CI SONO PUNTI
CON ORDINATA NEGATIVA!!!
1
x
<0
6
x2  2x 1  0
Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui
la disequazione è soddisfatta è ……
1
...l’insieme vuoto!!!!!
ossia
S 
x
Esempio N°5
1
x  5x  0
2
Consideriamo l’equazione corrispondente
x  5x  0
2
x 2  5x  0
2
Risolviamola, trovando le radici
x0
x0
xx  5  0
x 5  0
x5
3
x0
x5
Posizioniamo le radici sopra
l’asse x
0
5
x
4
1x  5 x  0
2
Disegniamo la parabola che passa
per i punti trovati e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
0
5
x
5
x 2  5x  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola che
hanno ordinata positiva oppure nulla,
0
0
5
x
evidenziamo i punti della parabola aventi
ordinata positiva o nulla e proiettiamoli
sull’asse x
0
0
5
x
6
x 2  5x  0
L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è
costituito dai numeri reali x tali che:
x5
x0
0
ossia
5
x
S  x R x  0  x  5 
Esercizi
1 2x2  x  4  0
2  x 2  7 x  12  0
3 2x2  7x  3  0
4 x2  7x  0
5 x 2  25  0
6 4x2  7x  0
FINE