Prof. Fernando D’Angelo
Classe 3BS – PNI
a.s.2010/2011
Disequazioni di secondo grado
In questa presentazione verrà
mostrato,
ricorrendo ad alcuni esempi,
come si risolvono le
disequazioni di 2° grado
ed in particolare
come si scrivono le loro soluzioni.
Premessa
Risolvere la disequazione di secondo grado
x  10 x  25  0
2
se si considera la parabola
y  x  10 x  25
2
equivale ad individuare i punti della parabola
aventi ordinata positiva
Pertanto, nella risoluzione di una
disequazione di 2° grado, si può
ricorrere al grafico “qualitativo”
di una parabola che funga da guida
nella scrittura delle soluzioni.
Nota Bene: Per semplicità grafica, nei
grafici che seguono, non verrà
rappresentato l’asse y.
La soluzione di una disequazione, come si
vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S
(proprio o improprio) dell’insieme dei
numeri reali R
Esempio N°1
1
x  10 x  25  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  10 x  25  0
2
x 2  10 x  25  0
Risolviamola con la formula ridotta
trovando le radici reali…
5  25  1 25
x
1
x  5 0
2
x  50
x5
x5
radici reali coincidenti
3
x5
Posizioniamo tale valore sull’asse x
5
x
1x  10 x  25  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per il punto trovato e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
5
x
5
x 2  10 x  25  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  10 x  25 aventi ordinata
positiva,
>0
5
x
evidenziamo i punti della parabola
che hanno ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse x
>0
5
x
x 2  10 x  25  0
5 L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è costituito
dai valori reali x tali che:
x5
x5
5
ossia
x
S  R  5 
Esempio N°2
1
x  4x  6  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  4x  6  0
2
x  4x  6  0
2
2
Risolviamola con la formula ridotta
trovando le eventuali radici reali…
2  4  1  6 
x
1
x  2 2
non esistono radici reali!!!
3
…pertanto non possiamo posizionare
alcuna radice reale sull’asse x!!!!
x
1x  4 x  6  0
2
4
Disegniamo una parabola che non
interseca l’asse x e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
x
5
x2  4x  6  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
y  x 2  2 x  5 aventi ordinata
positiva,
>0
x
evidenziamo i punti della parabola
aventi ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse x
>0
x
x  4x  6  0
2
5
L’insieme S di numeri reali in cui la
disequazione data è soddisfatta è costituito
da……
x
….da tutti i numeri reali!
ossia
SR
Esempio N°3
1
x  2 x  15  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  2 x  15  0
2
x  2 x  15  0
2
2
Risolviamola, trovando le eventuali radici reali
 1  1  1   15
x
1
x  1 16
x  1 4
x  5
x3
3
x  5
x3
Posizioniamo le radici sopra
l’asse x
5
3
x
1x  2 x  15  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per i punti trovati e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
5
3
x
x 2  2 x  15  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  2 x  15 aventi ordinata
negativa,
5
3
x
<0
evidenziamo i punti della parabola
aventi ordinata negativa
5
e proiettiamoli sull’asse x.
2
3
x
<0
x 2  2 x  15  0
6
L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è costituito
dai valori reali x tali che:
5  x  3
5
cioè
3
x
S   x R -5  x  3 
Esempio N°4
1
x  4x  4  0
2
Consideriamo l’equazione associata
corrispondente
x  4x  4  0
2
x2  4x  4  0
2
Risolviamola con la formula ridotta
2  4  1  4 
x
1
x  2 0
x  20
x2
x2
radici reali coincidenti !
x2
3
Posizioniamo tale valore sull’asse x.
2
x
1x  4 x  4  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per il punto trovato e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
2
x
x2  4x  4  0
5
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola
2
y  x  4 x  4 aventi ordinata
negativa,
2
x
<0
evidenziamo i punti della parabola
che hanno ordinata negativa …
non ci sono punti
con ordinata negativa!!!
2
x
<0
x2  4x  4  0
6
Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui
la disequazione è soddisfatta è ……
2
...l’insieme vuoto!!!!!
ossia
S 
x
Esempio N°5
1
x  4x  0
2
Consideriamo l’equazione corrispondente
x  4x  0
2
x2  4x  0
2
Risolviamola, trovando le radici
x0
x0
x   x  4  0
x4  0
x4
3
x0
x4
Posizioniamo le radici sopra
l’asse x
0
4
x
1x  4 x  0
2
4
Disegniamo la parabola che passa
per i punti trovati e,
poiché il primo coefficiente a è
positivo,
avente la concavità verso l’alto.
0
4
x
5
x2  4x  0
Poiché nella disequazione siamo
interessati ai punti della parabola che
hanno ordinata positiva oppure nulla,
0
0
4
x
evidenziamo i punti della parabola aventi
ordinata positiva o nulla e proiettiamoli
sull’asse x
0
0
4
x
x2  4x  0
6
L’insieme S di numeri reali, in cui la
disequazione data è soddisfatta, è
costituito dai numeri reali x tali che:
x4
x0
0
ossia
4
x
S   x R x  0  x  4 
Esercizi
1 x2  x  3  0
2  x 2  7 x  12  0
3 3x 2  7 x  2  0
4 x2  6x  0
5 x 2  16  0
6 4x2  9x  0
FINE