La sezione
Aurea
Liceo Artistico
Statale
aolo aniani
i Busto Arsizio
Montecchio
Serena
lasse 5sD
Anno Scolastico
2005-2006
La sezione aurea
 consierata la
legge universale
ell'armonia, la
giusta proporzione
tra ue elementi
perch essi
appaiano armoniosi
all'occhio
umano
Anoni
mo
Quando si parla di SEZIONE AUREA si parla di un NUMERO
“molto speciale” anche se la sezione aurea non corrisponde al
numero aureo, tutt’altro: i due sono RECIPROCI.
Molte realtà che si trovano in natura, letteratura, matematica,
musica, arte anche se così diverse tra loro condividono un
numero o una proporzione geometrica.
Il RAPPORTO AUREO è un insieme di significati
QUANTITATIVI (rapporto tra cose secondo grandezza o qualità)
ed ESTETICI (rapporto tra cose armonioso).
Il fascino del RAPPORTO AUREO dipende dalla sua
propensione a comparire dove meno lo si aspetta
E’ così che nel corso degli anni, diversi teorici hanno studiato il
RAPPORTO AUREO scoprendo e creando dei principi
capaci di collegare esempi di fenomeni aurei.
Forse l'uomo, quasi senza rendersene conto, ha riconosciuto in
natura questo principio e lo ha utilizzato come strumento per
giudicare e comprendere le opere d'arte.
Tuttavia questi teorici non sono riusciti a dimostrare che il
RAPPORTO AUREO è una regola universale utilizzata da
pittori, artisti, architetti, musicisti etc.
Per studiare la sezione aurea in diversi ambiti, e il
conseguente rapporto aureo interpretato nel corso
degli anni, bisogna prima di tutto capire la SEZIONE
AUREA e il NUMERO AUREO nel campo matematico
SEZIONE AUREA
SEZIONE AUREA
NUMERO AUREO
reciproco
NUMERO AUREO
La sua particolarità è dovuta dal fatto che
compare negli ambiti più inaspettati:
Matematica
Natura
Storia dell’arte
Architettura
Musica
La eometria ha
ue grani tesori:
uno  il teorema i
itagora; l'altro 
la Sezione Aurea i
un segmento
Il primo lo possiamo
paragonare a un
oggetto
'oro;
il
Johannes
Keplero
(
secono lo possiamo
La sezione aurea in Matematica
•
La sezione aurea
- Procedimento con calcolo numerico
- Procedimento geometrico
•
Il numero aureo
- La sequenza di Fibonacci e lo
studio di Luca Pacioli
- Il triangolo aureo
- Il rettangolo aureo
- La spirale logaritmica
La sezione aurea viene indicata abitualmente con la
LETTERA GRECA Φ (phi) e corrisponde ad un numero
irrazionale legato a numerose costruzioni geometriche. La più
semplice, dalla quale viene poi ricavato il suo valore, è riferita
al segmento:
• dato un segmento AB;
• si prende un punto C compreso tra A e B;
• il segmento AC medio proporzionale tra il
segmento AB e il segmento CB è detto
SEZIONE AUREA del segmento AB
A
B
A
C
B
A
C
B
sezione
aurea di AB
Il valore della sezione aurea Φ viene calcolato con il:
PROCEDIMENTO CON CALCOLO NUMERICO
• se il segmento AB ha lunghezza = L;
A
B
L
• la sezione aurea AC=x ha valore pari
alla soluzione dell’equazione:
A
x
x2 + Lx – L2 = 0
x = (√5 - 1)L / 2
C
L
≈ 61,8 % di L
Φ ═ (√5 - 1) / 2 = 0,61803398874989484…
B
Graficamente, la sezione aurea può essere
rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b,
tali che il rapporto tra l'intero segmento a + b e la parte
più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga
a e la parte più corta b
a
b
a+b
(a + b) : a = a : b
(PROPORZIONE ESTREMA E MEDIA definita da
EUCLIDE)
Anche le due parti a e b così ottenute sono tra
loro in RAPPORTO AUREO, così come la parte
più piccola con la differenza tra le due parti:
a : b = b : (a – b)
Costruzione della sezione aurea di un segmento:
PROCEDIMENTO GEOMETRICO
 consideriamo il segmento AB
A
B
C
 tracciamo da uno dei suoi estremi (A) un
segmento (AC) perpendicolare ad esso
e lungo la metà di AB
A
B
C
 uniamo gli estremi liberi (BC) ottenendo
il triangolo ABC
 puntiamo il compasso in C con apertura
CA e riportiamo la misura sull’ipotenusa
del triangolo ottenendo il punto D
 facciamo centro con il compasso in B e
riportiamo il punto D sul segmento AB
ricavando il punto E
A
B
 AE è la sezione aurea del segmento AB
1
Ponendo:
• AB = 2
1
Si può ricavare:
• AC=CD=1
• BC=√5
2
Considerando la “proporzione estrema e media” di Euclide si può dimostrare che:
AB:AE=AE:EB
AE=Φ=(√5-1)/2
AE = sezione aurea del segmento AB
Il NUMERO AUREO (o proporzione divina) deriva dalla suddivisione in
“estrema e media ragione” definita da Euclide ed è pari a:
φ = f = (√5 + 1) / 2 = 1,61803398874989484…
Il NUMERO AUREO gode di molte proprietà inconsuete
1/f = f-1
f2 = f+1
f3 = 2f+1
f4 = 3f+1
Ogni potenza è la somma delle due precedenti, come accade per la successione di Fibonacci
Il numero aureo è il limite a cui tende il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi
La sequenza di Fibonacci
Leonardo Pisano, matematico medioevale, nel 1202 scrive il
trattato “Liber Abbaci” in cui rivela una “magica” e antica
sequenza che solo in tempi più recenti prenderà il suo nome
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
 La somma di due termini adiacenti è uguale al
successivo
 Il quoziente di due numeri adiacenti tende man mano
che i numeri diventano grandi al valore 1.618
 tre numeri consecutivi estrapolati in un punto
qualsiasi della successione (fatta eccezione per i
primissimi termini) sono, grazie ad una straordinaria
approssimazione, eccellenti valori numerici per la
realizzazione di segmenti in proporzione aurea.
A partire da questa successione, se formiamo una serie
di tipo frazionario emergono i seguenti rapporti:
1/1, 2/1,3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …
I valori approssimati sono:
1, 2, 1.5, 1.666, 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617, 1.6181, 1.6180, …
Il numero d’oro della sezione aurea è l’unico numero esistente per cui
valgono le seguenti condizioni:
0,618 = 1/1,618 = 1,618 – 1
sottraendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo valore per
inverso e cioè il valore della sezione aurea
1,618 ² = 2,618 = 1,618 + 1
aggiungendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo quadrato
Luca Pacioli fu il primo ad esporre in modo chiaro e completo la “secretissima scientia” del numero
d’oro in un trattato pubblicato nel 1509 dal titolo significativo “De Divina proporzione” in cui presentò
13 proprietà del rapporto aureo, allegate ai 5 disegni dei solidi platonici di Leonardo Da Vinci.
Nell’opera confluiscono studi su Platone, Euclide, Fibonacci, il pensiero di Piero Della Francesca, il
sapere di Leon Battista Aberti, contatti con Albrecht Dürer: un concentrato di “divina sapienza”
Precedentemente Vitruvio, celebre architetto dell'antica Roma, scrisse il "De Architectura", un'opera in dieci
volumi, tra il 25 e il 23 a.C., quando Augusto - a cui è dedicata l'opera - intraprendeva un grandioso
programma di costruzioni pubbliche a Roma e nell‘Impero. Essa costituisce una fonte essenziale per la
conoscenza delle tecniche edilizie e dei materiali da costruzione, degli edifici pubblici e privati,
dell'urbanistica e dell'agrimensura dei Romani. Vitruvio descrisse le proporzioni del corpo umano e Leonardo
Da Vinci le immortalò nel “UOMO VITRUVIANO”.
“Divina proporzione; opera a tutti gli ingegni
perspicaci e curiosi necessaria ove ciascun
studioso di prospettiva, pittura, architettura,
musica e altre matematiche soavissima
sottile e ammirabile dottrina conseguirà e
dilettarassi con varie questioni di
segretissima scienza”
De divina proportione, Luca Pacioli
Triangolo aureo
I Pitagorici studiando il numero d’oro scoprirono che il lato del
decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea
del raggio.
• disegniamo un decagono regolare e
tracciamo le sue diagonali
A
• consideriamo un triangolo isoscele ABC:
per le proprietà della geometria elementare
l’angolo al vertice CÂB è pari a 36° mentre gli altri
due, AĈB e CBA sono pari a 72°
36°
72°
72°
C
B
A
• bisechiamo uno dei due angoli di 72° (AĈB) e otteniamo
il triangolo CBD con gli stessi angoli di ABC
• con l’aiuto della geometria elementare e in accordo
con la definizione di Euclide si può dimostrare che
il punto D divide la linea AB secondo il rapporto aureo
36°
D
36° 72°
C
B
A
In un decagono regolare (o pentagono
regolare) il rapporto tra la diagonale e il
lato è pari a Φ
l
r
D
r-l
Il triangolo ABC è simile al triangolo DBC
r : l = l : (r-l)
C
l
B
l è sezione aurea del raggio r
I Pitagorici costruendo il pentagono regolare intrecciato o stellato (ottenuto
dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no) si accorsero
che la diagonale e il lato del poligono hanno come rapporto phi.
Essi chiamarono il pentagono
pentagramma, lo considerarono
simbolo di armonia e lo assunsero
come loro segno di riconoscimento.
B
C
Rettangolo aureo
A
D B
C
E
F
A
D
 disegnare un quadrato ABCD
 disegnare altri quadrati via via più piccoli
disposti a spirale
 Il lato di ogni quadrato fratto il lato del
quadrato che lo segue nella successione
(AB/EF) è un rapporto aureo
 Il rettangolo così costruito è detto
RETTANGOLO AUREO
Rettangolo aureo
Chiamiamo rettangolo aureo un rettangolo che abbia
come altezza il segmento AB e per base un segmento
AE = ad AB più la sua sezione aurea BE.
• Disegnamo un quadrato ABCD, tracciamo la sua
mediana verticale PQ, dividendolo in due rettangoli
uguali, dopodiché tracciamo la diagonale PC di uno
dei rettangoli così ottenuti.
• Prolunghiamo i due lati orizzontali del quadrato e
puntando il compasso in P proiettiamo la diagonale
del rettangolo PBCQ sul prolungamento del lato di
base, ottenendo il punto E.
• Alziamo dal punto E la verticale e otteniamo il
rettangolo aureo AEFD, la cui sezione aurea è
costituita dal rettangolo (a sua volta aureo) BEFCD.
Spirale logaritmica
La curva si aggira intorno al polo senza mai raggiungerlo
SPIRALE
LOGARITMICA:
curva matematica il
cui grado di
perfezione
geometrico dipende
esclusivamente dalle
«proporzioni auree»
che regolano lo
sviluppo delle sue
volute
All'interno di ogni quadrato è riportata la misura del suo lato.
La sezione aurea si insinua anche nei regni della
Natura
La conchiglia del Nautilus
pompilius segue una curva il cui
fattore di crescita costante è
rigorosamente «aureo», la sua
forma è una spirale logaritmica
La spirale che si forma in tre dimensioni
prende il nome di elica conica.
Le corna del Muflone sono quelle che
meglio seguono una struttura ad elica
conica
LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI
Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano
mai. Come si vede dal grafico all’inizio dell’esperimento abbiamo 1 coppia di conigli giovani. Dopo un anno
rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli ma adulti. Dopo 2 anni la femmina ha generato un’altra coppia di
conigli, quindi nel recinto abbiamo 2 coppie. Al terzo anno la prima coppia ne ha generata un’altra, mentre la
seconda non è stata in grado di procreare in quanto giovane, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli.
Passato un altro anno le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea, quindi
nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di anno in anno. (SERIE DI FIBONACCI)
Ammirando un girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza l’insieme di spirali
orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità (SPIRALI LOGARITMICHE).
La spirale rossa è costituita da 55 semi, quella verde 89: due numeri consecutivi
della SERIE DI FIBONACCI, e più esattamente quelli che maggiormente si
avvicinano alla sezione aurea il cui rapporto 89/55 dà 1,61818
cavolfiori con rami spiraliformi
In molte specie di vegetali in particolar
modo le astaracee il numero dei petali
di ogni fiore è un NUMERO DI
FIBONACCI come 5, 13, 21,55
Analizzando la fillotassi, cioè la distribuzione delle
foglie sul fusto delle piante, costante in ogni specie, si
ha un'ulteriore dimostrazione che sia la sezione aurea
sia i NUMERI DI FIBONACCI sono presenti in natura.
Fu Keplero a rivelare che su molti tipi di
alberi le foglie sono allineate secondo
uno schema che comprende due numeri
di Fibonacci. Partendo da una foglia
qualunque, dopo uno, due, tre o cinque
giri dalla spirale si trova sempre una
foglia allineata con la prima e a seconda
delle specie, questa sarà la seconda, la
terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima
foglia.
L’aria umida in rotazione sale a SPIRALE e poi si allarga in quota
Uragano "Linda" sorto durante un
"el Nino" si sposta verso nord-est
nel settembre del 1997
sforzando la costa occidentale del
Messico. Con venti che soffiano a
oltre 300 Km orari,
Linda è tra le tempeste più violente
mai registrate nell'Oceano Pacifico.
Parte della struttura interna
dell'orecchio (coclea), è
riconducibile ad una SPIRALE
LOGARITMICA seguendo le leggi
della sezione aurea
Misurando le dita
della nostra mano
notiamo che i
rapporti tra le
lunghezze delle
falangi del dito medio
e anulare sono aurei
(PROPORZIONE
EUCLIDEA)
E’ aureo il rapporto
tra la lunghezza del
braccio e
l'avambraccio, tra la
lunghezza della
gamba e la sua parte
inferiore
L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto
di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro
istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che
definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze
tra gli elementi che compongono il viso sono
strettamente legati alla proporzione aurea.
Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei:
A/a= tra l'altezza e larghezza del viso.
B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte.
C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi.
D/d= altezza e larghezza del naso.
E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca.
F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza.
H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.
Di uesti numeri si
servono gli
architetti non
confusamente e alla
mescolata, ma in
moo che
corrisponano e
consentano a ogni
Leon Battista Albert
bana all'armonia
•
•
•
•
•
•
•
Piramidi egizie
Partenone
L’Arco di Costantino
Castel del Monte
Notre Dame & Palazzo di Vetro dell’Onu
Leon Battista Alberti
Le Corbusier
PIRAMIDI EGIZIE
Costanti fisse nel rapporto tra le varie misure della
piramide di Cheope sono due numeri molto singolari :
π = 3,141592654 e Φ = 1,618033989
Se dividiamo il perimetro della base quadrata dal
numero π, si ottiene l’altezza della piramide (AO).
A
O
B
I 4 lati triangolari di questa piramide hanno
una angolazione di 51,84° rispetto alla base.
Se si misura la distanza fra la punta della
piramide e il centro di un lato della base
quadrata (AB), si nota che questa distanza è
esattamente 1,618034 volte la distanza fra il
centro della piramide e il centro di un lato
(OB). Spesso troviamo l’angolo di 51,84°
associato alla sezione aurea, per questo
viene chiamato ANGOLO AUREO
PARTENONE ( 440 – 430 a. C. )
La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo
con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari
alla radice di 5 volte la larghezza
AB = √5*BC
A
B
C
D
Il RETTANGOLO AUREO è ripetuto più
volte sia nella pianta che nella facciata.
ARCO DI COSTANTINO ( 313 d. C. )
L’Arco di Costantino, innalzato per
celebrare la vittoria dell’imperatore, è il più
importante degli archi trionfali romani.
L’altezza dell’arco centrale divide l’altezza totale
secondo la divina proporzione mentre gli altri due
archi soddisfano lo stesso principio nella distanza
tra la base e il listello inferiore.
CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )
Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia, è noto
per la sua inconfondibile forma ottagonale, per le suggestioni
simboliche e per essere il più misterioso tra gli edifici
commissionati da Federico II di Svevia.
Il portale può essere visto come un PENTAGONO STELLATO
che detta le proporzioni della costruzione, in esso si va a
sistemare una figura umana: l’uomo di Nettesheim (1486-1535)
Le due punte in basso della stella cadono a livello
ed a metà delle basi delle lesene. Quest’ultime
salendo si arrestano esattamente in coincidenza del
lato orizzontale del "pentacolo". La punta superiore
della stella a sua volta va a coincidere con il vertice
del timpano del portale, esso è un triangolo isoscele
in cui i lati sono sezione aurea della base.
CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )
Le sale del castello hanno forma trapezoidale. Se
moltiplichiamo il lato minore del trapezio per 1,618
otteniamo il lato maggiore. Se dividiamo il lato minore
per la radice quadrata di 1,618 otteniamo la larghezza
della sala. La presenza del numero aureo si trova
ripetuto più volte nelle proporzioni del castello.
Se uniamo i punti in cui il sole sorge e
tramonta agli equinozi, alla latitudine di
Castel del Monte otterremo un rettangolo in
divina proporzione (la lunghezza del lato
maggiore è ottenibile moltiplicando il lato
minore per 1,618) e questo accade solo a
questa latitudine. Castel del Monte si trova
al centro di questo rettangolo.
NOTRE DAME (Parigi 1163 – 1345)
PALAZZO DI VETRO dell’ONU
(New York 1949 – 1950)
Progettati seguendo le proporzioni del
RETTANGOLO AUREO
LEON BATTISTA ALBERTI (1404-1472)
Leon Battista Alberti non parla mai nei suoi trattati delle proporzioni utilizzate nelle sue opere, come
se volesse tenere segreto il metodo con cui riusciva ad ottenere quell’aspetto di armonioso
equilibrio. Ciò nonostante vennero fatte indagini con diagrammi e rigorose riproduzioni che hanno
messo in evidenza che la DIVINA PROPORZIONE sia la regola che domina la connessione di tutte
le parti di molte sue costruzioni.
“Il tempio Malatestiano” a Rimini (1447-1468),
progettato secondo rigorosi moduli matematici e
proporzionali basati sul quadrato.
LEON BATTISTA ALBERTI (1404-1472)
L’insieme della facciata risulterebbe frammentario
se non fosse governato da un disegno fortemente
unitario, geometrico e razionale.
Come spiega lo stesso Alberti nei suoi scritti,
l’armonia di un edificio (sinonimo di bellezza) è
data dal rapporto delle parti fra loro con il tutto.
In Santa Maria Novella tale sistema di
relazioni geometriche e proporzionali è
regolato sulla base di un unico modulo, il
QUADRATO.
L’intera facciata è inscrivibile in un quadrato,
che a sua volta è suddivisibile in vari
quadrati, in un rapporto costante di 1:2 che
lega il lato del quadrato più piccolo con il lato
di quello più grande di appartenenza.
Santa Maria Novella a Firenze (1456 - 1470 ca)
LE CORBUSIER (1887 - 1965)
La viva curiosità di Le Corbusier per il rapporto aureo rimanda ad
almeno due suoi interessanti precedenti:
1 - per le strutture sottostanti agli oggetti naturali;
2 - la coscienza dell’importanza cruciale dei rapporti numerici per
almeno una forma di armonia: quella acustica (poiché proveniva da
una famiglia che incoraggiava lo studio e la pratica per la musica).
“In questi trent’anni e più, la linfa della matematica è fluita nelle
vene del mio lavoro, sia di architetto che di pittore; perché la
musica è sempre stata presente dentro di me”.
“Il suo valore risiede in questo: il corpo
umano è scelto come base dei numeri…
ecco la proporzione! La proporzione che
ordina i nostri rapporti con ciò che ci
circonda.”
La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò
nell’introduzione di un nuovo sistema proporzionale, una GRIGLIA DI
MISURE ARMONICHE per stabilire una serie di grandezze articolate tra
loro dalla “sezione aurea” o “numero aureo”.
Egli attento al rapporto con la società, non aveva costruito una griglia
astratta su base puramente matematica (come le serie di numeri
armonici stilata da Fibonacci), bensì aveva ripreso i principi su cui aveva
lavorato Matila Ghyka intorno al 1930, e aveva definito la griglia
relativamente alle DIMENSIONI PRINCIPALI DEL CORPO UMANO.
LE CORBUSIER ( 1887 - 1965 )
Nel 1947, durante una conferenza, Le Corbusier battezza il suo sistema
MODULOR, e pubblica il libro nel quale illustra il frutto e la metodologia della
sua ricerca
“Il Modulor. Saggio su una misura armonica alla scala umana universalmente
applicata all’architettura e alla meccanica” - 1950
“Modulor 2 (la parola degli utenti)” - 1955
Nel secondo volume presenta un vero e proprio
bilancio del metodo. Il disegno della figura umana
su cui è costruita la griglia assurgerà a celebrità
universale. Dopo aver messo a punto il sistema, Le
Corbusier regolerà su di esso le misure di tutti gli
elementi costitutivi dei suoi progetti.
LE CORBUSIER ( 1887 - 1965 )
IL MODULOR
• Un uomo alto circa 1,83 m e con un braccio alzato (2,26 m)
è inserito in un quadrato.
• Il rapporto tra la statura dell’uomo (1,829 m) e la distanza
dall’ombelico al suolo (1,13 m) è esattamente pari a Φ .
• L’altezza totale (dai piedi all’estremità del braccio alzato) è
diviso secondo il rapporto aureo (1,40 e 0,86 m) a livello del
polso dell’altro braccio, che pende liberamente verso il basso.
• I due rapporti (1,13/0,70 e 1,40/0,86) sono ulteriolmente
suddivisi in dimensioni minori secondo la serie di Fibonacci
(essendo ciascun numero uguale alla somma dei due precedenti).
Nella versione finale del Modulor furono introdotte due scale dimensionali basate sulla
SUCCESSIONE DI FIBONACCI (le “serie rossa e blu”). Queste misure devono essere usate da
tutti gli architetti per costruire non solo spazi ma anche ripiani, appoggi, accessi che siano
perfettamente in accordo con le misure standard del corpo umano.
LE CORBUSIER ( Villa De Monzie-Stein a Garches, 1927 )
Nella facciata della Villa De
Monzie-Stein a Garches (nei
pressi di Parigi) vi sono rapporti
proporzionali regolati dalla
sezione aurea.
LE CORBUSIER ( Museo a crescita illimitata– 1939, Progetto)
Schizzo di conchiglia.
“Il museo può essere
iniziato senza denaro;
infatti la prima sala può
venir costruita con alcune
centinaia di franchi. Lo si
può continuare con una,
due, quattro sale nuove, il
mese dopo o due o
quattro anni dopo, a
volontà…” Le Corbusier
" (…) Il principio fondamentale di questo edificio è di essere
costruito su pilotis. Si entra a livello del suolo nel centro
stesso dell'edificio, dove si trova la sala principale.
La SPIRALE quadrata, che dI là inizia, permette
un'interruzione nei percorsi, estremamente favorevole
all'attenzione che si esige dal visitatore. Il mezzo d’orientarsi
nel museo è dato dai locali a mezza altezza che formano
una svastica. L’elemento modulare, largo 7 m circa e alto
circa 4,5 m, permette di assicurare un’illuminazione regolare
sulle pareti della spirale quadrata. Le aperture nelle pareti
mettono in comunicazione i locali,aprono la prospettiva,
permettono una quantità di sistemazioni diverse (…)“
Le Corbusier
LE CORBUSIER ( Unità di abitazione, Marsiglia - 1946)
L’Unité d'Habitation di Marseille rappresenta una delle
realizzazioni pratiche, purtroppo rare, delle teorie di Le
Corbusier sul nuovo modo di costruire la città ed è uno dei
punti fondamentali di arrivo del Movimento Moderno nel
concepire l‘architettura e l'urbanistica.
È disposta lungo l’asse nord-sud e si compone di 330
appartamenti di 23 tipologie diverse. Eccetto quelli a sud,
godono di un doppio orientamento. Diciasette coppie di
pilotis formano altrettanti portici che sostengono un
volume tecnico al di sopra del quale si erge la struttura in
cemento armato. All’interno dei pilotis trovano posto gli
impianti idraulici e il sistema di scarico dei rifiuti.
Ogni appartamento ha un doppio ingresso, distribuito su due
piani: i due livelli comunicano tramite una scala interna. La
cellula è larga 3,66 metri e alta 2,26, che diventano 4,84
metri nella porzione a doppia altezza del soggiorno.
Tutte le dimensioni dell’Unità ( struttura su un modulo
quadrato di 4,19 metri di lato) sono impostate sul
MODULOR.
La matematica
non possiee
soltanto la
verit, ma
anche la
bellezza
suprema, una
bellezza
frea
Bertran
Russell
e austera, come
• Policleto
• Individuare una sezione aurea in un
dipinto
• Leonardo da Vinci
• Sandro Botticelli
• Piet Mondrian & Salvator Dalì
POLICLETO (Doriforo – copia della fine del II secolo a. C. da un originale in
bronzo del 440 a.C.)
Per rilevare l’utilizzo della sezione aurea
nella rappresentazione del corpo umano
possiamo applicare il PROCEDIMENTO
GEOMETRICO: ricavando il punto di
sezione aurea sull’asse longitudinale del
“Doriforo”, notiamo che esso coincide
esattamente con l’ombelico.
Policleto utilizza un preciso
ordine formale. Solitamente gli
artisti per creare un insieme
proporzionato utilizzano
un’unità di misura (modulo
proporzionale), così
definiscono la grandezza delle
singole parti in rapporto a
essa: le dimensioni di ogni
elemento saranno ottenute
moltiplicando o dividendo tale
modulo di base. Nella
rappresentazione della figura
umana, il modulo
proporzionale è spesso dato
dalla lunghezza della testa,
calcolata dal mento all’apice
del cranio: se si misura
l’altezza complessiva del
“Doriforo” si scopre che essa
equivale a sette volte tale
modulo.
INDIVIDUARE LA SEZIONE AUREA IN UN DIPINTO
Per verificare che una composizione sia strutturata
sulla base della sezione aurea si procede così:
• identificare su ogni lato dell’opera il punto di sezione
aurea con il PROCEDIMENTO GEOMETRICO;
• tracciare, a partire dai punti individuati, le parallele ai
lati del dipinto;
• verificare se tali linee intercettano elementi importanti,
quali, per esempio, l’orizzonte, il profilo di un edificio o
un personaggio rilevante.
Applichiamo questo procedimento all’analisi
di un dipinto di Georges Seurat (Une
baignade (Asnières), 1883-1884), il pittore
neoimpressionista di fine Ottocento. Notiamo
che le linee di struttura ottenute concorrono a
determinare, la posizione dei personaggi
principali nella scena.
LEONARDO DA VINCI (La Gioconda)
Anche se di notevole rilevanza, non analizziamo questo
dipinto poiché esso è l’argomento di un tale numero di
scritti, sia specialistici che divulgativi, da rendere
pressoché impossibile giungere a conclusioni non
ambigue.
LEONARDO DA VINCI
(Annunciazione, 1472-1475 ca; Donna scapigliata, 1490 ca; L’ultima cena, 1494-1498)
Nell’ “Annunciazione” la figura e
la postura dell’angelo sono in
PROPORZIONE AUREA rispetto
alla sua distanza dalla Vergine.
Nella “Donna scapigliata” la testa è
racchiusa in un RETTANGOLO
AUREO, il volto è in proporzione
aurea rispetto ai fascia dei capelli,
l’inclinazione del capo segue la
diagonale del quadrato.
Ne “L’ultima cena” Gesù, il
personaggio divino, racchiuso in un
RETTANGOLO AUREO è dipinto con
le proporzioni divine.
LEONARDO DA VINCI (Uomo Vitruviano, 1490)
(1452 1519)
L’”Uomo Vitruviano” illustra il canone di
proporzioni umane che Vitruvio, l’architetto
romano del I secolo a.C., aveva postulato a
premessa della sua teoria architettonica. La
teoria vuole dimostrare che le proporzioni umane
sono perfettamente inscrivibili in due figure
geometriche perfette:
il CERCHIO e il QUADRATO.
“Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico;
infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi
allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si
toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio,
l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi”
( De Architectura, Vitruvio )
Corpo dell'uomo ideale:
• il viso → misurato dal mento alla sommità della fronte e alla radice dei capelli corrisponde a 1/10 dell'altezza
del corpo (così come nella mano aperta se viene misurata dalla sua articolazione fino alla punta del dito
medio);
• l'altezza del viso si divide in tre parti uguali → 1- dal mento alla base delle narici, 2- dal naso fino al punto
d'incontro con le sopracciglia e 3- dalle sopracciglia alla radice dei capelli.
• il piede è la sesta parte dell'altezza del corpo e così via.
Rispettando tali proporzioni i pittori e gli scultori dell'antichità ottennero grandi elogi.
Quadrato: l’altezza dell’uomo è uguale alla lunghezza delle braccia distese.
BOTTICELLI (1445-1510; La nascita di Venere, 1483-1485 ca)
Se misuriamo l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza
complessiva della Venere il loro rapporto sarà 0,618.
Il rapporto della distanza tra il collo del femore e il ginocchio, e la lunghezza
dell’intera gamba è in sezione aurea; così come il rapporto tra la distanza del
gomito e la punta del dito medio, e la lunghezza del braccio.
PIET MONDRIAN (1872-1944)
Il pittore olandese Mondrian è noto soprattutto per il suo stile geometrico, da
lui chiamato “neoplasticismo”. In particolare, molta della sua arte è
caratterizzata da composizioni che contengono solo linee verticali e orizzontali
e impiegano unicamente i colori primari (e talvolta il nero e alcune sfumature
di grigio) contro uno sfondo bianco, come in “Broadway Boogie-Woogie”. Le
linee curve, l’illusione della tridimensionalità e le rappresentazioni realistiche
sono totalmente escluse da questa parte della sua produzione.
Fondamentale è l’accostamento di quadrati e RETTANGOLI AUREI.
Broadway Boogie-Woogie 1942-1943
SALVATOR DALI’ (1904-1989)
Le dimensioni del quadro “Il sacramento dell’ultima cena”
del 1955 sono in rapporto molto vicino a quello aureo.
Rilevante è l’enorme dodecaedro (un solido a dodici facce
ognuna delle quali è un PENTAGONO REGOLARE) che
flutta sopra la tavola e la circonda.
le
proporzioni elle
voci sono armonia
elle orecchie,
cos uelle elle
misure sono armonia
egli occhi
nostri
Aallaio (
• Nozioni base
• Guillame Dufay
• Béla Bartók
• Claude Debussy
• Violino e Pianoforte
• Musica rock - Genesis
Tappe fondamentali della ricerca musicologica sulla sezione aurea
I primi studi sull’applicazione della sezione aurea alle strutture
formali della musica risalgono alla metà del XX secolo.
Nel 1950 venne pubblicato un articolo di J. H. Douglas
Webster (in Music&Letters) in cui vennero citati numerose
partiture nelle quali riscontrarono “proporzioni auree”.
Il musicologo ungherese Ernö LENDVAI fu il primo
vero specialista in materia.
Fece degli studi sulla sezione aurea nelle strutture
musicali bartòkiane che, grazie alle numerose
pubblicazioni e traduzioni (dal 1955 in poi), hanno
ampliato la diffusione della conoscenza di una
disciplina che fino ai primi anni settanta era
appannaggio di pochi iniziati.
Il musicologo Roy HOWAT, tra il 1977 e il 1986,
esaminò più approfonditamente la materia fermandosi
in particolar modo sull’opera compositiva di Debussy
(1862-1918) e cercò di revisionare le analisi
lendvaiane.
All’interno delle strutture della musica composta nel secolo
appena conclusosi la sezione aurea trovò terreno fertilissimo e
si propagò a dismisura
Debussy, Stravinsky, Bartòk, Xenakis, Stockhausen, Nono,
Ligeti, Gubajdulina…
Stravinsky
Un criterio a cui la sezione aurea fu particolarmente legata è
quello di suddividere la composizione in sezioni
proporzionali tra di loro, ripetendo due volte la stessa
musica con precisi rapporti di durata tra i due ritornelli.
Una melodia proposta in ritmo di 2/4, ad esempio, veniva
ripetuta in 4/4 con le durate delle note raddoppiate.
Tinctoris con il trattato Proporzionale musices (1473-74) e
Gaffurio (pratica musicae, 1496) giunsero alle più elevate
teorizzazioni circa questi metodi.
Xenakis
Dai primi rapporti della serie di Fibonacci possiamo scoprire
interessanti relazioni tra la sezione aurea e l'armonia.
Il rapporto 1/1 ci da' la corda intera, l‘UNISONO (Es. Do1)
Il rapporto 2/1 ci da' la sua OTTAVA (Do2 un ottava superiore)
Il rapporto 3/2 di da la QUINTA GIUSTA (nella musica greca la diapente) (Do, sol)
Il rapporto 5/3 e' il valore della SESTA MAGGIORE (Do La)
L’intervallo di si sesta minore ( Mi e Do2), complementare all'intervallo di
terza maggiore (Do1 e Mi), ha per misura 5/8
GUILLAME DUFAY (1400 - 1474 )
Nel quattrocento un compositore fiammingo, Guillame Dufay,
dà l’avvio per un utilizzo in larga scala della sezione aurea nelle
composizioni musicali.
“Lamentazio Sanctae Matris Ecclesiae Constantinopolitanae”
Chanson-mottetto suddiviso in due sezioni corrispondenti alle due ripetizioni del tenore, in cui il ritmo
passa (in notazione moderna) da 3/4 a 4/4.
1- la prima sezione è sezione aurea dell’intero brano;
2- la seconda è sezione aurea della prima.
Inoltre tutti gli altri eventi salienti (cadenze ed entrate delle voci) avvengono secondo precise
collocazioni venendo a definire sezioni auree sempre più piccole, a formare una struttura ad incastro.
Guillame Dufay scrisse il mottetto NUPER ROSARUM FLORES in occasione della
consacrazione di SANTA MARIA DEL FIORE a Firenze il 4 marzo 1436.
La struttura (in quattro sezioni) delle parti vocali del tenor e del contratenor (le voci
principali) fu costruita da Dufay secondo un preciso piano aritmetico correlato alle
proporzioni dimensionali dell’architettura della chiesa dedicataria e della cupola del
Brunelleschi in particolare.
ascolta il midi
E’ un mottetto celebrativo destinato alla celebrazione
sonora solenne di grandi avvenimenti pubblici, ripartito in
quattro voci (tenor, contratenor, motetus e triplum).
L’ossatura formale è costituita da un cantus firmus che i
due tenores eseguono a note lunghe e ritmicamente
sfalsata a distanza di una quinta sul motivo “Terribilis est
locus iste”.
Il brano si divide in quattro parti ciascuna delle quali
comprende un’esposizione del cantus firmus con
indicazioni metriche sempre differenti (in notazione
moderna si passa dal ritmo 6/4 a 2/2, 2/4 e 6/8).
Questo fa si che le durate siano diverse per ciascuna
sezione pur restando identico il numero di battute (56
battute, di cui le prime 28 sono intonate solamente da
motetus e triplum e nelle restanti si uniscono i due
tenores con la melodia dell’introito).
Se uguale è il numero di battute è però differente il
tactus (corrispondente all’unità di misura della
pulsazione, in questo caso del valore di 2/4), per
ciascuna sezione si ottengono i seguenti valori:
168, 112, 56 e 84, che divisi per 28 danno i
rapporti 6:4:2:3.
Se si osserva la struttura della cattedrale fiorentina si
riscontrano facilmente le ricorrenze di questi numeri
• la modularità è data da un blocco della misura
di 28 braccia;
• la navata è composta da 6 moduli;
• i transetti da 2 moduli ciascuno per un totale di 4;
• la zona absidale da 2 moduli;
• 3 moduli separano il soffitto della cupola dalla
quota di pavimento.
Ritorna quindi lo schema 6:4:2:3 già visto
all’interno del mottetto. In più i rapporti tra i due
involucri della cupola ricalcano esattamente le
proporzioni tra le altezze delle note dei due tenori.
La partitura musicale riesce a
descrivere sulla carta i suoni
proprio come un progetto
architettonico è in grado di
schematizzare attraverso piante
e sezioni una complessa opera
tridimensionale.
BÉLA BARTÓK (1881-1945)
Analizziamo il primo movimento (una
“fuga”) della Musica per archi,
percussioni e celesta.
Il movimento di 89 battute è diviso in 2 parti:
una da 55 battute e una da 34, dal punto di
massima intensità sonora. Ulteriori suddivisioni
corrispondono all’aggiunta e rimozione delle
sordine (dispositivi applicati agli strumenti per
smorzare il suono) e ad altri cambiamenti
timbrici.
Tutti i numeri delle battute sono numeri di
Fibonacci, coi rapporti tra le parti principali
(per esempio 55/34) che si approssimano
al rapporto aureo.
L’ungherese Béla Bartók è un celebre
compositore che ha fatto largo uso del rapporto
aureo. Virtuoso del pianoforte ed esploratore
della musicologia etnica, Bartók ha fuso
l’eredità dei maestri classici a lui più vicini
(Strauss, Liszt e Debussy). Oltre alle melodie,
la forza ritmica della sua musica e un uso
sagace delle simmetrie formali contribuiscono a
fare di questo musicista uno dei compositori più
originali del XX secolo.
CLAUDE DEBUSSY (1862-1918)
Il compositore francese Claude Debussy, le cui innovazioni armoniche
hanno profondamente influenzato generazioni di compositori, si è servito
del rapporto aureo in numerose occasioni.
Reflets dans l’eau (pezzo per pianoforte solo
contenuto nella serie Images,1912). La prima
ripresa del rondò giunge dopo 34 battute, che
segnano il punto di sezione aurea tra l’inizio del
brano e la sua parte culminante a partire dalla
cinquantacinquesima battuta.
34 e 55 sono due numeri di Fibonacci e 34/21 è
una buona approssimazione a Φ.
Nella seconda parte la struttura è divisa secondo il
rapporto 24/15 (8/5 altri due numeri di Fibonacci).
Analoghe suddivisioni sono state rivelate sono state
rivelate nei tre schizzi sinfonici intitolati La mer (Durand
1905), nella composizione per pianoforte solo Jardins
sous la pluie e in altre opere. Quando si ascolta La mer
si ha l’impressione di ascoltare non solo il ritratto
musicale del mare e della sua potenza (ispirato all’opera
del pittore inglese Turner), ma anche la rievocazione di
un periodo tumultuoso della vita dell’autore.
La Cathédrale Engloutie è un preludio per
pianoforte di 89 battute, con le prime 68
battute che hanno un tempo doppio delle
restanti 21, in sostanza alla battuta 68
rallenta alla metà del tempo, quindi delle
prime 68 battute è come se in realtà ce ne
fossero la metà, cioè 34. Tutto ciò comporta
che il brano ha una lunghezza percepita da
chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la
sezione aurea di 89.
VIOLINO
Alcuni dei violini più celebri furono costruiti da
Antonio Stradivari (1644-1737), massimo
esponente della celebre scuola cremonese.
Disegni originali mostrano che Stradivari usava
particolare cura nel collocare gli “occhi” dei fori a
“effe” (le due aperture della cassa armonica la cui
forma ricorda questa lettera) in posizioni
determinate geometricamente dal RAPPORTO
AUREO. Esso inoltre è contenibile entro quattro
pentagoni regolari.
In pochi credono che l’uso del rapporto
aureo sia il motivo dell’inimitabile timbro
dei violini Stradivari. Più spesso la
verniciatura, il trattamento dei legni e la
perizia complessiva dell’artigianato sono
considerati i possibili ingredienti del
“segreto” di un ottimo violino.
PIANOFORTE
Nella tastiera del pianoforte l’ottava corrisponde
a 13 tasti, otto bianchi e cinque neri.
A loro volta i tasti neri sono riuniti in un gruppo
di due o tre tasti.
I numeri citati (2, 3, 5, 8 e 13) formano una
sequenza di 5 numeri di Fibonacci consecutivi.
• La sesta maggiore e la sesta minore sono tra i più piacevoli
intervalli musicali e sono legati dal rapporto aureo.
• Il tono standard usato per accordare gli strumenti è LA
(frequenza di 440 cicli al secondo).
• Un accordo di sesta maggiore si ottiene combinando con il
LA il DO (frequenza di 264 cicli al secondo).
• Il rapporto delle frequenze corrisponde alla frazione 5/3,
cioè il rapporto di due numeri di Fibonacci successivi.
• Un accordo di sesta minore si ottiene da un DO alto
(528 cicli al secondo) e da un MI (330 cicli al secondo).
• Il rapporto può essere semplificato in 8/5, anch’esso un
quoziente di due numeri di Fibonacci, e molto vicino al
rapporto aureo.
MUSICA ROCK (ANNI 70)
Anche la musica Rock in special modo il così detto rock
progressive, si è confrontata con la relazione esistente fra
musica e matematica in special modo è stata attratta dagli
aspetti mistico-esoterici della sezione aurea e più
precisamente dalla serie di Fibonacci.
L’esempio più emblematico per quanto riguarda questo genere musicale,
è la musica dei GENESIS (gruppo progressive rock sviluppatasi in
Inghilterra durante la prima metà degli anni settanta), i quali usano
assiduamente la serie fibonacciana per costruire l’architettura armonicatemporale dei loro brani, uno di essi, più significativo in questo senso, è
Firth of Fifth tutto basato su numeri aurei.
Oltre ai Genesis, i quali più di qualsiasi altro
gruppo si sono ispirati alla sezione aurea, ce ne
sono altri che hanno usato nelle loro
composizioni i numeri aurei, anche se in poche
occasioni, come ad esempio i Deep Purple nel
loro brano Child in Time.
GENESIS
Firth of Fifth del 1973 (album SEBTP, Genesis)
ascolta la canzone
sezione
tonalità
battute
segnatura
mm.ss.
34 (54+1)
var. (su 390/16)
0:00
31½
4/4
1:07
7
4/4
3:05
n.
1)
Pf. (preludio)
Si bem. magg.
2)
Voce (I parte)
Si magg.
3)
ponte mod.
4)
Fl. (tema)
Mi min.
13¼
4/4
3:30
5)
Pf. (svil. tema)
Do min.
8½
4/4
4:10
6)
Synth (solo)
Si bem. magg.
34 (54+1)
var. (su 390/16)
4:34
7)
Chit. el. (solo)
Mi min./magg.
55
4/4
5:46
8)
ponte mod.
2
4/4
8:27
9)
Voce (II p. ripr.)
Si magg.
11
4/4
8:34
10)
Pf. (coda in dissol.)
Mi magg.
(8)
13/16
9:15
-
-
9:33
-
-
-
-
-
Il numero delle battute è riconducibile ai valori della serie di Fibonacci (...8.13.21.34.55.etc.);
fondamentale è la struttura fortemente asimmetrica dei due assolo tastieristici, organizzati su
segnature di tempo del tutto inusitate per un brano rock, la cui metrica, in continua variazione
fra binario e ternario, conferisce ai due episodi una tensione dinamico-propulsiva di grande
efficacia. Questa complessa struttura dà così origine ad una sorta di nucleo generativo
sfociante: il primo (pf), nell'attacco della prima sezione vocale, ed il secondo (synth), nel vasto
assolo di chitarra elettrica, entrambi, non a caso, su segnatura 4/4, giusta e distesa risoluzione
del primigenio turbine ritmico precedente.
GENESIS
Questi due episodi strumentali, dal punto di
vista strutturale e metrico-ritmico, sono
assolutamente identici: si tratta di una
struttura formale AABCDAA che si sviluppa
su 390 semicrome che corrispondono anche
alle 390 semicrome della linea melodica
conduttrice.
Studiando approfonditamente la partitura ed
evidenziando segnature di tempo, numero delle
battute, scomposizione ritmica e
sottoscomposizione metrica non appare troppo
arduo risalire (calcolando il numero di semicrome
per sezione) ad una serie matematica ricorrente
di derivazione fibonacciana, i cui valori
corrispondono appunto, al numero totale delle
semicrome contenute nelle varie sezioni del solo,
mentre le sommatorie parziali, per aggregazione
strutturale delle medesime, porta, sempre tramite
i valori della serie che qui andiamo ad indicare, al
totale di 390/16:
30.30.60.90.150.240.390
si tratta dei primi 7 valori della serie di Fibonacci
(1.1.2.3.5.8.13), ma ciascuno moltiplicato per 30
BIBLIORAFIA :
-
Antoccia Luca et
al
(2000),
Leonaro arte e scienza Firenze,
iunti gruppo eitoriale
- Boesiger Willy (1977), Le
orbusier A cura i Emilio izzi,
Bologna, Zanichelli
- Bora iulio et al (2003), I
luoghi ell'arte vol3 Dal gotico
internazionale alla maniera moerna
Roma, Electa Bruno Monaori
Bora iulio et al (2003), I
luoghi ell'arte vol4 all'et ella
maniera al rococ Roma, Electa
Bruno Monaori
Bouleau harles,
La geometria
segreta ei pittori Roma, Electa
- Jenger Jean (1993), Le
orbusier L'architettura come
armonia arigi, allimar
- Livio Mario (2003), La sezione
Links:
http://wwwacuariofacileit/forum/topi
casp?TOI_ID=2423
http://wwwgeocitiescom/SoHo/1843/sezio
nhtml
http://wwwmagiaeinumeriit/Sezione_au
rea_2htm
http://wwwprovinciabresciait/copernic
o/2B/Manelli/Sezione%20Aureapf
- http://wwwscienzaesperienzait
- http://wwwsectioaureacom
http://wwwunichit/progettistisiiventa/