Modelli di
“Sample selection”
yi  X i   i
con
yi
osservato se z i  1
yi
non osservato se z i  0
zi  1
se z  a
zi  0
se z  a
*
i
z  wi   i
*
i
*
i
Il processo generatore dei dati dipende da una variabile (z) NON
implicata nel modello “sostanziale”, a sua volta determinata da un
insieme di fattori
Modo di rappresentazione dei processi di selezione non casuale,
come è ovvio la distorsione dipende dalla correlazione tra z e y
In altri termini viene specificato un primo modello (1) che
rappresenta “il disegno”, cioè il processo di selezione delle unità e un
secondo modello (2) che è quello d’interesse:
z  wi  i
log it / probit
yi  X i   i
lineare
*
i
Momenti:
Se z e y appartengono ad una NORMALE BIVARIATA:
N (  y ,  z ; )
 y  




z

 E ( y / z  a )   y   y  ( z )

 V ( y / z  a )   y2 1   2 ( z )
a  z

 ( z )
z 
 ( z ) 
z
1   ( z )
 ( z )   ( z ) ( z )   z 
 = 0
 = 0.9
Modello di regressione
zi*  wi  ui
yi  X i   i
E ( yi / osservato)  E ( yi / z*  0)  E ( yi / ui  wi ) 
 E ( X i   i / ui  wi )  X i  E ( i / ui  wi ) 
 X i    i ( u ) 
 X i    i ( u )
wi
con  u 
u
  u 
i ( u ) 
1   ( u )
E’ come se si omettesse una variabile
Due alternative per la stima:
1. Massima verosimiglianza
• Si tratta di specificare la distribuzione CONGIUNTA e massimizzare
la verosimiglinaza per i parametri β, , u,, 
2. Two step (Heckmann), stima in due tempi:
• Probit per il processo di selezione
• Calcolo dei 
• OLS per il modello “sostanziale” con aggiunta di  tra le
dipendenti
zi  wi  ui
yi  X i   i
1. Stima
di ˆ
2.
probit
 ˆwi 
ˆ
i 
1   (ˆwi )
ˆi  ˆi ˆi  ˆwi
Stima
di ˆ
3.

OLS

poichè è     1    i
2
i
e
2
2
1
p lim  ˆi  
n i
 stima
e' e
2
ˆ  
  ˆ2
n

ˆ   2



1
e' e
2
2
2
p lim   i   1    
n i
n
p lim ˆ2   2 2
2
ˆ

ˆ 2  2
ˆ 
Example 24.9 A Mover-Stayer Model for Migration
The model of migration analyzed by Nakosteen and Zimmer (1980).
The equations of the model are
net benefit of moving: M∗i = wi γ + ui ,
income if moves: Ii 1 = xi 1β1 + εi 1,
income if stays: Ii 0 = xi 0β0 + εi 0.
One component of the net benefit is the market wage individuals could achieve if they
move, compared with what they could obtain if they stay. Therefore, among the
determinants of the net benefit are factors that also affect the income received in either
place.
An analysis of income in a sample of migrants must account for the incidental truncation of
the mover’s income on a positive net benefit. Likewise, the income of the stayer is
truncated on a nonpositive net benefit. The model implies an income after moving for all
observations, but we observe it only for those who actually do move.
They applied the selectivity model to a sample of 9,223 individuals with data for 2 years (1971 and
1973). Over the period, 1,078 individuals migrated and the remaining 8,145 did not. The independent
variables in the migration equation were as follows:
SE = self-employment dummy variable; 1 if yes,
EMP = rate of growth of state employment,
PCI = growth of state per capita income,
x = age, race (nonwhite=1), sex (female=1),
SIC = 1 if individual changes industry.
The earnings equations included SIC and SE.
Results are given in Table 24.4. The figures in parentheses are t ratios.
Considerato il processo di selezione e l’eterogeneità delle var.indip,
La differenza è dicirca 500 dollari (1973)
Un applicazione importante è la stima dei treatment effects e la valutazione di interventi ad
esempio sul reddito
Un equazione che descrive l’effetto sul reddito di una laurea (ad esempio) è
Redditoi = xiβ + δCi + εi ,
Dove Ci è una dummy che indica presenza/assenza di laurea.
La domanda è: δ misura il “valore della laurea” (assumendo che il resto del modello sia
correttamente specificato)?
La risposta è NO se chi si laurea ha comunque la capacità di ottenere redditi più alti sia che sia
laureato o no!
C’è un problema di auto-selezione. Se queste ipotesi sono corrette la stima OLS di δ
sovrastima l’effetto.
Questo vale in qualunque contesto in cui è il soggetto a scegliere il trattamento.
Il processo generatore dei dati è:
Quindi la stima corretta sarà:
Per i laureati:
Per i non laureati:
E quindi la differenza corretta sarà: