Modelli
Il concetto di modelli nasce con la matematica per poter spiegare la realtà.
la fisica moderna sperimenta infatti attraverso modelli macroscopici i fenomeni
che i nostri sensi non sono in grado di percepire.
Lo spettrofotometro
per verificare il modello atomico di Bohr.
Lunghezza d’onda della luce.
Il carrello
per rappresentare il comportamento dell’elettrone nell’atomo
radiazione
elettrone
Forza coulomb
Il sonometro
come metafora della quantizzazione della radiazione
Orbita
La spettrometria
Studio degli spettri di emissione
Il modello atomico di Bohr
• Ogni elettrone, a seconda della quantità di
energia che possiede, orbita seguendo una
traiettoria circolare detta stato stazionario.
L’energia è quindi quantizzata poiché ad ogni
orbita corrisponde una quantità definita di
energia. Per saltare da un’orbita all’altra la
particella deve ricevere o emettere energia
sufficiente.
• Quando un elettrone viene colpito da energia
sufficiente, questo si eccita e salta nello stato
successivo. A causa della sua instabilità in
seguito la particella tende a decadere,
tornando nell’orbita di partenza. Per fare ciò
l’elettrone deve perdere l’energia
precedentemente ottenuta, che viene emessa
sotto forma di fotoni, quindi luce.
Lampade a scarica
• La tensione ai poli di una
lampada a gas causa movimento di elettroni
• urtando violentemente contro le molecole del
gas, gli ioni negativi cedono a queste parte della
loro energia cinetica
• La molecola acquisisce energia in eccesso e
diventa instabile
• Tornando alla condizione iniziale la molecola cede
l’energia in eccesso sotto forma di fotoni
• Il fotone ha energia: ∆E = E2 – E1 = hv
• La radiazione emessa
produce uno spettro a righe
luminoso che varia a seconda
della composizione chimica
del gas
• Al variare della composizione
chimica variano anche le
frequenze rilevate
 Con la Teoria di Bohr questi
spettri di emissione trovano
una giustificazione
spettrofotometro
Lo spettro luminoso viene misurato dallo
spettrofotometro:
1. Ia radiazione luminosa emessa
attraversa una fenditura che diviene
la nuova sorgente del fascio fotonico
(principio di Huygens)
2. Il fascio viene canalizzato da una
lente
3. I raggi vengono diffratti a seconda
della loro lunghezza d’onda, questa
viene calcolata tramite l’equazione
λ = d sen(θ)
Grafico della luce Led
Grafico dell’Elio (He)
NEON
Rad
Angolo°
0,121535
6,967
0,365374
20,945
0,381266
21,856
0,397053
22,761
0,416992
23,904
0,440699
25,263
0,45462
26,061
Lunghezza d'onda
(nm)
Aspettativa
201,98
595,26
619,91
644,25
674,75
710,67
731,57
596
620
670
715
ELIO
Rad
Angolo°
0,248304
14,234
0,284275
16,296
0,29523
16,924
0,317035
18,174
0,37291
21,377
0,426377
24,442
0,453521
25,998
Lunghezza d'onda
(nm)
409,44
467,25
484,74
519,38
606,97
689,02
729,93
Aspettativa
485
680
720
ESPERIMENTO DELLA
RISONANZA CON IL CARRELLO
Premesse Teoriche
Moto armonico: è un sistema
ideale in cui non si tiene conto
dell’attrito e per ciò l’oscillazione
continuerà all’infinito (blu)
𝑥 𝑡 = 𝑥 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
Moto armonico smorzato:
è un sistema reale in cui si tiene
conto dell’attrito per ciò
l’oscillazione non continuerà
all’infinito ma nel giro di qualche
periodo si esaurirà (rosso)
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝛼
𝜏=1 𝛾
−𝑡 2𝜏
𝑒
𝜔 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎
Il nostro obiettivo era studiare il comportamento del corpo
(carrellino) quando riceve una spinta costante e regolare chiamata
forzante (equazioni in basso) e determinare quando si ottiene una
risonanza.
La risonanza è un particolare avvenimento nel quale la frequenza
del corpo che oscilla è uguale alla frequenza che riceve così si
ottiene la risposta massima dal corpo alla sollecitazione (cioè
l’ampiezza massima).
𝑥 𝑡 =
F0/m
𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝛼)
F0 = forza forzante
m = massa carrellino
wn = frequenza motore
wf = frequenza propria
 = coefficiente di attrito
Apparato sperimentale
molla
motore
carrellino
Emettitore di
onde sonore
(sensore di
moto)
OSCILLAZIONE SMORZATA
𝑥 𝑡 =
−𝑡
𝑥0 𝑒 𝜏
sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
1.200
1.000
Oscillazione (m)
0.800
y = 1.0532e-0.008x
R² = 0.9935
0.600
0.400
0.200
0.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Tempo (s)
Series1
Expon. (Series1)
ANDAMENTO PERIODO/MASSA
Relazione matematica:
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
2.5
Periodo (s)
2
1.5
y = 0.0639x0.5019
R² = 0.999
1
Series1
Power (Series1)
0.5
0
0
200
400
600
Massa (g)
800
1000
1200
CONDIZIONE DI RISONANZA
Frequenza propria = 4,163 (1/s)
Apparato sperimentale
Grafico ampiezza-frequenza (gruppo 2)
Frequenza propria = 4,082 (1/s)
SONOMETRO E ONDE
STAZIONARIE
LA DOMANDA: IL MODELLO DI BOHR
• Per spiegare gli spettri di emissione, Bohr ipotizzò
che fossero consentite solo certe orbite,
caratterizzate da un’energia quantizzata.
• Ciò spiegava molte cose, ma perché queste orbite
erano quantizzate? Perché l’elettrone poteva
muoversi solo su quelle precise traiettorie?
LA RISPOSTA: DE BROGLIE E IL
DUALISMO ONDA-CORPUSCOLO
• Louis De Broglie, per spiegare questo strano
comportamento, ipotizzò che ogni cosa si
comporti a volte come corpuscolo, a volte
come onda con una lunghezza caratteristica
• Tuttavia, per corpi macroscopici la lunghezza
d’onda caratteristica è talmente piccola da
non poter essere apprezzabile
LA RISPOSTA: DE BROGLIE E IL
DUALISMO ONDA-CORPUSCOLO
• De Broglie formulò un’equazione per
descrivere inizialmente solo il comportamento
dell’elettrone
ℎ
𝜆 =
𝑞
• Sapendo che il momento angolare è
quantizzato: 𝑚𝑣𝑟𝑛 = 𝑛ℎ/2𝜋 →
• 𝑞𝑟𝑛 =
𝑛ℎ
2𝜋
→
ℎ
𝑟𝑛
λ
=
𝑛ℎ
2𝜋
→ 𝒏𝝀 = 𝟐𝝅𝒓𝒏
LA RISPOSTA: DE BROGLIE E IL
DUALISMO ONDA-CORPUSCOLO
• Quindi, gli elettroni non possono seguire
qualsiasi orbita, ma solo alcune consentite,
che corrispondono a un numero intero di
lunghezze d’onda
• L’orbita si comporta quindi come un’onda
stazionaria
LE ONDE STAZIONARIE
• Onde periodiche,
sinusoidali,
oscillano ma non si
propagano nello spazio.
• Esse si riflettono in una zona
limitata dello spazio, e
interferiscono con sé stesse,
creando nodi fissi.
LE ONDE STAZIONARIE
• Sono dotate di precise lunghezze d’onda proprie:
non possono quindi oscillare con qualsiasi
lunghezza d’onda (come gli elettroni).
2𝐿
,
𝑛
• λ=
dove L è la lunghezza della corda, e n un
numero naturale
• Le onde stazionarie sono quindi caratterizzate da
precise frequenze di risonanza, dette armoniche.
L’armonica fondamentale è la frequenza
caratterizzata da n=1. Tutte le altre risultano
essere multiple della fondamentale.
LE ONDE STAZIONARIE
• Possiamo trovare quindi la frequenza:
𝑓λ = 𝑣,
dove v è la velocità di propagazione, che per le
onde stazionarie è 𝑣 =
𝑇
.
𝜇
T è la tensione della corda, mentre μ è la sua
densità lineare
ESPERIENZA DEL SONOMETRO
Magnete collegato
al generatore
Generatore
Sensore collegato
all’oscilloscopio
Oscilloscopio
Corda vibrante
Masse
Oscilloscopio
Sensore collegato
all’oscilloscopio e scala
graduata
Generatore
Sensore collegato
all’oscilloscopio
Oscilloscopio
Magnete
collegato al
generatore
Masse
Sonometro
Corda vibrante
Formule utili
λn = 2L/n
f = v/ λ
v = T/μ
T = mg
Dati
L = 0,6 m
μ = 0,001683 kg/m
m = 3 kg
T = 29,43 N
ARMONICA FONDAMENTALE
 Abbiamo ricavato la velocità:
m=3 kg
v = T/μ = 132 m/s
f = v/ λ = 110,2 Hz
 Abbiamo poi fatto lo stesso fino ad
arrivare a n = 4, quindi fino alla quarta
armonica
 Abbiamo infine verificato la
proporzionalità diretta tra la
frequenza dell’armonica e il numero
naturale «n», infatti al crescere di «n»
si può notare anche una crescita della
frequenza.
500
450
400
Frequenza (Hz)
 Abbiamo posto n=1, poiché facciamo
riferimento alla prima armonica,
quindi λ = 2L/n = 2L = 1,2 m
 Possiamo dunque trovare la
frequenza dell’armonica
fondamentale, infatti
350
300
250
200
150
100
50
0
0
1
2
3
n
4
5
 Servendoci dell’equazione
qui a fianco e sostituendo i
dati a noi noti è stato
possibile ricavare la densità
lineare
 Il risultato è stato piuttosto
soddisfacente!
Equazione
retta
Y= T*n^2= µ
(2L*f) 2 = µ
x
600
500
y
400
y = 0,0017x - 0,2651
300
200
100
0
0
100000
200000
x
µ(effettivo)=0,001683 kg/m
300000
Densità da noi
trovata
Cambiando la tensione…
Gli obiettivi
• Scoprire le frequenze armoniche della
medesima corda sottoposta a tensioni diverse.
• Calcolare approssimativamente il valore della
densità lineare μ a partire dalla frequenza
armonica di risonanza e dalla tensione
applicata.
Le formule di partenza
λ=
λ𝑓 =
2𝑙
𝑛
𝑇=
𝑇
𝜇
𝑇 = 𝜇𝑣 2
4𝑙 2 𝑓2
𝜇 2
𝑛
I risultati
60
50
y = 0.00168x - 0.12456
40
30
T (N)
20
10
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
v2
(m2/s2)
𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟖 𝒌𝒈/𝒎
30000
35000
De Broglie e la corda vibrante?
• Relazione per una corda vibrante
2𝑙
λ=
𝑛
• Relazione di De Broglie per l’elettrone
𝟐𝝅𝒓𝒏
𝝀=
𝒏
Elaborato a cura di:
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Sara Gueddari
Francesca Roselli
Albertina Regalini
Matteo Pasotti
Roberto Berlucchi
Jacopo Baffelli
Lorenzo Rossi
Riccardo Barbieri
Carlo Ambrosoli
Valeria Zuccoli