Progetto lauree scientifiche
Unità 3
Paola Gario
Flavia Giannoli
Il più famoso libro di matematica di
tutti i tempi !!!
• Gli “Elementi” di
Euclide, scritti
verso il 300 a.C.,
• sono il modello del
modo di ragionare
in matematica.
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
“Caro re, anche tu come tutti, dovrai
seguire questa strada.
Non esistono vie regie in geometria! “
fu la risposta di
Euclide al re
Tolomeo, che
pretendeva un
modo più veloce
per imparare la
geometria
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
• Nella geometria di Euclide gli oggetti geometrici,
esclusi quelli primitivi, devono essere costruiti
seguendo precise regole.
• I postulati danno le regole del gioco!
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
Postulato I di Euclide
Che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
.
.
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Postulato II di Euclide
• E che una retta terminata si possa prolungare
continuamente in linea retta.
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Postulato III di Euclide
• E che si possa descrivere un cerchio con
qualsiasi centro ed ogni raggio.
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Paola Gario – Flavia Giannoli
I Postulati di Euclide definiscono gli
strumenti con i quali possiamo fare le
costruzioni geometriche
• I Postulati I e II di Euclide definiscono la riga,
mediante la quale possiamo unire due punti e
prolungare un segmento.
• Il Postulato III di Euclide definisce il compasso
mediante il quale possiamo tracciare le due
circonferenze di centro B e C, rispettivamente, e
di raggio il segmento BC.
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
In conclusione, i
Postulati I, II e III
di Euclide
definiscono le
regole delle
cosiddette
costruzioni con
riga e compasso.
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Gli enti geometrici sono enti ideali.
Una retta è una “linea senza spessore”:
ma il segno che la matita lascia sul foglio
ha uno spessore, per quanto piccolo!
Il disegno è una rappresentazione
concreta dell’oggetto geometrico.
Ma non è l’oggetto geometrico!
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
È la fotografia del mio gatto,
ma …. non è il mio gatto!
Miao!
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
• In geometria non ha dunque molta
importanza la precisione del
disegno.
• Può essere fatto anche a mano
libera.
• È invece importante fare solo ciò
che le regole del nostro gioco
permettono!
• Così facendo, il nostro disegno,
anche se eseguito da mano
imprecisa, rappresenta una figura
esatta.
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
Osserva la costruzione fatta a partire dal
segmento AB che è qui riportata.
A
B
Qual è l’oggetto geometrico costruito?
a.s. 2005-06
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Per costruire il triangolo equilatero
abbiamo ammesso che esista il punto C
comune alle due circonferenze disegnate
C
A
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B
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D’ora in avanti ammetteremo sempre che
• se i punti di un arco di circonferenza si
trovano sia all’esterno che all’interno di una
circonferenza data, allora tale arco ha un
punto che appartiene alla circonferenza
data.
• Analogamente, se i punti di un segmento si
trovano sia all’esterno che all’interno di una
circonferenza data, allora tale segmento ha
un punto che appartiene alla circonferenza
data.
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Abbiamo così aggiunto una ulteriore
regola al nostro gioco, cioè unC nuovo
postulato cui diamo il nome di
A
Postulato dell’intersezione
B
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Riassumendo
le costruzioni geometriche con
riga e compasso si basano sulle
seguenti regole
• Postulati I, II, III di Euclide (Postulati
della riga e del compasso)
• Postulato dell’intersezione
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Ed ora … giochiamo!!!
Il segmento AB appartiene alla retta r. Con il
compasso possiamo “staccare” sulla retta tanti
segmenti congruenti al segmento AB, tanti quanti
ne vogliamo…
r
B5
A
B
B1
B6
B2
AB è congruente a ciascuno dei segmenti BB1, B1B2…
Diciamo che abbiamo trasportato il
segmento AB lungo la retta r cui appartiene
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Problema
Dato un segmento AB e un punto C,
costruire un segmento avente un estremo
nel punto C e che sia congruente al
segmento AB.
B
C
A
Ricordiamoci che possiamo “giocare”
solo con le regole stabilite!
a.s. 2005-06
Paola Gario – Flavia Giannoli
Attenzione !!!
Nessuna delle nostre regole ci autorizza
a usare
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Paola Gario – Flavia Giannoli
Il segmento CF è
congruente al
segmento AB
D
B
C
A
E
F
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Passo dopo passo, il segmento
AB ha raggiunto il punto C.
Il segmento AB è stato
trasportato in C!
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