Misure di concentrazione
(Dati in classi oppure individuali)
Distribuzioni per dimensione disperse e asimmetriche:
Scarso significato di media aritmetica e mediana
(nessun valore prevalente, risentono valori minimi)
Siano:
N = n. totale delle unità
ni = n. unità classe i (se dati individuali ni =1)
Y = Somma di una variabile y per tutto il collettivo
yi = Somma di una variabile per la classe i (o valore se dati individuali)
Meglio MEDIA ENTROPICA
(peso + che prop. ai valori più grandi)
1
 yi  
MH  exp  i yi lg  
 ni 
Y
E’ sempre MH  MAritmetica
se = allora equidistribuzione
 Misura relativa = MH/MA
(1)
Misure di concentrazione
Quota di Y detenuta dalle prime k classi (individui)
Indice di concentrazione di Gini


R  1  i  pi  pi 1 qi  qi 1 
1
pi 
Y
i
y
j 1
j
1
qi 
N
i
n
j 1
j
K classi ordinate in ordine crescente
pi = frazione di A “fino” alla classe i
qi = frazione di unità “fino” alla classe i
Compreso tra 0 e 1
Misure di concentrazione
Indice di entropia di Theil:

y
Y
T  i i lg ni 
Y
yi 

yi
n y
lg i i
Y
N Y
Log ( N )  T 

Log ( N )  T
Log ( N )
normalizza to
i
diretto
T è una misura inversa, Compreso tra 0 (max) e lg(N) (equi)
Indice additivo (se gruppi di imprese)
Entropia tot. = Entropia tra + Entropia in
Misure di concentrazione
Indice di Herfindhal:
2

 yi 1  
 
H  i 

 Y ni  
Compreso tra 1/N e 1
Comportamento degli indici
Per capire la “sensitività” degli indici immaginiamo un
sistema che abbia 100 imprese (N) e 1000 addetti (Y)
Calcoliamo gli indici per tutti i valori possibili di imprese e
addetti, cioè:
1 impresa ha 1000 addetti e tutte le altre 0
2 imprese hanno 1000 addetti (500 ciascuna) e tutte le
altre 0 Etc…
Naturalmente il grafico è simmetrico e negli angoli
Alto-sinistra e basso-destra ci sono le concentrazioni
massime, mentre la diagonale rappresenta
l’equidistribuzione.
MEDIA ENTROPICA
nell’area “azzzurra” la ME è (circa) = MA
INDICE DI GINI
Perfettamente simmetrico
THEIL normalizzato (/lg(N))
Simmetrico ma con “bande” di diversa ampiezza
HERFINDHAL
Sensibile solo ai valori “estremi”