Da Galileo ad Avogadro Le sensazioni di caldo e freddo non dipendono solo dalla temperatura. Il giovane Galileo sfrutta la dilatazione termica dell’aria in uno dei primi strumenti di misura della temperatura, il termoscopio fiorentino. Nel 1641 entrano in uso i primi termometri ad alcol. Nel 1643 Torricelli introduce il manometro a mercurio. Nel 1651 Otto von Gueriche introduce la prima pompa da vuoto. Nel 1660 Boyle nota che, a temperatura costante, il volume di un cilindro pieno d’aria è inversamente proporzionale alla pressione Nella prima metà del ‘700 vengono introdotti i termometri a mercurio e le scale di temperatura Fahrenheit e centigrada. Nella seconda metà del 700 iniziano misure sistematiche delle masse dei reagenti e dei prodotti di reazione gassosi, misure che guidano Lavoisier alla scoperta della legge di conservazione della massa (1789). Nei primi anni dell’800 Gay-Lussac, Dalton ed Avogadro mostrano che gas diversi hanno comportamenti molto simili e stabiliscono le leggi dei gas perfetti e delle miscele di gas perfetti. Temperatura assoluta Indichiamo provvisoriamente con t la temperatura misurata in gradi centigradi con un termometro a mercurio (t=0 per il ghiaccio fondente, t=100 per l’acqua bollente a livello del mare, scala graduata con tacche equidistanti). Dalle misure di Gay-Lussac risulta che il comportamento dei gas è ben descritto dalla legge pV p0V0 (1 αt) quasi indipendente dal gas considerato. 1 con α 273.15 Ciò suggerisce di definire la temperatura T 273.15 t pV p 0 V0 e di scrivere T T0 Da Avogadro alla definizione moderna di mole (mol) Una mole è costituita da un numero di particelle uguale al numero di atomi contenuti in 12 g dell’isotopo 12 del carbonio. Tale numero vale Ν A 23 6.0221415 10 Ad esempio si può parlare di una mole di neutroni, di elettroni, di ioni sodio, di atomi di idrogeno, di idrogeno (molecolare), d’acqua, d’oro, di zucchero,.. La legge dei gas perfetti prende l’una o l’altra delle forme RT J pV NRT , p nRT , p ρ , con R 8.31447 M molK Per una miscela di gas perfetti vale la legge di Dallton pk V Nk RT ovvero pk n k RT Dove pk ed nk sono pressione parziale e densità del k-esimo componente. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI • ISOLATO. Può essere permeato dal campo gravitazionale, ma non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante. • CHIUSO. Può interagire con l’ambiente circostante in ogni modo possibile, tranne che scambiando atomi o molecole. • APERTO. Può scambiare anche atomi o molecole con l’ambiente circostante. Termodinamica di un sistema isolato • Il momento ed il momento angolare del sistema isolato si conservano sempre. Nel seguito penseremo che siano nulli. • Anche l’energia U del sistema isolato si conserva sempre, ma può essere degradata da forme ordinate, ad esempio energia di un pendolo, o di una goccia di benzina o di una pila interni al sistema, a forme disordinate, ad esempio energia cinetica e potenziale delle molecole che compongono il sistema ed energia dei fotoni interni al sistema, • L’entropia S del sistema isolato aumenta spontaneamente, raggiungendo un valore stazionario quando il sistema raggiunge uno stato di equilibrio metastabile e raggiungendo valore massimo quando il sistema raggiunge lo stato di equilibrio stabile. • In condizioni di equilibrio, la temperatura T del sistema ed i potenziali elettrogravitochimici mk di ciascuna specie di particelle componenti il sistema sono uniformi. Esempio 1: torre isolata contenente azoto in equilibrio a temperatura T Pensiamo che l’azoto sia un gas perfetto e teniamo conto che la sua densità è legata alla massa molare Mp(z) ρ(z) RT ρ M, alla pressione p ed alla temperatura T dalla legge Poi notiamo che, in equilibrio, la forza risultante agente su un cubetto d’azoto è nulla, quindi le pressioni a destra e a sinistra sono uguali, ma la pressione in basso deve essere maggiore di quella in alto, precisamente Mp(z) dp(z) Mg p(z)dS p(z dz)dS ρgdSdz gdSdz p(z) RT dz RT p(z) p(0)e Mgz RT p(z) Mgz RTln μ costante p(0) Nel caso che la torre contenga una miscela di gas perfetti in equilibrio a temperatura T p k (z) μ k M k gz RTln sono uniformi i potenziali gravitochimici p k (0) quindi non sono uniformi le concentrazioni dei componenti. Sistema isolato fuori equilibrio La temperatura ed i potenziali elettrogravitochimici delle varie specie di particelle componenti il sistema dipendono dal tempo t e dalla posizione r, ovvero sono descritte dai campi scalari T(t, r) e μ k (t, r). I gradienti di tali campi scalari sono campi vettoriali che giocano il ruolo di “forze” e producono flussi di energia e di particelle. Fino a quando le deviazioni dalle condizioni di equilibrio sono modeste i flussi sono proporzionali alle “forze” ed agiscono facendo evolvere il sistema verso la condizione di equilibrio, ovvero facendo diminuire le “forze”. In tale evoluzione la densità di energia u(t,r) dipende dal tempo e dalla posizione, ma il suo integrale esteso a tutto il sistema rimane costante. Invece l’integrale esteso a tutto il sistema della densità di entropia s(t,r) aumenta nel tempo sino a raggiungere valore stazionario quando si stabilisce l’equilibrio metastabile e valore massimo quando si stabilisce l’equilibrio completo. Leggi della Termodinamica per sistemi chiusi Legge 0. Due sistemi, ciascuno in equilibrio termico con un terzo sistema, sono in equilibrio termico (rimangono in equilibrio quando vengono portati a contatto) I legge. In una generica trasformazione l’energia U di un sistema chiuso varia di U Q W Dove Q è la quantità di calore assorbita dal sistema e W è il lavoro fatto sul sistema. Per trasformazioni infinitesime la I legge diventa dU dQ dW II legge. In trasformazioni infinitesime l’entropia di un sistema chiuso varia di dQ dS dSi con dSi 0 , quindi dQ TdS - TdSi T Il termine dSi è maggiore di zero per trasformazioni reali ed uguale a zero per trasformazioni ideali reversibili. Ma l’entropia, come l’energia, è una funzione di stato (lo dimostreremo), quindi le variazioni di entropia tra stati di equilibrio possono essere calcolate sostituendo le trasformazioni reali irreversibili con trasformazioni ideali reversibili ed integrando dQ/T tra lo stato di equilibrio iniziale e quello finale. III legge. L’entropia di qualunque sistema tende a zero per T tendente a zero. Superficie pVT per una sostanza che fondendo si dilata Equazioni di stato di sostanze pure Un sistema costituito da N moli di una sostanza pura chiusa in un cilindro con pistone ha stati di equilibrio individuati da T, V ed N: fissati tali valori è individuata anche la pressione. La funzione p(T,V,N) è l’equazione di stato della sostanza e deve essere determinata sperimentalmente. Ad esempio pensiamo di aver scelto N=1, di iniziare l’esperimento con V=100 litri e di misurare p in funzione di T, senza porre limiti alle nostre capacità sperimentali. A T=0 la sostanza è solida (He a parte) ed occupa una piccolissima frazione del volume (una decina di cm^3) lasciando il volume residuo a pressione nulla. Per T>0, ma piccolo, una parte del solido è sublimata e la pressione nella camera è la tensione di vapore del solido. Aumentando ancora T aumenta la tensione di vapore e può avvenire che il solido fonda oppure che sublimi diventando via via più piccolo sino a scomparire. Nel primo caso la fusione avviene ad una ben definita temperatura Ttr e ad una ben definita pressione ptr che rimangono inalterate anche ripetendo l’esperimento con volumi via via minori. La linea individuata da Ttr , ptr e da un volume compreso tra due valori estremi prende il nome di linea tripla. Per stati individuati da punti della linea tripla le fasi solida, liquida e vapore coesistono (per l’acqua ptr=6mbar=600 Pa e Ttr=0.01C=273.16 K). Per temperature minori di Ttr, e per volumi tali da non lasciar spazio al vapore, la linea tripla non si incontra più, il solido rimane solido e la pressione aumenta enormemente all’aumentare della temperatura. Ora pensiamo di seguire le isoterme iniziando da volumi grandi. Per temperature comprese tra Ttr e Tc le isoterme attraversano nell’ordine la fase vapore, la regione di coesistenza vapore-liquido (nella quale anche la pressione rimane costante), la fasa liquida, la regione di coesistenza liquido-solido ( anche in tale regione la pressione rimane costante) e la fase solida. Invece, lungo le isoterme a temperature maggiori di Tc il gas rimane sempre gas, ma attenzione: il gas ad altissima pressione non differisce sostanzialmente dal liquido. Linee triple e punti critici di alcune sostanze Sostanza Ttr K Elio 4 2.172 Idrogeno 13.84 Neon 24.57 Ossigeno 54.36 Azoto 63.18 Metano 90.6 NH3 195.4 CO2 216.6 Acqua 273.16 ptr mbar 50.4 70.4 432 1.52 125 116.5 60.75 5170 6.105 Tc K 5.3 33.3 44.45 154.8 126.2 190.7 405.6 304.2 647.3 pc bar 2.3 13 26.54 50.8 33.9 46.4 114 73.9 220.9 Vc cm^3/mol 58 64.5 41.4 74.4 90.1 99.4 72.5 94 56.8 Esempio 2: fusione del ghiaccio Una brocca inizialmente isolata, contiene 1 litro d’acqua e 500 g di ghiaccio in equilibrio a pressione atmosferica (1 bar). Al tempo zero l’isolamento viene tolto ed il ghiaccio comincia a fondere. Dopo due ore, quando fonde anche l’ultimo pezzo di ghiaccio, l’isolamento viene ripristinato. Alla pressione di 1 bar e a 0 C il ghiaccio e l’acqua hanno densità 0.916 kg/dm^3 e 0.9998 kg/dm^3; il calore latente di fusione vale 6 kJ/mol. Di quanto aumenta nelle due ore l’entropia del sistema contenuto nella brocca? E l’energia? Se volessimo descrivere il processo reale dovremmo considerare il flusso di calore attraverso le pareti della brocca, pensare che lo strato d’acqua a contatto con le pareti si porti a temperatura T un po’ maggiore di To e che il gradiente di temperatura faccia fluire il calore attraverso l’acqua sino al ghiaccio. In tal caso, per valutare la variazione di entropia S= Q/T+ Si , dovremmo valutar T e Si , entrambi dipendenti dalle modalità reali del processo. Ma, visto che gli stati iniziale e finale sono di equilibrio, e visto che l’entropia è una funzione di stato, possiamo procedere molto più semplicemente (ed esattamente): pensiamo che il processo avvenga in un tempo infinito passando attraverso stati di equilibrio con T=To e Si=0. Con tale approccio il calcolo è immediato: S =Q/273.15 K dove Q= 6 x 500/18 kJ. Per calcolare esattamente la variazione di energia dobbiamo tener conto che il volume del sistema diminuisce (il livello dell’acqua nella brocca rimane inalterato, ma il pezzo di ghiaccio inizialmente emerso diventa acqua alla fine), e scrivere U =Q-p V (con V negativo). Esempio 3: vaporizzazione a 100 C Un cilindro con pistone contiene 1 kg d’acqua (liquida) alla temperatura uniforme di 100 C e alla pressione di 1 bar, uguale alla pressione esterna. Al tempo zero il cilindro è posto in contatto con un termostato a 120 C e lasciato espandere fino a quando vaporizza l’ultima goccia d’acqua, poi viene portato in contatto con un termostato a 100 C e raggiunge l’equilibrio a pressione di 1 bar senza che si formino gocce di liquido. Il calore latente di vaporizzazione alla pressione di 1 bar vale 40.66 kJ/mol. Di quanto è variata l’entropia del kg d’acqua? E l’energia? Anche in questo caso, come sempre, il processo reale non è reversibile, ma gli stati iniziale e finale sono di equilibrio, quindi possiamo calcolare le variazione delle funzioni di stato pensando che il processo di vaporizzazione avvenga con infinita lentezza prelevando il calore da un termostato a 100 C, e senza tener conto che il pistone, certamente soggetto ad attrito, si muove solo quando la pressione interna è maggiore di quella esterna. Pertanto l’entropia del sistema varia di S =Q/373.15 K con Q= 40.66 x1000/18 kJ. Per calcolare la variazione di energia dobbiamo tener conto che il volume del vapore Vvap e maggiore del volume del liquido Vliq, quindi il sistema fa il lavoro L=p (Vvap-Vliq) sull’ambiente e U =Q-L Per valutare approssimativamente Vvap possiamo usare la legge dei gas perfetti, ma per calcoli accurati dobbiamo tener conto che il vapor d’acqua non è un gas perfetto. Espansione libera dei gas perfetti Una scatola rigida è divisa in due parti da una parete rigida. Una parte contiene N moli di un gas, ad esempio azoto, la seconda è vuota. La scatola viene immersa in un calorimetro e, dopo un tempo sufficientemente lungo, raggiunge l’equilibrio termico a temperatura T. A questo punto azioniamo un martelletto interno alla scatola, rompiamo la parete, aspettiamo un po’ e misuriamo la temperatura. Con strumenti moderni (calorimetro e pareti della scatola di piccolissima capacità termica, termometro sensibilissimo) si trova che la temperatura diminuisce (le molecole “rallentano” quando si allontanano l’una dall’altra), ma l’effetto è piccolissimo e non era osservabile nei primi esperimenti di Joule. Pertanto Joule concluse che i processi di espansione libera (con baricentro fermo alla fine come all’inizio) lasciano invariata la temperatura del gas, quindi lasciano invariata anche l’energia, infatti la scatola rigida non scambia lavoro, oltre a non scambiare calore con l’ambiente. Noi concludiamo con un’affermazione che equivale ad una nuova definizione di gas perfetto: l’energia interna dei gas perfetti dipende solo dalla temperatura. Espansione isoterma di gas perfetti Un cilindro con pistone contiene 3 moli di He in equilibrio a 0 C e alla pressione di 10 bar. Al tempo zero il fermo che trattiene il pistone viene rimosso, il pistone parte in avanti, il cilindro rincula, le due parti oscillano un po’, ma gli attriti smorzano gradualmente le oscillazioni ed il sistema si porta in equilibrio con l’ambiente a 0 C e ad 1 bar. Di quanto è variata l’energia del gas ? E l’entropia ? Certamente il processo è irreversibile e fa aumentare l’entropia dell’universo, ma gli stati iniziale e finale del gas sono di equilibrio, quindi possiamo calcolare esattamente le variazioni di energia ed entropia del gas pensando che il processo passi attraverso stati di equilibrio. Nelle condizioni precisate l’elio è un gas perfetto con ottima approssimazione e la temperatura finale è uguale a quella iniziale, quindi la variazione di energia è nulla. Per calcolare la variazione di entropia consideriamo una trasformazione isoterma reversibile da p1=10 bar a p2=1 bar. In tale trasformazione il lavoro fatto dal gas sull’ambiente vale V2 V2 dV V2 p1 L pdV NRT NRT ln NRT ln 1.569 104 J V1 p2 V1 V1 V Poiché U =0 e Q=-W=L, la variazione di entropia del gas risulta Q L p1 J ΔS NR ln 57.43 T T p2 K Si noti che questo risultato vale anche nel caso di espansione libera. Calori specifici molari Cv e Cp Il calore Q assorbito ed il lavoro L=-W fatto da un sistema quando passa da uno stato di equilibrio ad un altro dipendono dalla trasformazione. In particolare, in una trasformazione infinitesima a volume costante dL=0, quindi dQ= dU, mentre in una trasformazione a pressione costante dQ= dU+pdV. Il rapporto dQ/dT, valutato per una mole di sostanza, viene indicato con Cv nel primo caso e con Cp nel secondo (calori specifici molari a volume e a pressione costante). In generale Cv e Cp dipendono dallo stato in modo complicato, ma sono legati l’uno all’altro da una relazione termodinamica semplice, infatti, pensando ad U come funzione di T e V (N=1), possiamo scrivere U U U dU dT dV , quindi CV e T V V T T V U V U U V V Cp p CV p T V V T T p T p V T T p Cv e Cp per gas perfetti Per i gas perfetti l’energia dipende solo dalla temperatura, mentre la derivata parziale del volume molare rispetto alla temperatura, presa a pressione costante, vale R/p, quindi la relazione tra i calori specifici molari Cv e Cp dei gas perfetti si riduce a Cp CV R A pressioni e temperature ordinarie questa relazione è in ottimo accordo con gli esperimenti per tutti i gas. Le misure calorimetriche mostrano che i gas monoatomici (gas nobili) hanno Cv=(3/2)R, e che, a temperature ambiente, i gas biatomici, hanno Cv lievemente diverso da (5/2)R, quindi Cp vale (5/2)R per gas monoatomici ed è ben approssimato da (7/2)R per gas biatomici. Pertanto il rapporto γ Cp CV vale 5 / 3 1.667 per gas monoatomici 7 / 5 1.4 per gas biatomici In particolare, per l’aria γ 1.4 con ottima approssimazione. Teoria cinetica elementare Pensiamo che una singola molecola di massa m sia confinata in una scatola cubica di lato L e si muova rimbalzando elasticamente sulle pareti. In tal caso ogni volta che incontra una delle pareti normali all’asse x le cede l’impulso 2mvx . L’intervallo di tempo tra due urti successivi sulla stessa parete vale t 2L / vx , quindi il valor medio della forza esercitata sulla parete risulta mvx2 / L. Ora pensiamo che il cubo contenga N moli, quindi NNA molecole, 2 2 indichiamo con v x il valor medio di v x preso su tutte le molecole e notiamo che la pressione agente sulla parete risulta NN A 2 p 3 mvx L Confrontando questa equazione con la legge dei gas perfetti si vede che RT R 23 J k BT dove k B 1.38065 10 NA NA K Naturalmente mv2 m( v2x v2y v2z ) 3k BT, quindi l’energia cinetica media traslazionale di una molecola vale m v 2x 1 3 2 m v k BT 2 2 Processi adiabatici nei gas perfetti L’energia del gas perfetto dipende solo dalla temperatura, quindi la variazione di energia di una mole per una variazione di temperatura dT vale dU=CvdT, qualunque sia il processo. Ora pensiamo che il processo sia adiabatico e reversibile. In tal caso dU=-pdV=-RT dV/V, quindi i processi di compressione-espansione adiabatici reversibili del gas perfetto sono governati dall’equazione dT dV dV dT dV CV R (Cp CV ) (γ 1) 0 T V V T V Quindi l’espansione o la compressione adiabatica avviene con TV γ 1 costantea Sostituendo T con pV/R, oppure V con RT/p si vede anche che γ γ 1 γ pV costanteb e T p costantec Velocità del suono nei gas Pensiamo che l’estremità di una barra seminfinita, inizialmente nell’origine, sia stata sollecitata al tempo zero da una forza impulsiva e descriviamo con s(t,x) il campo di spostamento al tempo t. La A = sezione trasversa fettina di barra considerata in figura era compresa tra x ed x+dx al tempo zero ed è compresa tra x+s(t,x) ed x+dx+s(t,x+dx) al tempo t, quindi conserva la massa ρAdx, ma ha lunghezza dx(1 s(t, x)/x) ed è soggetta alla tensione 2 s(t, x) τ (t, x) B . Pertanto sulla fettina agisce la forza risultante F(t, x) A[ τ (t, x) τ (t, x dx)] AdxB s(t, x) x x 2 2s(t, x) B 2s(t, x) Ciò comporta che la fettina ha accelerazione . Quindi il campo di spostamento ρ x 2 t 2 si propaga con velocità v B ρ. Ora pensiamo che la barra sia sostituita da un cilindro di gas, ammettiamo che le compressioni-espansioni siano adiabatiche ed indichiamo con ρ0 la densità imperturbata. In tal caso la fettina di gas di lunghezza dx(1 s(t, x)/x) è soggetta alla pressione p(t, x) legata alla pressione imperturbata p0 da p(t, x)[Adx(1 s(t, x)/x)]γ p0[ Adx ]γ Quindi il campo di pressione risulta p(t, x) p0 (1 s(t, x)/x)γ p0 γp0s(t, x)/x , la forza risultante p(t, x) 2s(t, x) agente sulla fettina vale F(t, x) A[p(t, x) p(t, x dx)] Adx γp0 A dx 2 x x 2s(t, x) γp0 2s(t, x) γRT0 2s(t, x) dove M è la massa molare e l’accelerazione risulta 2 2 2 ρ M t x x 0 Quindi l’onda di pressione si propaga nel gas con velocità v γRT0 /M Macchina ideale di Carnot Una mole di gas perfetto descrive il ciclo in figura: gli stati A e B stanno sull’isoterma a temperatura T2, gli stati C e D sull’isoterma a temperatura T1, lo stato D sta sull’adiabatica passante per A, lo stato C sull’adiabatica passante per B. Si noti subito che T2 VBγ 1 T1VCγ 1 , T2 VAγ 1 T1VDγ 1 , quindi VC VD VB VA I lavori fatti nell’espansione adiabatica BC e nella compressione adiabatica DA sono opposti perché uguali alle variazioni di energia. Il lavoro fatto nell’espansione isoterma AB è uguale al calore Q2 assorbito, mentre il lavoro ricevuto nella compressione isoterma CD è uguale al calore ceduto Q1. Pertanto il rendimento del ciclo vale η L Q 2 Q1 Q T ln(VC /VD ) T 1 1 1 1 1 1 Q2 Q2 Q2 T2ln(VB /VA ) T2 e ciò comporta che Q1 Q2 T1 T2 Dunque, dopo un ciclo sia l’entropia del gas, sia l’entropia dell’universo riprendono i valori iniziali. A questo punto enunciamo il teorema di Carnot in linguaggio moderno: il rendimento di una macchina termica reale, funzionante con termostati alle temperature T2 e T1, non è maggiore di 1-T1/T2. Q T Q1 Q 2 Dopo un ciclo la macchina reale riprende l’entropia iniziale, 1 1 1 1 quindi Q2 T2 T1 T2 ma l’entropia dell’universo è aumentata perché la macchina Q Q ha fatto fluire nell’universo l’entropia Si creata al suo interno: ΔSi 1 2 0 T1 T2 Lasciamo per esercizio di mostrare che il teorema di Carnot esclude che il calore possa passare spontaneamente da un corpo freddo ad un corpo caldo, ed esclude che possa esistere una macchina ciclica che converta totalmente in lavoro il calore prelevato da una sorgente. Definizione termodinamica della temperatura Un corollario del teorema di Carnot è che una macchina ciclica reversibile che assorbe calore solo da un termostato alla temperatura T2 e ne cede una parte solo ad un termostato a temperatura T1, ha rendimento 1-Q1/ Q2 = 1-T1/T2, qualunque sia la sostanza che compie il ciclo. Ciò assegna al termometro a gas perfetto un ruolo importantissimo: se le temperature non fossero misurate con termometri tarati per confronto con il termometro a gas perfetto le relazioni termodinamiche risulterebbero molto più complicate di quanto non siano. In realtà i termometri con bulbi di volume costante contenenti gas molto diluiti approssimano bene il termometro a gas perfetto, ma il loro uso richiede un’altissima specializzazione, quindi è limitato a pochi laboratori metrologici internazionali (vedi ad esempio www.bipm.fr ), che provvedono a misurare con accuratezza via via crescente i punti tripli di varie sostanze. Dal 1954 la scala termodinamica di temperatura è definita ponendo uguale a zero la temperatura alla quale si annulla la pressione nei termometri a gas e ponendo uguale a 273.16 K la temperatura della linea tripla dell’acqua, senza far più riferimento alla temperatura di ebollizione. Allora si pensava che la nuova scala coincidesse con quella usata in precedenza (che fissava a 273.15 K e a 373.15 K le temperature di fusione ed ebollizione dell’acqua a pressione atmosferica), ma misure accurate hanno mostrato che non è così: a pressione atmosferica il ghiaccio fonde davvero a 273.15, ma l’acqua bolle a 373.12 K ! La scelta del punto triplo dell’acqua come punto fisso della scala termometrica, oltre ad essere motivata dalla necessità di avere un riferimento indipendente dalla pressione atmosferica, ha una ragione pratica: un’ampolla contenente ghiaccio, acqua e vapore in equilibrio (cella di Kelvin) è un ottimo termostato, rimane a temperatura di 273.16 K fino a quando vi rimane un po’ di ghiaccio. La funzione di stato entalpia Pensiamo che un sistema chiuso contenuto nel volume costante V sia fuori equilibrio e domandiamo: come dobbiamo agire per mantenere costante la sua entropia? Dobbiamo estrarre dal sistema l’entropia prodotta dai processi irreversibili interni, infatti dU=dQ-pdV= TdS-TdSi -pdV, quindi S e V possono rimanere costanti solo se U diminuisce, ovvero se fluisce calore verso l’ambiente. Ora consideriamo un sistema chiuso fuori equilibrio mantenuto a pressione p costante e riproponiamo la domanda: come dobbiamo agire per mantenere costante l’entropia. Naturalmente dobbiamo estrarre entropia dal sistema anche in questo caso, ma ora -pdV può essere positivo e maggiore di TdSi, quindi l’energia può anche aumentare. Ma deve diminuire la funzione di stato entalpia H=U+PV. Infatti dH=dU+pdV+Vdp=dQ + Vdp = TdS-TdSi+ Vdp è certamente negativa nei processi irreversibili a pressione ed entropia costanti. Ma l’importanza dell’entalpia non sta tanto nella sua proprietà di diventare minima quando viene raggiunto l’equilibrio a p ed S costanti, quanto nei seguenti fatti. • H Il calore specifico molare a p costante è null’altro che Cp (H molare). T p • I calori latenti di fusione e vaporizzazione sono null’altro che ΔH fus e ΔH vap . • Nelle reazioni chimiche a pressione costante H è il calore di reazione. Energia libera ed energia di Gibbs Continuiamo a pensare che un sistema chiuso compia lavoro solo del tipo dL=pdV e che sia inizialmente fuori equilibrio. Sappiamo già che • l’entropia aumenta quando il volume e l’energia sono costanti, • l’energia diminuisce quando il volume e l’entropia sono costanti, • l’entalpia diminuisce quando la pressione e l’entropia sono costanti. Ora consideriamo le importantissime funzioni di stato F U TS e G H TS La prima prende il nome di energia libera (Free), la seconda è il potenziale di Gibbs. In un generico processo di rilassamento che porta il sistema da uno stato di non equilibrio allo stato di equilibrio le variazioni di F e G sono: dF dU - TdS - SdT TdSi pdV - SdT dG dH - TdS - SdT TdSi Vdp SdT Dunque nei processi di rilassamento • l’energia libera F diminuisce quando V e T sono costanti, • il potenziale di Gibbs G diminuisce quando p e T sono costanti. Il nome energia libera ha origine dal fatto che nei processi isotermi reversibili dF=-pdV: in tali processi F è l’energia disponibile per compiere lavoro. Il potenziale di Gibbs molare di una sostanza alla temperatura T e alla pressione p è il potenziale chimico della sostanza e viene indicato con il simbolo m(T, p) Potenziale di Gibbs e transizioni di fase Una mole d’acqua a 273.15 K e a 1 bar (in aria satura) può essere in una infinità di stati di equilibrio diversi (frazione x solido, frazione (1- x) liquido, con 0< x <1). Da uno stato all’altro possiamo passare con trasformazioni reversibili a pressione e temperatura costanti, quindi tutti gli stati devono avere lo stesso G; in altre parole: una data frazione molare di solido contribuisce a G come una ugual frazione molare di liquido. Generalizzando possiamo dire che: quando due fasi coesistono in equilibrio il potenziale chimico ha lo stesso valore nelle due fasi. Ora pensiamo che la pressione sia fatta variare per passi successivi mantenendo la temperatura costante a 273.15 K, ed aspettando ad ogni passo che il sistema si porti in equilibrio. A temperatura costante la derivata di G rispetto alla pressione è null’altro che il volume quindi G(p) cambia pendenza come mostrato in figura a): per p<1 bar dG/dp=Vs, per p>1 bar dG/dp=Vl. Poi pensiamo che sia fatta variare per passi successivi la temperatura mantenendo costante la pressione ad 1 bar, ed aspettando ad ogni passo che il sistema si porti in equilibrio. A pressione costante la derivata di G rispetto alla temperatura vale –S, quindi G(T) dipende dalla temperatura come mostrato in figura b): cambia pendenza a 273.15 K, perché l’entropia del liquido è maggiore di quella del solido. Potenziale di Gibbs e reazioni chimiche Pensiamo che una camera con pareti flosce e conduttrici contenga inizialmente 10 moli di idrogeno e 5 moli d’ossigeno e sia immersa in un ambiente a temperatura di 25 °C e a pressione di 1 bar. Ammettiamo che la formazione di acqua avvenga tanto lentamente da poter pensare che, ad ogni istante, il sistema sia in equilibrio metastabile, ovvero che la temperatura e la distribuzione spaziale dei gas residui e dell’acqua formata siano in equilibrio. In tal caso, conoscendo il numero di moli d’acqua formata, quindi i numeri di moli d’idrogeno e d’ossigeno residui al tempo t, possiamo calcolare G per lo stato metastabile con il procedimento che illustreremo più avanti. Ma sin da ora possiamo dire con certezza che l’evoluzione temporale di G deve essere del tipo mostrato in figura: G diminuisce progressivamente nel tempo tendendo ad un valore minimo. Vedremo che la condizione dG =0 consente di individuare lo stato di equilibrio finale (solo acqua in un volume di 180 cm^3). Ammesso di conoscere la variazione G del potenziale di Gibbs tra lo stato metastabile iniziale e lo stato stabile finale, possiamo valutare l’entropia prodotta dalla reazione come Si= G /T. Potenziale di Gibbs e diffusione Pensiamo che una camera con pareti flosce e conduttrici, immersa in un ambiente a temperatura T e pressione p, abbia due scomparti, uno contenente N1 moli del gas perfetto 1 ed uno contenente N2 moli del gas perfetto 2. Al tempo zero rompiamo la parete divisoria e lasciamo che i due gas si mescolino fino a formare una miscela di Dalton. Il volume occupato dal gas 1 aumenta del fattore (N1+N2)/N1, quello occupato dal gas 2 aumenta del fattore (N1+N2)/N2 . Quindi l’entropia del sistema aumenta di Si =R ln[(N1+ N2)2 /N1 N2 ]. D’altra parte, visti complessivamente, gli stati iniziale e finale hanno temperatura e pressione uguali, quindi il processo di diffusione fa diminuire il potenziale di Gibbs, precisamente (N1 N 2 ) 2 ΔG TΔ Si RTln N1N 2 Si noti che per N1<< N2, G si riduce a –RT ln(N2 /N1). Soprattutto si noti che, nello stato finale, elementi di volume uguali individuati idealmente entro il sistema complessivo hanno lo stesso potenziale di Gibbs molare: la diffusione agisce in modo da rendere uniforme la densità volumetrica di G, ovvero in modo da rendere uniformi i potenziali chimici di ciascun componente. Torneremo estesamente su questo punto più avanti. Entropia delle sostanze nello stato standard Si usa qualificare come standard le grandezze termodinamiche molari valutate alla pressione p°=1 bar e ad alcune temperature: 298 K, 500 K, 1000 K e 1500 K. Ad esempio S°500 è l’entropia molare valutata per p°=1 bar e T°=500 K. Ma nel seguito, per evitare notazioni pesanti, considereremo solo grandezze standard a T°=298 K ed ometteremo il pedice. La conoscenza delle grandezze termodinamiche standard delle varie sostanze viene da misure (estese anche a bassissime temperature) dei calori specifici, dei calori latenti, dei calori di reazione, delle compressibilità isoterme e dei coefficienti di dilatazione termica. In nessun caso le misure possono essere interpretate con gli strumenti della fisica classica, e molto spesso anche i calcoli condotti con metodi quantistici raffinati e poderose potenze di calcolo non raggiungono accuratezza sufficiente. Ma per stati non troppo diversi dagli stati standard le grandezze termodinamiche possono essere calcolate con semplicità partendo da quelle degli stati standard. In particolare, per molti gas reali e per T poco diversa da T° l’entropia è ben descritta in approssimazione di gas perfetto S(T, p) So CV ln T V T p0 o Rln S C ln Rln p V0 p To To 1) Il calcolo di S° per gas reali non è mai semplice, ma, noto S°, il calcolo di S(T,p) in intervalli ristretti di temperatura e pressione è semplicissimo, basta usare l’equazione 1). Dalla tabella seguente si vede che le entropie molari standard dei gas sono intorno a 200 J/K, quelle dei liquidi sono un po’ minori e quelle dei solidi cristallini sono molto minori. Si vede anche che l’idrogeno ed i composti con molecole contenenti atomi di idrogeno hanno S° basso. La ragione è che le vibrazioni degli atomi leggeri rimangono “congelate” anche a temperature dell’ordine di 1000 K e contribuiscono poco al calore specifico, quindi all’entropia standard. Infine notiamo che il valore di S° per il vapore d’acqua va inteso come parametro senza significato fisico diretto: per T=298 K non esiste il vapor d’acqua ad 1 bar ! Ma l’equazione 1), con il valore di S° dato dalla tabella, consente di calcolare S(T, p) per pressioni con significato fisico, ovvero minori della tensione di vapore a 298 K (circa 31 mbar). Entalpia di formazione, potenziale di Gibbs di formazione ed entropia di alcune sostanze in condizioni standard ( T=298 K, p=1 bar) Sostanza H S° kJ/mol C (graf.) Cl2 (g) H2 (g) N2 (g) O2 (g) Ti (c) CH4 (g) C2H2 (g) CO (g) CO2 (g) J/Kmol G Sostanza H S° G kJ/mol J/Kmol kJ/mol kJ/mol 0 5.7 0 C6H5OH (l) -277.6 160.7 -174.8 0 222.9 0 0 130.5 0 0 191.5 0 0 205.0 0 0 30.6 0 -74.9 186.2 -50.8 226.8 200.8 209.2 -110.5 197.5 -137.5 -393.5 213.7 -394.4 CCl4 (l) NH3 (g) NO (g) NO2 (g) HCl (g) H2O (g) H2O (l) TiO2 (c) TiCl4 (l) -135.4 214.4 -64.6 -46.2 192.6 -16.7 90.3 210.6 86.6 33.5 240.2 51.5 -92.3 186.8 -95.2 -241.8 188.7 -228.6 -285.8 70.1 -237.3 -943.9 50.3 -888.6 -804.2 252.4 -737.4 • • • • • • Note alla tabella L’entropia S° è l’entropia assoluta della sostanza valutata per lo stato standard (virtuale nel caso del vapor d’acqua) a partire dai dati sperimentali e tenendo conto della terza legge. Per convenzione si pone uguale a zero l’entalpia di formazione di un elemento nello stato di aggregazione più stabile in condizioni standard, specificato in parentesi. L’entalpia di formazione H° di un composto è la differenza tra l’entalpia standard del composto nello stato di aggregazione specificato e le entalpie standard dei reagenti. Ad esempio il metano può essere formato con la reazione C+2H2=CH4 condotta in una camera con pareti flosce e conduttrici immersa in un ambiente standard. Il calore ceduto all’ambiente quando viene prodotta una mole di metano vale 74.9 kJ, quindi H°=- 74.9 kJ/mol. Analogamente la reazione 2C+ H2 = C2H2 forma l’acetilene e assorbe dall’ambiente il calore di 226.8 kJ per ogni mole formata, quindi l’acetilene ha H°=226.8 kJ/mol.(L’acetilene è un’ottima riserva di entalpia: nella reazione C2H2 +(5/2)O2=2CO2+H2O(g) i reagenti hanno entalpia 226.8 kJ ed i prodotti hanno entalpia (–2x393.5-241.8) kJ, quindi la reazione eroga 1255 kJ/mol.) Le entalpie molari di formazione non dipendono significativamente dalla pressione. Infatti il prodotto pV è trascurabile rispetto all’energia di formazione per solidi e liquidi e dipende poco dalla pressione per i gas (dipende solo dalla temperatura per i gas perfetti). I potenziali di Gibbs di formazione riportati nelle tavole sono G°= H°- T° S°, con S° differenza tra l’entropia standard del composto e quella dei componenti. Ad esempio per il TiCl4 G°= -804.2 kJ-298(0.2524-2x0.2229-0.0306) kJ=737.4. Quindi la colonna G° delle tavole potrebbe essere omessa senza perdita di informazione. Quando dobbiamo valutare G= H-T° S per un composto formato a pressione diversa da quella standard partendo da elementi eventualmente a pressioni diverse da quella standard dobbiamo tener presente che, mentre H H° con ottima approssimazione, G è diverso da G° perché le entropie del composto e degli elementi dipendono dalla pressione. Esempio 4: tensione di vapore dell’acqua a 298 K Dalla tabella vediamo che l’entalpia molare standard di evaporazione dell’acqua vale H°=[- 241.8-(- 285.8)] kJ=44 kJ, e che le entropie molari standard di acqua e vapore sono 70.1 J/K e 188.7 J/K. In condizioni standard il vapore contribuisce a p° con la pressione parziale p che vogliamo determinare. Allo scopo cominciamo a notare che H ° non dipende apprezzabilmente dalla pressione perché non ne dipendono l’energia di evaporazione U° ed il prodotto pV=p°V°=RT° del gas. Né dipende dalla pressione l’entropia S° dell’acqua, ma l’entropia molare del vapore vale S=S°+ R ln(p°/p), quindi nel passaggio liquido-vapore l’entropia molare varia di S= S° +R ln(p°/p) ed il potenziale di Gibs molare del vapore varia di G = H°- T° (S°+R ln(p°/p))= G°+RT°ln(p/p°). In equilibrio G deve essere nulla, quindi la tensione di vapore deve essere tale che p ΔG 8700 ln o -3.51 p p e-3.51 30 mbar RT 2479 p L’accordo con il valore sperimentale (p=31.4 mbar) è buono, ma non perfetto a causa dell’approssimazione di gas perfetto che abbiamo usato nel calcolo dell’entropia molare del vapore. Esempio 5: tensione di vapore dell’acqua a T=320 K Per estendere il calcolo della tensione di vapore dell’acqua alla temperatura T dobbiamo preliminarmente calcolare: •la differenza di entalpia molare dell’acqua rispetto alla condizioni standard, che risulta C (T-T°)= 75.3x22 J=1.66 kJ, •la differenza di entalpia del vapore rispetto alla condizioni standard, che risulta Cp(T-T°)= 35x22 J=0.77 kJ, •la differenza di entropia molare dell’acqua rispetto alla condizioni standard, che risulta C ln(T/T°)=5.36 J/K, •la differenza di entropia molare del vapore rispetto alla condizioni standard. Dall’equazione 1) vediamo che tale differenza vale T po po Cpln o R ln 2.06 J/K R ln p p T Pertanto, nell’evaporazione di una mole, H (44-1.66+0.77) kJ=43.11 kJ e S = S°+ (2.06-5.36) J/K + R ln(p°/p)= 115.3 J/K- R ln(p/p°) Quindi G H TS 6165 J RT ln p p - 2.316 G 0 per ln 2 . 316 p p e 99 mbar o o p p Il valore sperimentale della tensione di vapore dell’acqua a 320 K è di 101 mbar: anche in questo caso l’accordo è abbastanza buono. Equazione di Clapeyron Pensiamo di conoscere esattamente l’entalpia molare di vaporizzazione Hv e l’entropia molare di vaporizzazione Sv alla pressione p. In tal caso sappiamo che la temperatura di equilibrio vale T= Hv/Sv. Ora domandiamo: quanto vale la temperatura di equilibrio T+dT alla pressione p+dp ? Aumentando la pressione, la temperatura di equilibrio deve variare in modo che i potenziali chimici delle due fasi abbiano variazioni uguali, ovvero Sg Sl dp dμ l -SldT Vldp dμ g -Sg dT Vg dp dT Vg Vl Ma ΔH v sappiamo che Sg Sl ΔS v T quindi dp ΔH v dT T(Vg Vl ) dove Vg e Vl sono i volumi molari del gas e del liquido. L’equazione ottenuta è l’equazione di Clapeyron e, con simboli appropriati, vale per qualunque passaggio di fase di ogni sostanza pura. Nel caso che stiamo considerando possiamo trascurare il volume molare del liquido rispetto a quello del vapore, approssimare Vg con RT/p e scrivere l’equazione di Clapeyron dp p Δ H v nella forma sempliciss ima, ma meno accurata della precedente, . 2 dT RT Esempio 6: equilibrio chimico Una camera con pareti flosce e conduttrici, in equilibrio con l’ambiente esterno a p° e T°, contiene inizialmente 1000 moli d’azoto, 300 d’ossigeno e 10 d’idrogeno. In presenza di un catalizzatore si forma acqua. In quale stato d’aggregazione è l’acqua quando viene raggiunto l’equilibrio chimico? Quali pressioni parziali raggiungono l’ossigeno, l’idrogeno ed il vapor d’acqua? Se fossimo certi che non rimane idrogeno la risposta sarebbe immediata pO2 p295/1305 226 mbar , pH 2 0 , pH 2O p 10/1305 7.66 mbar Ciò assicura che la pressione parziale del vapore rimane ben minore della tensione di vapore, quindi non si forma liquido. L’entalpia di formazione del vapor d’acqua non dipende dalla pressione, infatti non ne dipendono sia U, sia (pV) (in approssimazione gas perfetto). Ma le entropie dei gas dipendono dalle pressioni parziali, valgono SO 2 Rln p pO 2 , SH 2 R ln p pH 2 , SH 2 O R ln p pH 2O Ricordando che reagisce mezza mole di O2 per mole di H2 si ottiene l’entropia molare di formazione p p 1 p ΔS ΔS R ln ln ln pH O p 2 pO 2 H2 2 p pO 2 ΔS R ln H 2 p H 2 O p Quindi il potenziale di formazione di Gibbs vale G H - TS G - RT ln pH 2 pO 2 p H 2 O p dove G °=-228.6 kJ (vedi tabella). L’equilibrio chimico viene raggiunto per G=0, ovvero quando ln pH 2 pO 2 p H 2 O p 228600 92.2 2479 p H 2 p H 2 O p O 2 /p e-92.2 3 10 40 mbar Insomma, l’idrogeno scompare (pressioni minori di 10 -12 mbar sono difficilmente misurabili.) Regola delle fasi di Gibbs Pensiamo che un sistema chiuso abbia C sostanze componenti legate da R reazioni chimiche e distribuite tra F fasi. In tal caso il numero di variabili intensive indipendenti che individuano lo stato termodinamico di equilibrio vale f C-FR 2 Per convincercene cominciamo a notare che la regola funziona per C=1, R=0, F 1 ( la pressione e la temperatura individuano lo stato di equilibrio.) Poi notiamo che funziona per C=1, R=0, F2: in tal caso fissata la pressione, è determinata la temperatura e viceversa. E funziona anche per C=1, R=0, F3: non possiamo fissare alcuna grandezza intensiva. In generale, dati C componenti distribuiti tra F fasi, oltre a p e T, possiamo scegliere F(C-1) concentrazioni, ma l’equilibrio di distribuzione tra le fasi richiede che i C potenziali di Gibbs siano uguali nelle diverse fasi, e ciò fornisce C(F1) vincoli, inoltre l’equilibrio chimico delle R reazioni lega le concentrazioni con R vincoli, quindi il numero di gradi di libertà risulta davvero f Φ(C 1) C(Φ 1) R 2 C Φ R 2 Naturalmente possiamo scegliere arbitrariamente anche una variabile estensiva, ad esempio il volume, o il numero totale di moli, o l’energia, ….. Equazioni centrali della termodinamica Per un sistema chiuso che compie lavoro solo del tipo dL=pdV, le variazioni dell’energia U, dell’entalpia H=U+pV, dell’energia libera F=U-TS e del potenziale di Gibbs G=H-TS tra due stati di equilibrio completo contigui sono legate dalle equazioni centrali della termodinamica: dU TdS - pdV , dH TdS Vdp , dF -pdV SdT , dG Vdp SdT Partendo da queste equazioni si vede immediatamente che: U T S V , U p V S , T p V S S V H T S p , H V p S , T V p S S p F p V T G V p T , F S T V , G S T p , p S T V V T , S V T p p T Le quattro equazioni di destra, note come relazioni di Maxwell, derivano dal fatto che le derivate seconde miste non dipendono dall’ordine di derivazione. Altre relazioni tra derivate parziali Alcune derivate parziali sono direttamente misurabili, ad esempio la temperatura, il volume, la pressione, i calori specifici molari a volume e pressione costante, il coefficiente di dilatazion e termica β 1 V p ed il modulo di bulk B V . V T p V T Altre derivate parziali possono essere calcolate partendo da quelle misurate ed usando le relazioni di Maxwell e le seguenti regole di calcolo. 1) X X W Y W Y Z Z Z La prima è banale, la seconda segue da X X Z 2) 0 Y Z Z Y Y X X X dY dZ dX Y Z Z Y Ad esempio, la regola 2), insieme alle equazioni della precedente trasparenza, consente di scrivere le relazioni seguenti, molto utili nello studio dei processi di espansione libera e strozzata dei gas reali che stiamo per studiare. 1 1 U 1 S T T U p T p p T - V C V U V C V C U V T T T T V V V V 1 V T 1 H 1 S T H - - - T V V T p H p C p C p C T p H T T T p p p p Equazioni di stato dei gas reali Data la temperatura T ed il volume molare V, possiamo valutare la pressione p di un gas reale con la RT a equazione di van der Waals p 2 1) Vb V I parametri a e b, riportati in tabella, sono noti come coefficiente di coesione e covolume del gas. Alternativamente possiamo sviluppare p in serie di potenze di 1/V e scrivere l’equazione del viriale RT bRT a p .... 2) V V2 che, quando necessario, può essere migliorata con l’aggiunta di termini di ordine superiore al secondo in 1/V, scelti per riprodurre al meglio i risultati sperimentali. Per calcolare il volume molare V, dati T e p, conviene sostituire l’equazione 2) RT a b .... 3) p RT che si ottiene dall’equazione 2) approssimando pV con RT nel termine correttivo. L’equazione 3), con l’ equazione V gas a J(dm) 3 He 3.4 H2 24.4 Ar 134 O2 136 N2 139 CH4 225 CO2 359 H2O 545 Cl2 651 b (dm)3 0.0237 0.0266 0.0322 0.0318 0.0391 0.0428 0.0427 0.0305 0.0562 con l’aggiunta di termini proporzionali a p, p2,… e con coefficienti scelti per riprodurre al meglio i dati sperimentali, è lo sviluppo del viriale per il volume molare V. Espansioni libera e Joule-Thomson L’espansione libera di una mole di gas senza scambio di calore con l’ambiente ha stati iniziale e finale di ugual energia, quindi la variazione della funzione di stato T(U,V) può essere calcolata per un processo reversibile ad U costante che porti dallo stato iniziale allo stato finale. Per tale processo dV adV a 1 1 T p dT dV p T quindi ΔT 2 CV CV V1 V2 V CV V U T V Ad esempio, nell’espansione libera dell’argon dal volume molare di 10 litri al volume molare di 20 litri la temperatura diminuisce di 0.54 K. In ogni caso l’espansione libera fa diminuire la temperatura. Ora consideriamo un tipo diverso di espansione irreversibile, molto importante in criogenia: l’espansione Joule-Thomson. Un cilindro è diviso in due parti da un setto poroso; nella parte di sinistra un pistone senza attrito esercita la pressione p1 sul gas a monte del setto, nella parte di destra un altro pistone senza attrito esercita la pressione p2<p1 sul gas a valle del setto, quindi il gas fluisce attraverso il setto. Ammesso che le pareti della camera, i pistoni ed il setto poroso siano perfettamente isolanti il sistema non scambia calore con l’esterno e la variazione di energia molare vale U2-U1=p1V1-p2V2, quindi il processo è isoentalpico: U2+p2V2=U1+p1V1. Anche in questo caso il processo è irreversibile, ma possiamo dimenticarcene e calcolare la variazione di temperatura per una trasformazione reversibile che porti la mole dallo stato iniziale allo stato finale mantenendo costante H. In tale trasformazione dp 2a T dp V b Tinv 2a dT dp T b dp 1 dove T V inv Cp T p Cp RT Cp T bR p H L’approssimazione usata è sufficiente per capire che l’espansione (dp<0) fa aumentare la temperatura per T>Tinv. , e la fa diminuire per T minore della temperatura di inversione Tinv . Ma per descrivere il processo con l’accuratezza necessaria nelle applicazioni è necessario aumentare il numero di termini nello sviluppo del viriale. Termodinamica dei sistemi aperti: premessa Finora abbiamo considerato sistemi chiusi, ma nelle situazioni studiate e nei problemi affrontati abbiamo spesso finito per “guardare dentro” al sistema. Ad esempio abbiamo descritto il sistema chiuso acqua-vapore in equilibrio pensando che in un dato intervallo di tempo tante molecole evaporano quante molecole condensano. Oppure abbiamo fissato l’attenzione su un volumetto con pareti immateriali interno al sistema chiuso e abbiamo pensato che, in equilibrio completo, tante moli di una certa sostanza vi entrano quante ne escano. Oppure abbiamo descritto l’azione di un piccolo catalizzatore pensando che vi entrino più molecole d’idrogeno e d’ossigeno di quante ne escano ed escano più molecole d’acqua di quante ne entrino. Insomma, abbiamo pensato ai flussi di energia, entropia e particelle che si instaurano in un sistema chiuso, suddividendo idealmente il sistema in un gran numero di sistemi aperti con pareti immateriali, e non abbiamo mai frustrato lo stimolo a “guardar dentro”. Ora è il momento di imparare a “guardar dentro” in modo sistematico. Non è difficile, anzi la termodinamica dei sistemi aperti è più semplice concettualmente di quella dei sistemi chiusi proprio perché descrive i fenomeni con approccio aderente alla realtà e quasi microscopico: basta dividere le grandezze molari per il numero di Avogadro per ottenere i valori delle grandezze molecolari. A tale proposito ricordiamo che all’energia molare di 100 kJ corrisponde l’energia molecolare di circa 1 eV ( 6.24 x1018 eV sono 1 J, 6.02x1023 molecole sono 1 mol.) Potenziale di Gibbs e potenziale chimico per un sistema ad un componente Pensiamo che un sistema sia costituito da N molecole di una sostanza pura in equilibrio a temperatura T e pressione p. In tal caso il potenziale di Gibbs può essere scritto nella forma G(T, p, N) N μ(T, p) quindi G G G dG dp dT dN SdT Vdp μdN T p N p, N T, p T, N Naturalmente ciò comporta che Ndm=-SdT+Vdp. Si noti che anche U, ad esempio, potrebbe essere scritto nella forma U(T,p,N)=N f(T,p), ma ciò non darebbe vantaggi perché T e p non sono le variabili naturali di U, quindi le derivate parziale di f(T,p) rispetto a T e p non sarebbero semplici. D’altra parte se scrivessimo U(S,V,N)=Nf(S/N,V/N) le derivate parziali di U rispetto ad S e V sarebbero semplici, ma la derivata parziale di U rispetto ad N sarebbe complicata. La stessa difficoltà si presenta per H ed F che hanno una variabile naturale intensiva ed una estensiva. Insomma il ruolo privilegiato di G è dovuto al fatto che le sue variabili naturali sono entrambe intensive. Partendo da G= mN si vede che H=TS+mN, F= - pV+ mN, U=TS-pV+ mN, quindi le equazioni centrali della termodinamica per un sistema ad un componente con numero di particelle variabile sono dG SdT Vdp μdN , dH TdS Vdp μdN dF SdT pdV μdN , dU TdS pdV μdN Pertanto il potenziale chimico m può essere calcolato indifferentemente come G H F U μ N T, p N S, p N T, V N S, V In parole: l’aggiunta di una molecola fa aumentare di m il potenziale di Gibbs a p e T costanti, l’entalpia ad S e p costanti, l’energia libera a T e V costanti e l’energia a S e V costanti. Potenziale di Gibbs e potenziali chimici per un sistema a molti componenti Ora consideriamo un sistema a molti componenti in condizioni di equilibrio stabile o metastabile a pressione p e temperatura T, indichiamo con Nk il numero di moli (o di molecole) della k-esima specie contenute in una certa regione, indichiamo con G(T,p, N1,…,Nk,…) il potenziale di Gibbs del sistema contenuto nella regione, consideriamo i numeri Nk come variabili e notiamo che G G G G dG dT dp dN k SdT Vdp μ k dN k dove μ k N T p, N k k N k T, p, N k p T, N k k T, p, N j k Ma il teorema di Eulero assicura che G μ k N k , quindi deve valere la relazione k N k dμ k SdT Vdp conosciuta come equazione di Gibbs-Duhem k Questa equazione mostra che le variabili intensive T, p e mk non possono variare in modo indipendente. In particolare, a p e T costanti l’equazione di Gibbs-Duhem si riduce a μ μ μ 0 N k k dN j dN j N k k N k k 0 Nj Nj Nj k j j k k T, p T, p T, p Infine scriviamo le equazioni centrali della termodinamica per sistemi aperti nella forma dG SdT Vdp μ k dN k , dH dG d(TS) TdS Vdp μ k dN k k k dF dG d(pV) SdT pdV μ k dN k k , dU dF d(TS) TdS pdV μ k dN k k G H F U e notiamo che μ k N N N N k T, p, N j N k k S, p, N j N k k T, V, N j N k k S, V, N j N k j k Condizione di equilibrio chimico Consideriamo ancora una volta un sistema in equilibrio metastabile a pressione p e temperatura T pensando che sia contenuto in una camera con pareti flosce e conduttrici. E pensiamo che n1 moli del componente A1 possano reagire con n2 moli del componente A2 per formare n3 moli del componente A3 e n4 moli del componente A4, o viceversa, come indicato dalla scrittura ν1A1 ν 2A2 ν3A3 ν 4A4 Pensiamo di conoscere i numeri di moli iniziali N10, N20, N30 ed N40 ed indichiamo con x il grado di avanzamento della reazione tale che le variazioni dei numeri di moli siano N1 ν1ξ , N2 ν 2ξ , N3 ν3ξ , N4 ν 4ξ Naturalmente i potenziali chimici dei quattro componenti variano al variare di x, ma possiamo essere certi che quando si stabilisce l’equilibrio chimico a temperatura e pressione uguali a quelle iniziali il potenziale di Gibbs del sistema ha valore minimo, ovvero che per x xeq+d x dG è nullo al prim’ordine. Ciò comporta che, all’equilibrio, i potenziali chimici ed i numeri di molecole sono legati dalla relazione 0 μ1dN1 μ 2dN2 μ3dN3 μ 4dN4 (μ1ν1 μ 2 ν 2 μ3ν3 μ 4 ν 4 )dξ Quindi l’equilibrio chimico completo si stabilisce quando i potenziali chimici raggiungono valori tali che μ1ν1 μ 2 ν2 μ3ν3 μ 4 ν4 Insomma per descrivere l’equilibrio chimico di un sistema dobbiamo saper descrivere i potenziali chimici dei reagenti e dei prodotti in funzione del grado di avanzamento della reazione, cosa tutt’altro che facile in generale. Se poi le reazioni possibili sono tante……Ricordiamo infine che la variazione di G tra lo stato metastabile iniziale e lo stato di equilibrio finale è il prodotto della temperatura per l’entropia Si creata dalla reazione. Sistemi ideali Sono di due tipi: miscele di Dalton, soluzioni diluite In entrambi i casi si assume che il potenziale chimico del k-esimo componente dipenda, oltre che dalla pressione totale p° e dalla temperatura T, solo dalla concentrazione xk=pk/p° del componente e si scrive μ k (T, p, x k ) μk (T, p) RT ln x k Con tale approssimazione la condizione di equilibrio per la reazione considerata nella precedente trasparenza risulta xn3 3 xn4 4 n1μ1 (T, p) n 2μ2 (T, p) n 3μ3 (T, p) n 4μ4 (T, p) RT ln n n x1 1 x2 2 Esprimendo le concentrazioni di equilibrio in funzione delle concentrazioni iniziali e del grado di avanzamento possiamo determinare il grado d’avanzamento e le concentrazioni d’equilibrio. Livelli energetici, microstati e leggi fondamentali della fisica statistica Pensiamo che il sistema fisico di nostro interesse possa avere energia intorno ad E0 in Ω 0 modi diversi, energia intorno ad E1 in Ω1 modi diversi, …, energia intorno ad En in Ω n modi diversi, e così via. A seconda delle circostanze i livelli energetici E0 , E1 ,…, En,… possono essere ben separati l’uno dall’altro, e in tal caso Ω nè la degenerazione del livello energetico En, oppure possono essere contigui, ad esempio con En+1= En + e, dove e è un passo di discretizzazione piccolo a piacere; in tal caso si deve intendere che Ω n è il numero di microstati di energia compresa tra En ed En+1. Ora enunciamo le leggi fondamentali della fisica statistica come principi primi, riservandoci di mostrare che sono in accordo con le leggi della termodinamica. In condizioni di equilibrio termodinamico a temperatura T la probabilità che il sistema sia in un particolare microstato di energia En vale En k BT 1 R e dove k B e Z e Z NA microstati Quindi la probabilità che il sistema abbia energia En vale p microstato pn Ωn e Z En k BT e la energia media del sistema risulta L’entropia del sistema vale En k BT Ωn e En k BT n U pn E n n E U S k B pmicrostato ln pmicrostato k B pn lnZ n k BlnZ quindi F k BT lnZ k T T microstati n B Si noti che l’energia libera F è il prodotto di –kBT per il logaritmo della somma statistica Z. Sistema isolato Un sistema isolato in equilibrio a temperatura T ha un unico livello energetico con numero di microstati Ω quindi un microstato ha probabilità 1/ Ω e l’entropia vale S k B ln Ω (equazione incisa sulla tomba di Boltzmann) Si può pensare che il sistema passi in continuazione da un microstato all’altro e che 1/ Ω sia la frazione di tempo spesa in ciascun microstato. Si noti che il numero complessivo di microstati di due sistemi isolati è il prodotto dei due numeri di microstati, in pieno accordo con il fatto che l’entropia è la somma delle due entropie. Si noti anche che il numero di microstati di un sistema macroscopico è enorme, ad esempio una mole di idrogeno isolata a pressione di 1 bar e temperatura 298 K ha entropia S=130.5 J/K, quindi ha numero di microstati pari a S Ωe k BT N AS e RT e 0.0527N A e 3.1710 22 Infine domandiamo: quanti bits sono necessari per individuare un microstato tra Ω microstati equiprobabili? La risposta è log2 Ω e differisce dall’entropia solo per un fattore di scala. Ciò induce ad interpretare l’entropia come informazione mancante per dare una descrizione microscopica completa del sistema. . Oscillatore di Einstein Pensiamo che un oscillatore abbia livelli energetici non degeneri En= ne (con n intero non negativo) e sia in equilibrio a temperatura T. In tal caso la somma statistica Z vale Z e - nε k BT 0 1 1 e ε/k B T La probabilità che l’oscillatore abbia energia ne vale p n (1 e ε k BT )e nε k BT e l' energia media risulta U (1 e ε k BT ) nε e nε k BT 0 Per completare il calcolo poniamo x=1/kBT e procediamo come segue: U (1 e εx ) nε e 0 nε x (1 e εx d nε x 1 εe εx ε εx d )(- e ) (1 e ) dx 0 dx 1 e εx 1 e εx eεx 1 Insomma l’oscillatore in equilibrio termodinamico a temperatura T ha energia media U ε eε/k B T 1 Per e tendente a zero l’energia media dell’oscillatore tende a kBT (metà per energia cinetica, metà per energia potenziale), ma per e >> kBT l’energia media è molto minore di e: l’oscillatore non oscilla! Per le molecole H2 ed N2 a temperatura ambiente, i valori di e/kBT sono intorno a 20 e 10 rispettivamente, quindi le due molecole cominciano ad oscillare significativamente solo a temperature molto maggiori di quella ambiente. Atomo maxwelliano Ora consideriamo un atomo di gas perfetto in equilibrio a temperatura T nel volume V, pensiamo che i livelli energetici siano En =(1/2)mvn2 con vn+1 = vn +dv e notiamo che il numero Ω n di microstati con (modulo della) velocità compresa tra vn e vn+1 è proporzionale al prodotto del volume per il “volume” nello spazio delle velocità 4pvn2dv. Indichiamo con a la costante di proporzionalità e notiamo che la somma statistica Z risulta: mv 2n 2k B T mv 2n 2k B T 2k BT 2 x 2 3/2 2k BT Z Ωn e αV4π αV4π x e dx αVπ m 0 m n n Poi notiamo che la probabilità che l’atomo abbia energia En non dipende da aV, infatti pn Ωn e Z v 2n dv e En k BT α4π v 2n dv e 3/2 mv 2n 2k B T 2k T α π 3/2 B m 3/2 4 m π 2k BT 3/2 3/2 v 2n dv e mv 2n 2k B T Quindi anche l’energia media dell’atomo non dipende da aV e risulta 3/2 4 m v 2n dv e U pn E n π 2k BT n n mv 2n 2k B T mv 2n 4k BT 4 x 2 3 x e dx k BT 2 π 0 2 Ma attenzione: per calcolare l’energia libera (e l’entropia) dobbiamo conoscere a. Lasciamo a corsi più avanzati di mostrare che il principio di indeterminazione conduce ad a(m/h)3 , dove h è la costante di Planck, e concludiamo che la somma statistica dell’atomo singolo 3/2 vale 2π m k B T Zat V 2 h Equazione di Sackur-Tetrode Ora domandiamo: quale somma statistica ha una collezione di N atomi identici in equilibrio a temperatura T nel volume V? Ad ogni microstato del primo atomo possiamo associare un microstato del secondo, uno del terzo e così via, quindi potremmo essere tentati di rispondere Z =(Zat)N. Ma gli atomi sono indistinguibili, quindi dobbiamo dividere (Zat)N per il numero N! di permutazioni degli N atomi. Insomma la risposta è ZatN eZat Z N! N N (si ricordi la formula di Stirling N N! e N ) Pertanto l’energia libera del gas vale eV 2π m k BT 3/2 V 2π m k BT 3/2 F k BT ln Z Nk BT ln Nk BT - ln 2 2 N N h h e l’entropia risulta 5 V 2π m k BT 3/2 UF S Nk B ln 2 T 2 N h (equazione di Sackur - Tetrode) Si noti che l’entropia di N atomi nel volume NV è uguale ad N volte l’entropia di un atomo nel volume V, come deve. E si noti che l’entropia aumenta logaritmicamente all’aumentare del volume e della temperatura, proprio come insegna la termodinamica. TESTI CONSIGLIATI C.B.P Finn, Thermal Physiscs, Second edition, Chapman & Hall, London, (1993). Ilya Prigogine, Dulip Kondepudi, Termodinamica, Bollati Boringhieri, Torino, (2002). PROVE D’ESAME Prova scritta sugli argomenti delle prime 39 trasparenze con esercizi del tipo di quelli proposti durante il corso (allegati). Prova orale su due argomenti, uno a scelta, eventualmente di approfondimento degli argomenti trattati, ed uno proposto al momento dell’orale.