ESPONENZIALI E LOGARITMI
Dal grafico di...
al grafico di....
Grafico canonico
proprietà
Esponenziali
e
Logaritmi
logaritmi
disequazioni
equazioni
Paola Suria Arnaldi
1
Proprietà delle potenze
Paola Suria Arnaldi
2
Grafico della funzione esponenziale
con a >1
Leggiamo le proprietà sul grafico
f(x) = ex
y
290
• Domf
R
• Imf
R+
240
• Fz. monotona crescente
190
• Fz.
Iniettiva
• Fz.
Non suriettiva
• Fz.
Non biiettiva
140
90
40
-10
-5
-10
0
5
10
x
Paola Suria Arnaldi
3
Grafico della funzione esponenziale
a x (con 0<a<1)
f(x)=(1/e) x
f(x) = e -x
Leggiamo le proprietà sul grafico
290
240
• Domf
R
• Imf
R+
190
y
• Fz. monotona decrescente
140
• Fz.
Iniettiva
• Fz.
Non suriettiva
• Fz.
Non biiettiva
90
40
-10
-5
-10
0
5
10
x
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4
Dall’esponenziale ai logaritmi
• 2x = 4  2x = 22  x = 2
• 2x = 8  2x = 23  x = 3
• 2x = 5  2x = 2?  x = ???  x = log2 5
ax
Per defi.
= b ↔ x = logab (con a >0 e b >0)
• 2x = 4
↔ x = log24 = 2
• 2x = 6
↔ x = log26
• log28 = x ↔ 2x = 8
• log510= x ↔ 5x = 10
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5
Proprietà dei logaritmi
Teoremi dei logaritmi
• loga (m*n) = loga m + logan
con a>0, m, n >0
• loga (m/n) = loga m - logan
con a>0, m, n >0
• loga (mn) = n* loga m
con a>0 m >0
• loga m = (logbm) / (logba)
con a, b, m > 0
Convenzioni
log10a = Log a
logea= ln a, con e = 2,71828182818...
Ricorda
Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
loga 1 = 0 , qualsiasi a
loga a = 1 , qualsiasi a
logaPaola
a2 =Suria
2 ,Arnaldi
qualsiasi a
6
Grafici logaritmici canonici
Leggiamo le proprietà sul grafico
f(x) = loga x
a>1
2
• Domf
R+
• Imf
R
• Fz.
monotona crescente
• Fz.
Iniettiva
• Fz.
Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz.
biiettiva
1,5
1
0,5
y
0
-2
0
-0,5
2
4
6
1,38
-1
-1,5
-2
-2,5
x
Paola Suria Arnaldi
7
Grafici logaritmici canonici
Leggiamo le proprietà sul grafico
f(x) = logax con 0<a<1
• Domf
R+
2,5
• Imf
R
2
• Fz.
monotona decrescente
• Fz.
Iniettiva (criterio rette
1,5
1
orizzontali, oppure monotonia)
0,5
0
-2
-1
• Fz.
Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz.
biiettiva
1,38
0
1
2
3
4
5
6
-0,5
-1
-1,5
-2
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8
Equazioni esponenziali
• x 2 = 4  equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un
numero)
• 2 x = 4  equazione esponenziale (la base della potenza è un numero,
l’esponente è incognito)
Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo
• a x= k
nessuna soluzione
(qualunque a e con k appartenente ad R -)
• ax = k
↔
x = logak
(qualunque a e con k appartenente ad R+)
• af(x) = ag(x)
↔
f(x) = g(x)
• af(x) = bf(x)
↔
f(x) = 0
• p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga.....
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9
Disequazioni
af(x) > k,
af(x) < k,
af(x) > k,
af(x) < k,
af(x) > k,
af(x) < k,
k є R - U {0} ↔ qualsiasi x є R
k є R - U {0} ↔ nessuna soluzione
a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k.....
a > 1, k є R + ↔ f(x) < loga k.....
0<a<1, k є R + ↔ f(x) < loga k.....
a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k.....
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10
Equazioni logaritmiche
logaf(x)=k, con k єR
logaf(x)=0
logaf(x)=1
logaf(x)=logag(x)
↔
↔ f(x) = 1
↔ f(x) = a
↔
K*logaf(x)+ h*logag(x)= p*logar(x); logaf(x)k+ logag(x)h=
logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di
esistenza
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11
Disequazioni logaritmiche
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12
APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI
FUNZIONE
• Domf:
x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞);
• Zeri della funzione: f(x) = 0
↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2;
• Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero
x<- √2 V x > √2 ;
f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove
1
-√2 -1
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√2
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APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI
FUNZIONE
Domf : R oppure (-∞, +∞)
Zeri:
f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0
→ poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2;
Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo →
il segno della funzione dipende dalla parentesi
f(x) > 0
↔ (x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado
f(x) < 0
↔ (x2 – 3x + 2) <0
x<1 V x > 2
1
Paola Suria Arnaldi
2
1<x<2
14