Goniometria
grafici
equazioni
Funzioni
goniometriche
disequazioni
Formule
fondamentali
Paola Suria Arnaldi
1
Funzioni goniometriche
P(cosa , sina)
a
tan a
sin2 a + cos2a =1
tan a = sin a / cos a
Paola Suria Arnaldi
2
Dalla definizione al grafico della
funzione
p
Paola Suria Arnaldi
2p
3
Funzioni goniometriche
f(x)=cos x
f(x)=sin x
1,5
1,5
1
0,5
0
y
1
-10
-5
-0,5 0
5
10
-1
0,5
-1,5
y
x
0
-5
-3
-1
1
3
5
7
6
4
-0,5
2
y
-7
f(x)=tan x
0
-1
-3,5
-1,5
0,5
2,5
-2
-4
-1,5
x
-6 x
Paola Suria Arnaldi
4
FUNZIONI GONIOMETRICHE
1,5
Domf:
R
Imf
[-1, 1]
1
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione non suriettiva (imf ≠ R)
0,5
Funzione non biiettiva
0
-3,2
-2,2
-1,2
-0,2
-0,5
0,8
1,8
2,8
Funzione periodica
T = 2p
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
-1
-1,5
Si rende invertibile fissando un intervallo di
monotonia. L’intervallo canonico [-p/2, p/2]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arcsenx
Paola Suria Arnaldi
5
FUNZIONI GONIOMETRICHE
f(x) = cos x
1,5
Domf:
R
Imf
[-1, 1]
1
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione non suriettiva (imf ≠ R)
0,5
Funzione non biiettiva
0
-3,2
-2,2
-1,2
-0,2
-0,5
0,8
1,8
2,8
Funzione periodica
T = 2p
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
-1
-1,5
Si rende invertibile fissando un intervallo di
monotonia. L’intervallo canonico [0, p]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arcos x
Paola Suria Arnaldi
6
FUNZIONI GONIOMETRICHE
f(x) = tan x
Domf:
R -{(2k+1)*p/2}, k є Z
Imf
R
8
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione suriettiva (imf ≡ R)
3
-1,8
-0,8
Funzione non biiettiva
0,2
-2
1,2
Funzione periodica
T=p
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
-7
-12
Si rende invertibile fissando un intervallo di
monotonia. L’intervallo canonico [-p / 2, p / 2]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arctan x
Paola Suria Arnaldi
7
Senx e arcsenx
1,5
f[-p/2, p/2] (x) = sin x
1
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
funzione
0,5
-1,6
-1,1
-0,6
0
-0,1
0,4
0,9
1,4
-0,5
-1
[-p/2, p/2]
[- 1, 1]
iniettiva
non suriettiva
dispari
invertibile
-1,5
f (x) = arcsin x
100
80
60
40
20
0
-1,5
-1
-0,5
-20 0
-40
-60
-80
0,5
1
1,5
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
funzione
[- 1, 1]
[-p/2, p/2]
iniettiva
non suriettiva
dispari
invertibile
-100
Paola Suria Arnaldi
8
Cosx e arcosx
1,2
f[0, p] (x) = cos x
0,7
0,2
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-0,3
-0,8
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
funzione
[0, p]
[- 1, 1]
iniettiva
non suriettiva
monotona decrescente
invertibile
-1,3
3,5
f (x) = arcos x
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
funzione
Paola Suria Arnaldi
[- 1, 1]
[0, p]
iniettiva
non suriettiva
decrescente
invertibile
9
Tanx e arctan x
8
f(-p/2, p/2) (x) = tan x
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
3
-1,8
-0,8
0,2
1,2
-2
-7
(-p/2, p/2)
R
iniettiva
suriettiva
funzione
monotona crescente
dispari
funzione
invertibile
-12
f (x) = arctan x
1,3
0,8
0,3
-4
-3
-2
-1
-0,2 0
-0,7
-1,2
-1,7
1
2
3
4
Dom f:
Imf:
funzione
funzione
funzione
Funzione
funzione
Paola Suria Arnaldi
R
(-p/2, p/2)
iniettiva
non suriettiva
monotona crescente
dispari
invertibile
10
Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel
programma di analisi
Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge
matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la
f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una
addizionatrice, se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei
polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si
chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un
punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0.
Vediamo il loro significato su casi particolari.
Paola Suria Arnaldi
11
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione seno
3
----
2
La curva disegnata in blue è f(x)=sinx
1
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!
-1
-2
-3
3
2
----
La curva disegnata in blue è f(x)=sinx
1
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x- x3/3!
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x /3!+x /5!
3
5
-2
-3
Paola Suria Arnaldi
12
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione coseno
3
----
2
La curva disegnata in blue è f(x)=cosx
1
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x /2!+x /4!
-1
2
4
-2
-3
3
2
----
La curva disegnata in blue è f(x)=cosx
1
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x /2!+x /4!-x6/6!
2
4
-2
-3
Paola Suria Arnaldi
13
Equazioni goniometriche
Sin x
sin x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1

sin x = ½
 x = p / 6 + 2 k p V x = 5/6 p + 2 k p

s in x = - ½
 x =- p / 6 + 2 k p V x = 7/6 p + 2 k p
l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1
cos x = ½
 x = p / 3 + 2 k p V x = - p/3 + 2 k p
cos x = - ½  x = 2/3 p + 2 k p V x = - 2/3 p + 2 k p
cos x = k


Paola Suria Arnaldi
14
Equazioni goniometriche
sin x = h l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
1.
sin x = ½
 x = p / 6 + 2 k p V x = 5/6 p + 2 k p
2.
s in x = - ½  x =- p / 6 + 2 k p V x = 7/6 p + 2 k p
3.
sin x = 0
 x=kp
4.
sin x = 1
 x = p / 2 + 2k p
5.
sin x = - 1
 x = 3/2 p + k p
cos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè - p/3 1 ≤ h ≤ 1
6.
cos x = ½
 x = p / 3 + 2 k p V x = -p / 3+ 2 k p
7.
cos x = - ½  x = 2/3 p + 2 k p V x = - 2/3 p + 2 k p
8.
cos x = 0
 x = p/2 + k p
9.
cos x = 1
 x=2kp
10.
1
cos x = -1
x=p+2kp

2
6
Paola Suria Arnaldi
7
15
Equazioni goniometriche
sin x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
1. sin x = √3/2
 x = p / 3 + 2 k p V x = 2/3 p + 2 k p
2.
sin x = - √3/2  x =- p / 3 + 2 k p V x = 4/3 p + 2 k p
cos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
3. cos x = √3/2  x = p / 6 + 2 k p V x = - p/6 + 2 k p
4.
1
cos x = - √3/2  x = 5/6 p + 2 k p V x = - 5/6 p + 2 k p
2
3
Paola Suria Arnaldi
4
16
Equazioni goniometriche
tan x = h l’eq. è possibile qualsiasi h є R
1. tan x = √3/3
 x=p/6+kp
2. tan x = - √3/3
 x =- p /6+ k p V x = 4/3 p + 2 k
3. tan x = √3
 x=p/3+ kp
4. tan x = - √3/3
 x = 5/6 p + k p
5. tan x =0
x=kp
6. tan x = 1
 x = p/4 + k p
7. tan x = -1
 x = - p / 4 + kp
1
2
3
Paola Suria Arnaldi
4
17