TRINOMIO DI II °:
fattorizzazione o completamento del quadrato?
ax2+bx+c
D> 0
Trovo le radici x1 e x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0
a x 2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)
D =0
Trovo le radici x1 ≡ x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0
a x 2 + b x + c = a (x – x1)2
D<0
Completo il quadrato, cioè riscrivo il trinomio come somma di un
quadrato perfetto (tipo a 2 + 2 a b +b 2) e di un termine positivo.
Lavoriamo con un esempio per semplificare i passaggi (il metodo
servirà nel calcolo integrale)
x 2+ 4 x+ 5
-->
D = 16 – 20 = - 4 < 0!  completo il quadrato
• Riscrivo i primi due termini x2 + 4 x (corrispondono ad a2 + 2 a b)
• Il ruolo di a è giocato da x, devo individuare quanto vale b. Prendo il coefficiente del termine in x
(nel nostro caso 4) e lo divido per 2 (operazioe inversa del doppio è la metà): 4/2 = 2  b=2!!
• Nel quadrato del binimio il terzo termine è b 2, sapendo che b=2  b2 = 22 = 4
• Aggiuno e tolgo ai prinmi due termini questo numero trovato, cioè 4 ed ottengo x2 + 4 x + 4 – 4
• Completo scrivendo l’ultimo termine del trinomio (5)  x2 + 4 x + 4 – 4 + 5; i primi tre
Paola Suria Arnaldi
termini sono lo sviluppo del quadrato, sommo tra loro gli altri due  (x + 2) 2+ 1
Completiamo ancora il quadrato con un
esempio
x2 + 3 x + 12
D = 9 – 48 = - 39 < 0!
Scrivo i primi due termini x2 + 3x
Divido il 3 per 2 e ottengo 3/2
Aggiungo e tolgo (3/2) 2 = 9 / 4
Completo x2 + 3x + 9/4 – 9/4 + 12 (sommo gli ultimi due addendi, facendo il m.c.m.:
4)
(x2 + 3x +9/4) + ( -9 + 12*4) / 4 = x2 + 3x + 9/4 + 39/4 = (x+ 3/2) 2 + 39/4
Ma dove servirà la fattorizzazione del trinomio oppure il metodo del completamento del quadrato?
Per esempio nel calcolo integrale con integrali di questo tipo:
Paola Suria Arnaldi
DIVISIONE TRA POLINOMI
Supponiamo di avere il rapporto tra due polinomi Pm(x) e Pn(x), dove m e n sono i
gradi dei due polinomi ed m ≥ n.
Il rapporto può essere riscritto come somma tra una parte intera, di grado m-n, e una
nuova frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore
un polinomio di grado minore di n.
Prendiamo un esempio numerico. La frazione 7/3, con numeratore maggiore di
denominatore, può essere riscritta come somma di un numero intero più una
frazione propria. Infatti:
Se divido 7 per 3 in colonna
ottengo 2 di quoto e resto 1!!
7| 3
2
6
1
Paola Suria Arnaldi
Impariamo a dividere i polinomi con un esempio
Infatti
x3 + 0 x2 + 2x + 5 | x – 2
- x3 + 2 x 2
//
x 2 + 2x + 6
2 x2 + 2x + 5
- 2 x 2 + 4x
//
+ 6x + 5
- 6x + 12
// + 17
quindi il quoto è x 2 + 2x + 6, il resto 17
Dove servirà? Sostanzialmente nel calcolo integrale
Paola Suria Arnaldi
Però.....
Se la divisione è facile... subito
Distribuisco!
1:
2:
3:
Paola Suria Arnaldi
Manipoliamo ancora polinomi: fratti semplici
Andiamo avanti...
passiamo dalla
somma di frazioni
semplici ad una
frazione sola
Osserviamo gli esempio 2 e 3: i due risultati finali hanno lo stesso denominatore,
ma il primo è somma di due frazioni, fratti, semplici, l’altro di tre frazioni semplici .
L’ultimo esempio, invece, ha un denominatore
finale diverso, pur essendo due fratti
Paola Suria Arnaldi
iniziali uguali ai precedenti.
Ancora fratti semplici
Torniamo indietro!!
Passiamo da una sola
frazione, non semplice,
... alla somma di tante
frazioni semplici, ad
essa equivalenti
Partendo dalla frazione a primo membro, possiamo
pensare che a generarla siano stati due fratti semplici, il
primo con denominatore (x-1) e il secondo con (x+1).
Poiché la frazione di origine ha un numeratore di grado
minore del denominatore e i fratti semplici hanno un
denominatore di I grado, a numeratore non ci possono
che essere delle costanti A e B, da determinare.
Per trovare A e B, proviamo ad andare avanti, cioè a
manipolare il secondo membro: facciamo il m.c.m.
Metodo identità funzionale
Paola Suria Arnaldi
Fratti semplici: metodo identità funzionale
Se i due membri sono identici, qualunque valore attribuiamo alla x al primo o
al secondo membro, dobbiamo ottenere lo stesso risultato.
Scegliamo due valori (ci sono due incognite A e B) belli, che semplifichino i
calcoli:
x=1 e
x = -1
Otteniamo la scrittura della frazione come somma di due fratti semplici
Paola Suria Arnaldi
Ancora fratti semplici
Lavoriamo ancora su un altro esempio: data la frazione seguente, cerchiamo di
riscriverla come somma di fratti semplici (ricordiamoci che abbiamo una sola
possibilità, cioè esiste un solo modo di scomposizione.
Analizziamo il denominatore: si presenta come prodotto di due fattori (x), con
molteplicità semplice (1), e (x-1)2, con molteplicità doppia (2). Non sappiamo se le
frazioni generatrici sono due o tre. Ci mettiamo nel caso più completo, al limite
troveremo B=0.
Andiamo avanti, cioè facciamo il m.c.m. e
dovremo trovare tre variabili: A, B e C,
attribuendo tre valori diversi alla x: due sono
belli (x=0 e x=1), il terzo lo scegliamo a piacere
Paola Suria Arnaldi
Ancora fratti semplici: terzo esempio
Paola Suria Arnaldi