INTRODUZIONE AI
FRATTALI
B. Mandelbrot:
Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei
motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di
una montagna, di una linea costiera, di un albero. Le nuvole non
sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono
circonferenze, e la corteccia non è regolare, nemmeno la luce
viaggia secondo una linea retta... La natura non rivela
semplicemente un grado più alto, ma un livello del tutto diverso di
complessità. Il numero di scale di lunghezza che si presentano è,
infatti, praticamente infinito. Tale varietà di configurazioni è una sfida
a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come
“informi”, a investigare la morfologia dell'amorfo.
CHE COSA E’ UN
FRATTALE?
Dare una definizione di frattale non è
semplice, proviamo quindi a mettere in
luce le caratteristiche principali di
questi oggetti matematici
 AUTOSIMILARITA’
 DIMENSIONE NON INTERA
 AREA DEFINITA E PERIMETRO
INFINITO

Struttura autosimilare
All'interno di uno stesso modello si evidenziano una serie di
modelli simili al modello di base, in modi sempre
differenti, ma analoghi, su scala progressivamente più piccola o
più vasta.
Algoritmo ricorsivo
Un insieme di procedure applicate
ad un oggetto per produrre nuovi
oggetti, poi applicate ai nuovi
oggetti per produrre nuovi oggetti,
così via fino all’infinito, è detto
algoritmo ricorsivo.
Il prodotto finale si dice
autosomigliante se tutti gli oggetti
finali sono identici all’originale a
meno di cambiamenti di scala,
orentazione o posizione
(trasformazioni geometriche)
Escher Limite del quadrato
ALBERELLO
La caratteristica principale di molti
frattali naturali è la ramificazione.
Attraverso la biforcazione di un
segmento si possono ottenere fronde
e alberi abbastanza realistici.
Nel caso, rappresentato
nell’animazione a destra, a ogni
passo della costruzione si dimezza la
misura del segmento precedente e i
rami aumentano in progressione
geometrica.
IMMAGINI
Esempi dell’insieme Julia
ESEMPI
FRATTALI CLASSICI
 La curva di Koch
 Il triangolo di Sierpinski
 La polvere di Cantor
 La curva di Peano
 ARTE E MUSICA

Gli insiemi di Julia
 L’insieme di Mandelbrot

Distinguiamo quattro livelli di
complessità per una curva piana:
1.
2.
3.
4.
Curve regolari (retta, circonferenza,…)
Curve frattali classiche (insiemi di Julia): più o
meno complicate, ma andando in profondità,
non si aggiungono dettagli
Insieme di Mandelbrot: andando in profondità,
c’è la costante comparsa di nuovi dettagli, ma
rimangono dei particolari che si osservano
globalmente
Curve irregolari: andando in profondità, il
comportamento è sempre nuovo, caotico e
imprevisto
LA DIMENSIONE
FRATTALE
Cosa si intende per
dimensione?
Punto: Dim=0
 Segmento: Dim=1 (una coordinata

ortogonale)

Quadrato: Dim=2
(due coordinate
ortogonali)

Cubo: Dim=3

…

“Ipercubo”: Dim=n
ortogonali)
(tre coordinate ortogonali)
(n coordinate
Procedimento per ottenere la dimensione di un insieme




Se dividiamo un segmento in N=k parti uguali, otteniamo N’=k
segmenti più piccoli
Se dividiamo i lati di un quadrato in N=k parti uguali, otteniamo
N’=k² quadrati più piccoli
Se dividiamo gli spigoli di un cubo in N=k parti uguali,
otteniamo N’=k³ cubi più piccoli
Se dividiamo gli spigoli di un ipercubo in N=k parti uguali,
otteniamo N’=kⁿ ipercubi più piccoli
GENERALIZZAZIONE
Si chiama dimensione frattale, basata
sull’autosimilarità, il numero d tale
che sia verificata la relazione
N= s -d
dove N è il numero di copie dell’oggetto
che si ottengono sezionandolo con un
fattore di scala s

Se applichiamo questa definizione alle
curve frattali introdotte
precedentemente, troveremo che d
deve assumere un valore frazionario
 I frattali devono il loro nome proprio al
fatto che hanno dimensione frazionaria

La curva
di Koch
Dimensione della curva
di Koch
Ad ogni passo il fattore di scala è 1/3 e
il numero N è 4
l’equazione (1/3) d = 4
Non ammette soluzione intera
Sappiamo che risulta d = log 4/ log 3
Cioè circa 1,2619
Il Triangolo di
Sierpinski
Ad ogni passo
s =1/2 e N = 3
2 d= 3
D = log 3/ log2
Cioè
Circa 1,5850
La polvere di Cantor
Ad ogni passo s = 1/3 N= 2 3 d =2
D = log 2/ log 3
Cioè circa 0,6309
La curva di Peano




Ad ogni iterazione
S =1/3 N= 9
In questo caso la
dimensione è intera,
uguale a 2
Ma è paradossale il fatto
che una curvaabbia la
stessa dimensione di un
piano!
Si può dare ora la
seguente definizione
Si dice FRATTALE un oggetto
autosimile
la cui dimensione frattale
è strettamente maggiore
della dimensione topologica