I FRATTALI
Ovvero
“Quanto è lunga la costa della Bretagna?”
Che cosa sono?
Termine coniato nel 1975 da B. B. Mandelbrot
per indicare una vasta categoria di oggetti
matematici di dimensione geometrica
frazionaria (da cui frattale, dal latino frangere)
I frattali sono figure geometriche caratterizzate
dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso
motivo su scala sempre più ridotta
Le prime curve vengono studiate già a fine
‘800 da Koch e Peano, ma vengono
considerate pure stranezze matematiche
Con la pubblicazione del libro The fractal
geometry of nature (Mandelbrot – 1977) i
frattali diventano uno strumento
matematico per studiare il
comportamento di fenomeni naturali
complessi
La definizione di frattale non è unica. Esiste una
grande varietà di oggetti che vengono definiti
frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie.
Le principali proprietà di una figura frattale F
sono:




Autosimilarità
Struttura fine
Risoluzione indefinita
Dimensione frazionaria
Autosimilarità
F è unione di un numero di parti che , ingrandite di un
certo fattore, riproducono tutto F
In altri termini se dettagli vengono osservati a scale
differenti, si nota sempre una certa somiglianza
approssimativa con il frattale originale
Si è sviluppata una branca della geometria frattale che
studia i cosiddetti frattali biomorfi.
Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui
dettagli riproducono sempre la stessa figura
Nella figura accanto sono
evidenziati i primi tre passi di
questo confronto. La parte
evidenziata in rosso è la
copia in piccolo dell'intera
foglia. La parte evidenziata
in blu a sua volta è la copia
ridotta della parte in rosso.
Infine la parte celeste è la
copia ridotta della parte blu.
Struttura fine
F rivela dettagli ad ogni
ingrandimento:
ingrandendo un qualsiasi tratto
di curva si visualizza un insieme
di particolari altrettanto ricco e
complesso del precedente
Risoluzione indefinita
Non è possibile definire in modo netto ed assoluto i
confini dell'insieme (i bordi dell'immagine)
F non si può descrivere come luogo di punti che
soddisfano semplici condizioni geometriche o
analitiche.
La funzione è ricorsiva:
F = {Z | Z = f(f(f(...)))}
Per esempio usiamo come formula generatrice del
frattale la seguente: Z=z*z+c; si tratta di una parabola
traslata rispetto all'origine in base al termine noto c.
Quello che interessa è come si comporta, dato un punto
di partenza, reimpostando nell'equazione i risultati della
elaborazione precedente (z=Z) e proseguendo
generando una successione di numeri reali il cui
comportamento dipende dalla scelta del punto di
partenza, nonché di c.
E' proprio questo che genera l'indefinitezza, ovvero la
possibilità di iterare virtualmente all'infinito per ciascun
punto prima di passare al successivo.
Questa immagine mostra l'insieme di Mandelbrot ottenuto
con un numero crescente di iterazioni massime:
la precisione del disegno dei confini
diventa sempre più accurata
Dimensione frazionaria
Sebbene i frattali possano essere rappresentati
(se non si pretende di rappresentare infinite
iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si
conserva il particolare motivo geometrico) in
uno spazio convenzionale a due o tre
dimensioni, la loro dimensione non è intera.
La lunghezza di un frattale "piano" non può
essere misurata definitamene, ma dipende
strettamente dal numero di iterazioni al quale si
sottopone la figura iniziale.
Ricordiamo che un oggetto è autosimile quando può essere
diviso in un certo numero di parti simili alla figura intera.
Un segmento può essere diviso in N parti simili al segmento
intero, ciascuna parte di lunghezza 1/ N.
Un quadrato può essere diviso in N2 parti simili al quadrato
intero; ciascuno di questi quadratini più piccoli avrà area pari
a 1/N2 del quadrato grande.
Un cubo può essere diviso in N3 cubi più piccoli; ciascuno avrà
volume pari ad 1/N3 del cubo iniziale.
In questi casi la dimensione è data dall'esponente di N.
Supponiamo di considerare un frattale in cui
possiamo distinguere N copie autosimili.
Ciascuna di queste copie si ottiene tramite
un'omotetia di rapporto K.
La dimensione frattale
D viene definita da:
log N
D
1
log  
k
Nei tre esempi visti (segmento, quadrato, cubo) K = 1/N
Di conseguenza otteniamo:
Dsegmento= log N / log(N)=1
Dquadrato= log(N2) / log(N)=2
Dcubo= log(N3) / log (N)=3
La dimensione di un frattale ci dà un'idea di quanto esso
riempia il piano.
Frattali di dimensione prossima ad 1 saranno simili ad una
curva, frattali di dimensione prossima a 2, tenderanno ad
occupare tutto il piano.
Triangolo di Sierpinski
Il triangolo di Sierpinski può
essere diviso in 3 parti simili
all'intero triangolo. Ciascuna
di esse si ottiene grazie ad
un'omotetia di rapporto
K=1/2
log N
log 3
D

 1,585
 1  log 2
log  
k
Merletto di Koch
Il merletto di Koch può essere
diviso in 4 parti simili
all'intero frattale. Ciascuna di
esse si ottiene grazie ad
un'omotetia di rapporto
K=1/3.
log N
log 4
D

 1, 262
 1  log 3
log  
k
Fiocco di neve
Non è possibile suddividere
la figura in un numero di
copie nella figura stessa:
ovvero non è autosimile.
D'altra parte è possibile, però
dividere la figura in tre
copie del merletto di Koch
Risulta quindi non autosimile,
ma autosimile in senso
generalizzato
Costruzione del Merletto
di Koch
Si prende un segmento, lo si
taglia in 3 parti e si
sostituisce quella centrale
con due segmenti uguali a
quello eliminato
Si ripete l'operazione con
ciascuno dei quattro
segmenti così ottenuti e si
continua a ripeterla per un
numero infinito di volte.
Costruzione del Fiocco di
neve
Il Fiocco di neve si ottiene applicando il
procedimento appena descritto ai lati di un
triangolo.
Caratteristiche
 Le curve frattali pur essendo continue
non ammettono una tangente unica in
alcun punto
 Presi due punti della curva, anche
vicinissimi tra loro, la distanza fra essi
(misurata lungo la curva) è sempre
infinita
Lunghezza del Merletto di
Koch
Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di
un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha
lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo
16/9, il quarto 64/27 e così via.
Questa successione è chiaramente divergente, cioè
tende all’infinito.
Inoltre ogni pezzo del merletto, anche piccolissimo,
gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè
contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari e
quindi anch'esso è di lunghezza infinita.
Quanto è lunga la costa
della Bretagna?
La lunghezza è diversa se considerata da un
satellite, da un aereo a bassa quota o dal
suolo, perché si devono utilizzare unità di
misura diverse e i diversi dettagli contano in
misura differente.
Se tenessimo conto dei dettagli troveremmo che
la lunghezza tende rapidamente all’infinito:
infatti un tratto di costa può essere
approssimato dalla curva di Kock
(autosimilarità in senso statistico)
Teoria del caos
"Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni
delle popolazioni animali, la linea frastagliata di una costa, I
ritmi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle condizioni
meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa
di Giove, gli errori dei computer, le oscillazioni dei prezzi sono
fenomeni apparentemente assai diversi, che possono suscitare
la curiosità di un bambino o impegnare per anni uno studioso,
con un solo tratto in comune: per la scienza tradizionale,
appartengono al regno dell'informe, dell'imprevedibile
dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due decenni,
scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il
caos c'è in realtà un ordine nascosto, che dà origine a
fenomeni estremamente complessi a partire da regole molto
semplici.“
(J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos)
Teoria del caos
Nella scienza classica, il caos era per definizione ,assenza
di ordine. Oggi è considerato una dimensione retta da leggi
non definibili; infatti, il concetto di disordine è inteso come
complessità.
E' fondamentale sottolineare che il caos non è sinonimo di
caso e non si può parlare di completo disordine, in quanto i
sistemi caotici, alla luce delle nuove scoperte della teoria del
caos, sono sistemi dinamici sempre prevedibili a breve
termine e, quindi, riconducibili ad una logica nuova più o
meno complessa. Si può, dunque, paradossalmente
affermare, in base a precise scoperte scientifiche, che nel
caos c'è ordine.
Studi con frattali e teoria
del caos
 Configurazioni delle nuvole – Scariche elettriche nei
mezzi (per es. fulmini)
 Distribuzione delle galassie
 Distribuzione di un minerale sulla crosta terrestre
 Crescita e diffusione delle coltivazioni
 Terremoti
Studi con frattali e teoria
del caos
 Ramificazioni dei vasi sanguigni – Struttura dei polmoni
 Ritmi della fibrillazione cardiaca
 Insorgenza di tumori (in relazione alla variazione della dimensione
frattale di particolari strutture fisiologiche)
 Analisi della sequenza del DNA
 Analisi della struttura delle proteine
 Distribuzione della popolazione su un territorio
 Sistemi economici (mercato, borsa, vita di un’azienda …)
Applicazioni
 Arte (produzione di immagini mescolando una scelta oculata di
colori con la complessità della forma)
 Musica (essendo funzioni matematiche è possibile associare
ai frattali una rappresentazione sonora: l'altezza e la durata di
una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il
colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la
melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di
alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità)
 Cinema e videogiochi (strutture complesse e
ramificate come alberi, coralli o paesaggi, vengono simulati con
algoritmi frattali)