F R A T T A L I
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F R A T T A L I
frattali
frattali frattali
f r a t t a l i
f r a t t a l i
f r a t t a l i
f r a t t a l i
f r a t t a l i
f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i f r a t t a l i
Il linguaggio della natura
Osservando attentamente le forme naturali, si scopre che molte di esse, nonostante
la loro forma irregolare e contorta, condividono un’importante caratteristica che
può essere oggetto di una nuova geometria.
Nubi, montagne, alberi.... hanno irregolarità di tipo “stranamente ordinato” : le
forme si ripetono su scala diversa nello stesso oggetto.
“Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni”: così il matematico
Mandelbrot sottolineava in un passo della sua opera “The fractal geometry of
Nature” (1982) l’incapacità, da parte della geometria tradizionale, di
descrivere adeguatamente, le forme anche più semplici che troviamo in Natura.
Mandelbrot era stato , in qualche modo, un “eretico” tra i matematici
rivolgendo il suo interesse a quegli insiemi numerici come la polvere di Cantor
o a quelle funzioni come la curva di Koch
Ma che cos’è un oggetto frattale?
che cos’è la polvere di Cantor? ... e la curva di Koch?
ma che cos’è un oggetto frattale?
come si genera e quali sono le sue proprietà caratteristiche?
Fu Mandelbrot stesso che coniò tale termine di derivazione latina (fractus = rotto,
spezzato) e che richiama bene la natura “frastagliata” e “spigolosa” di tali oggetti, i quali
consentono di descrivere molto bene le forme dei fiocchi di neve, i profili delle coste, le
forme di nuvole e montagne, la superficie di un’arancia, l’albero bronchiale, gli
andamenti dei ritmi cardiaci....
L’idea fondamentale di Mandelbrot fu quella di riprendere il concetto di dimensione,
già esplorato e approfondito da Hausdorff nel 1919
Nel 1919 il matematico tedesco Felix Hausdorff suggerì come generalizzare il
concetto di dimensione
La dimensione di Hausdorff si basa sull’idea di ricoprimento di una curva, una
superficie, ecc.
la polvere di Cantor
prendiamo un segmento AB di lunghezza unitaria, dividiamolo in tre parti e togliamo il
tratto centrale
A
B
ripetiamo la stessa operazione su ciascun segmento ottenuto e così via..
..
..
..
..
..
..
..
..
E’ un insieme di “segmentini” in numero via via maggiore e di lunghezza via via minore.
L’insieme geometrico, se si ripetesse la procedura infinite volte, è detto
polvere di Cantor
la curva di Koch (1904)
dato un
A
B
segmento AB
di
A
B
A
B
lunghezza
unitaria
togliamo il tratto centrale e lo sostituiamo con i due lati del triangolo equilatero
che su di esso può essere costruito, ripetiamo la costruzione su ciascun
segmento.
La procedura può essere iterata quante volte si vuole, e si individua così
una linea dal contorno frastagliato detta curva di Koch
ricoprimento
N
l
1
1
4
1/2
16
1/4
1
1/2
1/4
.
.........
.........
2 2n
(1/2) n
il quadrato è ricoperto da
1 quadrato di lato 1
il quadrato è ricoperto da
4 quadrati di lato 1/2
il quadrato è ricoperto da
16 quadrati di lato 1/4
il quadrato è ricoperto da 22n quadratini di lato (1/2)n
Autosimilarità e dimensione
Consideriamo un segmento AB e sezioniamolo in parti con un fattore di scala
s= ½: otterremo N = 2 segmenti identici tra loro e simili all’originale.
Se utilizziamo invece un fattore di scala s = 1/3, otterremo N = 3 segmenti
identici e simili all’originale, e così via.
s=1
N=1
s=1/2
N=2
s=1/3
N=3
Se facciamo lo stesso procedimento su un quadrato, con s = !/2 otteniamo N = 4
quadrati identici e simili all’originale, con s= 1/3 otteniamo N = 9 “quadratini”
s=1/2
N=4
s=1/3
N=9
Se infine ripetiamo lo stesso procedimento su un cubo otteniamo N=8 con s=1/2,
N=27 con s=1/3, e così via.
Se indichiamo con d la usuale dimensione (topologica) di questi oggetti,
vale la formula N = s – d, ovvero d = - log N / log s, con il logaritmo preso
in una base qualunque
Si dà la seguente, valida per tutte le figure totalmente autosimili:
Si chiama dimensione di un oggetto, basata sull’autosimilarità il rapporto:
d = - log N / log s
dove N è il numero di copie che si ottengono sezionando l’oggetto con un fattore
di scala s
La precisazione basata sull’autosimilarità è importante perchè, questo
numero può essere diverso dalla dimensione topologica (euclidea).
Si chiama frattale un oggetto autosimile per cui la dimensione frattale è
strettamente maggiore di quella topologica
Oss. per il segmento, il quadrato, il cubo: la dimensione frattale coincide con la
dimensione topologica
Calcoliamo la lunghezza dell’ insieme, detto polvere di Cantor, che è la
somma delle lunghezze dei segmentini che la compongono:
inizialmente il segmento è lungo 1, dopo ogni operazione otteniamo dei segmenti la cui
lunghezza complessiva è 2/3 di quella precedente. Le successive lunghezze formano
una progressione geometrica di primo termine 1 e di ragione 2/3:
1
2/3
(2/3)2
(2/3)3
....
(2/3)n
.....
Alla ennesima ripetizione, la lunghezza è 2n / 3n .
poiché la ragione è positiva e minore di 1, la progressione converge a 0.
la sua dimensione frattale è
d = log 2 / log 3 <1
(~ 0,6309)
Poiché la ragione è positiva e minore di 1, la progressione converge a 0 : la
lunghezza della “polvere di Cantor” è 0 nonostante che la figura non sia
costituita da punti, ma da piccolissimi segmenti che è sempre possibile
suddividere nuovamente
E’ “ qualcosa di più di un insieme di punti” e
“qualcosa di meno di un insieme di linee”
Calcoliamo la lunghezza della
curva di Koch
la lunghezza del segmento
AB è 1
la lunghezza della linea è
4/3 della precedente
la lunghezza della linea è 4/3
della precedente e (4/3)2 dilla
linea iniziale
A
B
A
B
A
B
Si tratta di una linea infinitamente spezzettata...
si costruisce così una successione numerica: 1
4/3
(4/3)2...
(4/3)n ....
(la successione è una progressione geometrica di primo termine 1 e di ragione 4/3)
la successione è divergente: al tendere all’infinito del numero n, la lunghezza
della linea che unisce A e B tende a diventare infinita
Il rapporto d = - log N / log s è costante e vale log 4 / log 3 ( ~ 1,2619)
L’isola di Koch o “fiocco di neve”
1
3
2
4
L’isola di Koch o “fiocco di neve”
Dato un triangolo equilatero di lato unitario: inserire al centro di ciascun lato un
nuovo triangolo equilatero di lato pari a un terzo del lato assegnato e poi
cancelliamo la base di ciascuno di questi tre nuovi triangoli. Ne risulta una figura
chiusa delimitata da una linea spezzata che ha 12 lati.
Il perimetro della figura, che ha 12 lati, è i 4/3 di quello del triangolo originale
Il passo successivo consiste nell’aggiungere altri 12 triangoli più piccoli nel
centro di ogni lato della stella
Il perimetro della figura, che ha 48 lati, è i 16/3 di quello del triangolo originale
Dopo n suddivisioni il perimetro è (3
. 4n/3n), al tendere di n all’infinito tende a diventare infinito
Continuando questo procedimento “indefinitamente”, viene determinata una
curva limite arricciata, nota come la curva di von Koch o la curva a fiocco di neve
Anche se il contorno ha perimetro infinito la figura circoscrive un’ area
finita : è 8/5 di quella del triangolo di partenza
Oss. Se i triangoli sono interni e non esterni, l’area è solo 2/5 di quella del
triangolo di partenza.
Nils Fabien von Koch (1871-1924) studiò, con altri matematici suoi contemporanei,
alcune curve di questo tipo; curve molto particolari definite teoricamente e non
concretamente costruibili.
Non è infatti possibile costruire la curva di Koch, perchè occorrerebbe ripetere la
stessa operazione infinite volte.
Tuttavia, l’ utilizzo attuale dei calcolatori – con la conseguente possibilità di
ripetere operazioni per un gran numero di volte - consente di disegnare buone
approssimazioni della curva di Koch, andando ben al di là di quelle che il suo
ideatore avrebbe potuto vedere.
Una particolarita’ della curva di Koch e’ evidente:
la curva ha lunghezza infinita pur racchiudendo una regione finita
Dove nasce questa stranezza?
Se si hanno due punti A e B del piano, una usuale linea che li congiunge,
per quanto tortuosa ha sempre lunghezza finita
altri frattali ....
Il “ setaccio di Sierpiński “ nasce come triangolo.
Si prendono i punti medi dei tre lati e si traccia il triangolo inscritto: così si
suddivide la superficie di partenza in quattro triangoli. Si toglie quello
centrale e su ciascuno dei triangoli rimasti viene ripetuto il procedimento....
Ogni volta il lato del triangolo viene dimezzato e si ha un numero di
triangoli che è il triplo del precedente.Perciò il “setaccio di Sierpiński “
ha una dimensione di Hausdorff
d = log 3 /log 2
(~ 1,584...)
Un tappeto di Sierpiński inizia come quadrato.
Togliendo “pezze” quadrate si genera la forma frattale
d = log 8 / log 3 (~ 1,8928...)
dimensione che naturalmente è inferiore a quella di un vero tappeto
Possiamo raggruppare quanto finora detto nella seguente tabella:
Cardinalità
Dimensione
Dimensione
frattale
segmento
quadrato
cubo
Insieme
di
Cantor
La curva di
Koch
‫א‬1
‫א‬1
‫א‬1
‫א‬1
‫א‬1
1
2
3
0
1
1
2
3
~ 0.63
~ 1.26
Mandelbrot ha dato prova di una notevole inventiva nel creare i frattali con strane
proprietà. Alcuni di questi assomigliano a forme naturali, per esempio a
montagne, altri hanno caratteristiche geometriche che li rendono utili come
modelli ideali di processi fisici.
La prima applicazione dei frattali fu nella soluzione del problema del rumore
durante la trasmissione di dati.
Servendosi del concetto di polvere di Cantor, Mandelbrot aveva calcolato la
distribuzione delle stelle in una galassia e delle galassie nell’ Universo. Anche se
il modello è una funzione e non impiega dati astronomici reali, esso ricorda la
distribuzione delle stelle viste dagli astronomi
Gli astronomi avevano allora confermato che, come previsto dal modello, la
massa dell’intero Universo è distribuita nello spazio come un insieme di Cantor
tridimensionale (ora...... l’astrofisica è in continua evoluzione)
A mano a mano che la ricerca sui frattali si sviluppava, i matematici scoprivano
che il concetto di “autosomiglianza” non era sufficiente a coprire tutti i frattali
possibili.
Nel 1980 M. stesso descrisse un ins. frattale (detto insieme di Mandelbrot)
che ha l’aspetto di un pupazzo di neve bitorzoluto ottenuto calcolando
ripetutamente semplici espressioni matematiche come ( x2 – 3x) a partire
da un valore iniziale di x e sostituendo poi ogni volta nell’equazione
iniziale il risultato ottenuto.
L’insieme di M. sembrava auto-simile, ma esaminandolo più attentamente,
i piccoli insiemi. di M. presentavano un maggior numero di protuberanze
e di altre curiose caratteristiche: tali frattali sono chiamati non-linerari
Per i frattali auto-simili, le linee visibili all’interno di una figura rimangono
sempre linee, indipendentemente dalle variazioni di scala; per i frattali
non-lineari, i cambiamenti di scala non conservano necessariamente le
linee rette, ma rivelano nuove e “affascinanti” caratteristiche
La geometria frattale e la grafica del computer sono
inestricabilmente legate fra loro...
La grafica del computer fornisce un comodo sistema per disegnare e
studiare oggetti frattali, e la geometria frattale è un utile strumento per
creare immagini al computer
Le operazioni semplici , ripetitive, occorrenti per la costruzione di un
frattale si accordano perfettamente con il modo di funzionare di un
computer
I frattali suggeriscono una soluzione per disegnare realisticamente sullo
schermo - video gli oggetti naturali: generare una forma fondamentale
(es: un triangolo) che viene ripetuta molte volte in scala sempre più
piccola, all’interno della figura originale. Si inseriscono variabili casuali
per dare all’immagine un aspetto più realistico
OSS. L‘ immagine che compare sul video non è un vero frattale: un computer che
generi “ un setaccio di Sierpiński” non può mostrare triangoli più piccoli dei
punti elementari di luce – i pixel – di cui è composto lo schermo.
come costruire
montagne frattali ?
Si possono creare paesaggi frattali
con il metodo dello spostamento
dei punti medi. I punti medi dei lati
di un triangolo
a) vengono uniti e spostati in su e in
giù fuori dal piano dell’immagine
b) si ottengono così quattro piccoli
triangoli su cui si ripete il
procedimento
Una legge di distribuzione stabilisce
l’entità dello spostamento e quindi
determina la scabrosità del terreno
frattale
c) un programma poi genera le
ombreggiature appropriate, dando
vita a risultati straordinariamente
realistici
insieme di Mandebrot
frattali non-lineari
insieme di Mandebrot
frattali non-lineari
insiemi di Julia
Gli insiemi di Julia sono frontiere frattali che vengono generate
dall’iterazione della trasformazione quadratica
g(z) = z2 + c
(z numero complesso)
il punto zk+1 si ottiene applicando la trasformazione al punto precedente della
successione zk .Il numero complesso c è un parametro di controllo che può
essere scelto arbitrariamente.
Questo processo iterativo, in apparenza semplice, costiituisce la base di una famiglia
sbalorditiva di forme.
Quando si applica la trasformazione a un punto iniziale z0 la successione risultante può
comportarsi in due modi diversi: può vagare senza limitazioni, allontanandosi verso
l’infinito, oppure restare confinata in una certa regione del piano complesso.
L’insieme dei punti “confinati” e l’insieme dei punti “vaganti” sono separati da una frontiera
infinitamente stretta detto ”insieme di Julia”
L’insieme di Julia, per ogni parametro di controllo, può essere un unico insieme connesso
oppure un ins. di punti non connessi, come polvere.
frattali non-lineari
insieme di
JULIA
Julia e Mandelbrot: che relazione?
L’insieme di Mandelbrot suddivide gli insiemi di Julia in connessi e non connessi :
ingrandendo l’insieme di M. intorno a un punto c situato sulla sua frontiera, appaiono forme
che sono anche gli elementi costitutivi dell’ insieme di Julia corrispondente al punto c.
L’insieme di Mandelbrot rispecchia l’ordine soggiacente all’infinita varietà degli insiemi di
Julia. Tutti i suoi punti rappresentano valori del parametro c corrispondenti a insiemi di Julia
connessi.
Se un punto c non appartiene all’insieme di M. l’insieme di Julia ad esso associato non è
connesso
L’insieme di M. contiene una ricchezza di dettagli inimmaginabili: tre ingrandimenti
successivi dell’ insieme rivelano strutture simili che si ripetono, fra cui anche copie in
miniatura dell’insieme stesso, oltre a forme nuove e differenti
felce di
Barnsley
Un sistema di trasformazioni affini fornisce a un computer le istruzioni
per generare questa immagine di una felce, che assomiglia all’asplenio
nero.
Gli studi condotti sugli “attrattori strani”o caotici mostrano
che sono frattali, e che in genere hanno dimensione
maggiore di 2
Se i sistemi meteorologici si lasciano descrivere da equazioni
che danno luogo a comportamento caotico, allora basta un
cambiamento minuscolo come ” il battito di ali di una farfalla”
per rendere impossibili previsioni del tempo a lunga
scadenza......
ma questo è il “CAOS” che in matematica assume un
significato particolare, di ordine in mezzo al disordine....
Paesaggio frattale immaginario generato al calcolatore,
ispirandosi alle montagne della nuova Zelanda
appunti tratti da :
Il turista matematico
un viaggio nella moderna scienza dei numeri
di Ivars Peterson
Rizzoli
Il caos
le leggi del disordine
a cura di Giulio Casati
www.frattali.it
Le Scienze Ed.
Benoit MANDELBROT
Waclaw SIERPINSKI
Niels F. H. von KOCH
frattali non-lineari
insieme di J U L I A