La geometria Frattale
Michela Sandri
S.Vito al Tagliamento - Giugno 2006
Ultra fractal (programma per le animazioni)
La geometria della complessità
Pendolo semplice
Pendolo caotico
In regime
In regime di oscillazione
arbitraria
di piccole oscillazioni
Le nuvole sono un esempio di sistema dinamico complesso.
Lo studio di questi oggetti geometrici non convenzionali
ha portato allo sviluppo della teoria frattale.
Teoria inflazionaria: l’universo sarebbe un immenso frattale che cresce
continuamente
I neuroni sono un esempio di struttura frattale. Il corpo
cellulare si ramifica in dendriti che si ramificano a loro volta e
questa struttura può essere correlata al caos nel sistema
nervoso
Struttura a dendriti nell’insieme di Julia
Insiemi di Julia
Z z c
2
c  1.25  0i
Gaston Maurice Julia
Z z c
2
Insieme di Mandelbrot
Benoit Mandelbrot
Liceo Scientifico ‘Le Filandiere’
a.s. 2005/2006
Introduzione alla geometria frattale
Chiara Bernardis 5d
Giada Vegnaduzzo 5b
Martina Callea 5d
Michela Sandri
LA GEOMETRIA DELLA NATURA
Sommario
0. INTRODUZIONE
1. FRATTALI L-SYSTEM
2. FRATTALI IFS
3. FRATTALI COMPLESSI
a. I frattali di Newton
b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia
4. Appendici:
a. i numeri complessi
b. le trasformazioni affini
5. Strutture frattali di Argento
5. Bibliografia
6. Sitografia
LA GEOMETRIA DELLA NATURA
Sommario
0. INTRODUZIONE
1. FRATTALI L-SYSTEM
2. FRATTALI IFS
3. FRATTALI COMPLESSI
a. I frattali di Newton
b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia
4. Appendici:
a. i numeri complessi
b. le trasformazioni affini
5. Strutture frattali di Argento
5. Bibliografia
6. Sitografia
LA GEOMETRIA DELLA NATURA
Sommario
0. INTRODUZIONE
1. FRATTALI L-SYSTEM
2. FRATTALI IFS
3. FRATTALI COMPLESSI
a. I frattali di Newton
b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia
4. Appendici:
a. i numeri complessi
b. le trasformazioni affini
5. Strutture frattali di Argento
5. Bibliografia
6. Sitografia
LA GEOMETRIA DELLA NATURA
Sommario
0. INTRODUZIONE
1. FRATTALI L-SYSTEM
2. FRATTALI IFS
3. FRATTALI COMPLESSI
a. I frattali di Newton
b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia
4. Appendici:
a. i numeri complessi
b. le trasformazioni affini
5. Strutture frattali di Argento
5. Bibliografia
6. Sitografia
omotetie
traslazioni
rotazioni
REGOLE L-SYSTEM
Per generare frattali con il metodi L-SYSTEM si parte da un:
AXIOM  COSTRUZIONE INIZIALE DI UN FRATTALE, PUNTO DI
PARTENZA CHE VIENE RIPRODOTTO AL COMPUTER
Si applicano poi sostituzioni composte dalle seguenti REGOLE:
REGOLA F
AVANZARE DI UN SEGMENTO DI LUNGHEZZA ASSEGNATA
REGOLA f
AVANZARE DI UN SEGMENTO DI LUNGHEZZA ASSEGNATA
MA SENZA LASCIARE TRACCIA
REGOLA +
RUOTARE IN SENSO ANTIORARIO DI UN ANGOLO
ASSEGNATO
REGOLA -
RUOTARE IN SENSO ORARIO DI UN ANGOLO ASSEGNATO
REGOLA [
MEMORIZZARE LA POSIZIONE E L’ANGOLO CORRENTE
REGOLA ]
RIPRISTINARE LA POSIZIONE E L’ANGOLO SALVATI
PRECEDENTEMENTE
ESEMPI DI FRATTALI L-SYSTEM
- TAPPETO DI SIERPINSKI CON LA TECNICA L-SYSTEM:
Si può osservare lo SVILUPPO DEL FRATTALE per i primi
cinque passi:
Già dal secondo passaggio si nota come il segmento di partenza
venga sostituito da otto segmenti ognuno pari ad un terzo di
quello di partenza.
Frattali di Newton - Hubbard
Sia data da risolvere l’equazione
z3  1  0
Nel piano complesso, l’equazione
ha tre soluzioni, che corrispondono
ai vertici del triangolo equilatero
inscritto nel cerchio di centro l’origine
e raggio unitario. Applicando il
metodo di Newton e colorando
rispettivamente di rosso, verde e blu
i punti che appartengono ai tre bacini
d’attrazione, otteniamo il risultato qui
a lato.
STRUTTURE FRATTALI DI ARGENTO
.........in prossimità quindi della graffetta centrale avverrà la reazione di ossidoriduzione tra Argento e Alluminio.
filmArgento.MOV
Al0  Al+++ +3 eossidazione
3 Ag+ + 3 e-  3 Ag0
riduzione
______________
Al0 + 3Ag+++  Al+++ + 3 Ag0