Mandelbrot e la
geometria della natura:
i frattali
di Franco Federici
Teoria e tecniche del problem solving
12/04/2006
Benoît Mandelbrot
Factotum della matematica
Interesse verso la scienza economica:
studio sulla distribuzione di redditi grandi e
piccoli in un’economia
I prezzi del cotone: la visione tradizionale
degli economisti e le immagini mentali con
fenomeni casuali e stocastici
Il computer e i dati
Benoît Mandelbrot
Economisti tradizionali: piccole variazioni
transitorie insignificanti (rumore) e forze
macroeconomiche profonde
Mandelbrot: nessuna dicotomia, ma un
unico quadro unitario, strutture che
passano da una scala all’altra
Variazioni di prezzo casuali e imprevedibili
Invarianza di scala
Benoît Mandelbrot: la vita
Ai margini della scienza ortodossa
Nella storia del caos trovò la propria via
Immagine della realtà tradotta in una
geometria perfettamente sviluppata
La vita di Parigi: l’École Normale
Supérieure e l’École Polytechnique
Problema analitico:manipolazione di forme
Gli studi in USA
T.J.Watson Research Center IBM
La linguistica matematica
La teoria dei giochi
Studi economici: i prezzi delle merci
Il rumore delle linee telefoniche: casuale
ma con gruppi di errori
Distribuzione complessa
Il rumore delle linee telefoniche
Rapporto
geometrico
coerente
e
proporzione costante tra le raffiche di
errori e gli spazi di trasmissione pulita
La polvere di Cantor
Descrizione astratta ma importante per il
controllo degli errori
Utilizzare un segnale modesto con
ridondanza anziché aumentarne l’intensità
La nuova geometria
Le piene e le secche dei fiumi
Effetto Noè ed effetto Giuseppe
Noè=discontinuità, Giuseppe=persistenza
Irregolarità, errori, polvere di Cantor: come
spiegare la complessità (≠ Euclide)
La geometria del contorto, dell’intrecciato
Le imperfezioni: le chiavi dell’essenza di
una cosa
La linea di costa
“How long is the Coast of Britain?”
La linea di costa: infinitamente lunga ma
dipendente dalla lunghezza del righello
Il pedone e il satellite
Le misurazioni dovrebbero convergere…
…ma ↓ scala della misurazione  ↑ senza
limite la lunghezza di costa
La dimensione
Le misure euclidee non colgono l’essenza
delle forme irregolari
L’idea della dimensione
Prospettive macro e microscopiche
La vaghezza sull’interposto
La dimensione frazionaria
L’irregolarità: costante a scale diverse
I frattali
1975
Fractus, frangere, rompere
Frattura, frazione: la nascita dei frattali
Un modo per vedere l’infinito
Triangolo  curva di Kock (fiocco di neve)
Curva continua che non interseca mai se
stessa e con lunghezza infinita
Paradosso: lunghezza infinita in spazio
finito
L’autosomiglianza
Caratterizzazione e descrizione precisa
della dimensione frattale
Risorse di calcolo e intuizioni
Strutture irregolari in processi naturali e
forme infinitamente complesse: la qualità
dell’autosomiglianza
Frattale significa simile a sé
L’autosomiglianza
Omotetia interna: la simmetria da una
scala a un’altra
Ricorsione: una struttura all’interno di
un’altra
Particolari di scale sempre più piccole e
con certe misurazioni costanti
Forme simili a se stesse a qualsiasi
ingrandimento
L’utilità dei frattali
Lo studio sui terremoti
Christopher Scholz: riflessione sui frattali
Il problema dei terremoti
La distribuzione segue un modello di
invarianza di scala
Perché questa regolarità?
Le superfici
Scholz: interesse nelle superfici
Geometria frattale: un aiuto per gli
scienziati che studiavano i modi in cui le
cose che si fondono insieme, ecc.
I geofisici: descrizione della superficie
della Terra (faglie, fratture, …)
Faglie e fratture
La chiave di qualsiasi buona descrizione
Il flusso dei fluidi nel suolo
Il comportamento dei terremoti
Comprendere la superficie è fondamentale
Nessun sistema di riferimento
La Terra
Le superfici sono forme
La superficie della Terra
La scala
Scholz: geometria frattale come modo per
descrivere l’irregolarità della superficie
terrestre
Le applicazioni frattali
Problemi connessi alle proprietà di
superfici in contatto fra loro
Le superfici in contatto tra loro non si
toccano dappertutto (irregolarità)
Effetto Humpty-Dumpty
Scala macro e microscopica
Gli aficionados
Scholz: uno dei pochi che adottò i frattali
Piccolo pubblico di adepti dei frattali o
pubblico più vasto di geofisici
<<E’ un singolo modello che ci permette di
far fronte alla varietà di dimensioni
mutevoli della Terra>>
Grandezza e durata
Quanto è grande? Quanto tempo dura?
Lo studio degli animali e degli umani:
dipendenza dalla scala
Fisica dei terremoti, nubi, uragani:
indipendenza dalla scala
La ricerca della scala come distrazione
Le categorie traggono in inganno
Adimensionalità
I vasi sanguigni: la presenza dei frattali
Nessuna cellula dista da un vaso
sanguigno più di tre o quattro cellule
I polmoni
L’approccio degli anatomisti e l’approccio
frattale
Il corpo umano frattale
Organizzazione frattale
Dotto biliare nel fegato, fibre nel cuore, …
La rete di His-Purkyne
I cardiologi del caos: spettro di frequenza
delle pulsazioni analogo a quello dei
terremoti
Il corpo umano frattale
Sviluppo dell’architettura?
Trasformazioni semplici in Kock, Peano e
istruzioni codificate nei geni di un organismo
DNA: biforcazione e sviluppo
Altre applicazioni
Il piumino d’oca sintetico
Gli alberi botanici
Al di là di un’eccezione
Apprezzamenti
Un modo di descrizione, calcolo,
riflessione
su
forme
irregolari
e
frammentate, frastagliate e spezzate
Struttura
organizzativa
dietro
la
complicazione delle forme
Exxon, General Electric, Hollywood
Modelli di May e Yorke: regolarità
insospettate, descritte da invar. di scala
Mandelbrot e i fisici
Furono i fisici a creare la scienza del caos
Mandelbrot fornì il linguaggio e un
catalogo di immagini della natura
Mandelbrot e i fisici
Il programma matematico descriveva
meglio di quanto non spiegasse
Gli scienziati fecero predizioni…
…ma i fisici volevano sapere di più:
volevano sapere perché
La grande sfida
In natura c’erano forme che attendevano
di essere rivelate
Attrattori strani frattali
David Ruelle e Florins Takens
Il fenomeno della turbolenza
Un attrattore strano è un sottoinsieme di
punti nello spazio delle fasi di natura
diversa da quella degli oggetti euclidei
Dimensione non intera, ma frattale
Attrattore caotico ≠ attrattore strano
Topologicamente diversi
Attrattori strani frattali
Caotico: si fa riferimento alla dinamica
caotica del sistema in cui si origina
l’attrattore (sensibile dipendenza dalle
condizioni iniziali e orbite confinate)
Strano: ci si riferisce alle proprietà
geometriche (frattale)
Caoticità e forma geometrica sono due
prospettive diverse per definire lo stesso
oggetto o sono due cose diverse?
Attrattori strani frattali
Perlopiù gli attrattori caotici sono strani e
gli attrattori strani sono caotici, idea che è
all’origine dell’identificazione comune dei
due concetti, ma…
…sono stati descritti casi di attrattori strani
non caotici e casi di caotici non strani
La turbolenza
La linea di demarcazione dei fisici
Interesse nell’eliminare la turbolenza
considerata spesso come un disastro
Grande interesse
La turbolenza
E’ un grande disordine a tutte le scale
E’ instabilità
Grande dissipazione di energia
E’ movimento diventato casuale
Regolare  turbolento ?
Tutte le regole sembrano venir meno
Il fumo di sigaretta
La comparsa dei frattali
I fluidi e i vortici
A ogni scala, in un vortice turbolento si
trovano nuove regioni di flusso calmo
Omogeneità  intermittenza
Aspetto
altamente
frattale:
regioni
frammiste di irregolarità e regolarità a
scale che vanno dal grande al piccolo
L’inizio della turbolenza
Passaggio da regolarità a turbolenza
Transizioni di fase
Caos:
comportamento
macroscopico
difficile da predire sulla base di particolari
microscopici
Studi quantitativi
1973: Harry Swinney e Jerry Gollub
Flusso fra cilindri rotanti (di Couette-Taylor)
L’esperimento si rivelò inefficace
Il flusso diventava caotico
David Ruelle e Floris Takens
Ruelle e Takens: On the Nature of
Turbolence
Un’alternativa alla concezione tradizionale
L’attrattore strano
Vive nello spazio delle fasi
Una delle invenzioni più efficaci della
scienza moderna
Punti fissi
Cicli limite
Sistemi complessi con molte variabili
indipendenti  spazio delle fasi di
dimensioni infinite
Un punto fisso?
Ruelle: strutture visibili nel moto turbolento
riflettevano strutture spiegate da leggi
ancora sconosciute
Dissipazione di energia in un flusso
turbolento verso un attrattore…
…non un punto fisso
Nel sistema entrava e usciva energia
Un ciclo limite?
Similarità al pendolo con molla e attrito
Ma è veramente così?
La turbolenza in un fluido era cosa diversa
Turbolenza come rumore bianco
Serve un altro tipo di attrattore
Stabile, con un n° piccolo di dimensioni,
non periodico
Un rompicapo
Il precedente
Edward Lorenz (1963)
Il primo attrattore strano
Curve e spirali infinitamente profonde, che
non si univano mai e mai si intersecavano
Ma all’interno di uno spazio finito
<<l’apparente contraddizione>>
La millefoglie e le superfici infinite
Gli sviluppi
Tentativi teorici e ricerca sperimentale
Disegnare immagini di attrattori strani: la
tecnica della proiezione e…
la mappa di Poincaré
Si toglie all’attrattore una dimensione,
trasformando una linea continua in una
collezione di punti
Il processo è un campionamento
intermittente dello stato di un sistema
Michel Hénon
L’attrattore strano più illuminante e più
semplice
Meccanica celeste ≠ sistemi terrestri
Conservazione e dissipazione
Il sistema solare è stabile?
Modelli delle orbite delle stelle attorno al
centro della loro galassia
Michel Hénon
Visualizzazione
delle
orbite
stellari
attraverso una particolare mappa:
Xn+1=1-αxn2+yn e yn+1=βxn
L’emergenza di una distribuzione regolare
Orbite non completamente regolari, ma
che possono essere predette
Orbite periodiche
Completo disordine e resti di ordine
Gli attrattori di Hénon
La mappa del fornaio
Le matrioske
Impossibilità di predizione
Attrattore strano
No path-dependency
La “stranezza” dappertutto
…dovunque c’era casualità
Nessuno aveva visto realmente un
attrattore strano in laboratorio e…
…nessuno sapeva come misurarne le
proprietà
Era solo chiaro che era frattale
Proprietà comuni in sistemi non lineari?
Ogni sistema lineare era a se stante
L’universo frattale
Luciano Pietronero
L’universo ha una struttura frattale
irregolare, disuniforme, con immani regioni
vuote
Il frattale di Julia
Frattali deterministici…
…e stocastici
L’universo frattale
Massa dei solidi pieni: V = L3
Frattali solidi includono molti vuoti
Massa proporzionale alla “dimensione
frattale”
Con D=2, d = L2/L3 = 1/L
La scoperta della frattalità delle strutture
cosmiche
L’universo frattale
L’assunto della cosmologia: galassie
distribuite in modo uniforme e isotropo,
visibili in ugual quantità da qualunque
direzione si guardi
Fisica statistica: densità delle galassie è
autosimile (cosmo frattale)
La legge di potenza d = KS-b
Distribuzioni prive di scala
L’universo frattale
Perché la notte è buia?
Perché non è sempre giorno?
Varie risposte
Risposta “frattale”: la densità decresce con
la distanza e quindi non ci arriva luce da
vaste zone vuote
Ancora misteri…
Bibliografia
James Gleick, “Caos”, BUR Biblioteca Universale Rizzoli
(2000)
Cristoforo S. Bertuglia e Franco Vaio,
“Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei
sistemi naturali e sociali”, Bollati Boringhieri (2003)
Luciano Pietronero, “La scoperta dei frattali cosmici”,
http://www.auruncatellus.it/terzapaginavaccafrattali.htm