Ottavio Serra
Cosenza, giugno 2006
Curva ricorsiva di
Von Kock
A partire da un triangolo
equilatero (lato = 1),
si divide ogni lato in tre parti
uguali, si toglie la parte centrale e
su di essa si costruisce un triangolo
equilatero. Si itera il procedimento
n volte. Al limite, per n -> infinito,
il bordo del triangolo diventa la
curva (frattale) di Von Kock.
Si parte dal triangolo
equilatero
P0  3
1
S0 
3
4
Prima Iterazione
4
P1  3 
3
3
31
S1 
3
4
4 9
Seconda Iterazione
4 2
P2  3  ( )
3
3
1 4
S2 
(1   )
4
3 27
Terza Iterazione
4 3
P3  3  ( )
3
2
3 4 4 4
S3 
(  3  5)
4 3 3 3
Quarta Iterazione
4 4
P4  3  ( )
3
2
3


3  4 1 4  4   4  

S4 
         
4 
 3 3  9  9   9   

N-ma Iterazione
4
Pn  3   
3
n
2
3
n 1


3 4 1 4  4   4 

 4  
Sn 
          ...    
4 
3
3
9
9
9
9





  




Al limite, per n -> Infinito,
2
P   S  
3
5
L’area della parte di piano racchiusa
dalla curva è finita, mentre la sua
lunghezza è infinita.
Dimensione frattale
Si chiama dimensione di Haussdorf di una
figura il numero d tale che, posta uguale ad
1 la misura della figura, se lo spigolo della
figura è ridotta ad 1/n e la figura è
decomposta in m parti, si abbia:
1
1 m 
n
d
Log (m)
d
Log (n)
Figure usuali
Per esse la dimensione di Haussdorf è quella
solita.
a) Segmento. Diviso il segmento in n parti
(uguali), m = n, perciò d = 1.
b) Quadrato. Diviso il lato in 2 parti, il
quadrato è diviso in 4 (n, m = n^2), perciò
d = 2.
c) Cubo. d =3.
Curva di Von Kock
Se il lato del triangolo è diviso in tre
parti, esso viene sostituito da quattro
segmenti ognuno pari a 1/3 , perciò:
d
Log 4
1
1  4   d 
 1, 26
Log 3
3
In questo senso la curva di Von
Kock è frattale.