Frattali
curve con proprietà
“strane”
Caratteristiche dei
Frattali
• Sono delle curve che, da un punto di
vista matematico, hanno dimensionalità
differente da quella “dovuta”.
• Quelli più conosciuti e di cui vedremo
esempi sono “autosimili”.
• Molti si ottengono reiterando delle
operazioni geometriche o matematiche.
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Cosa significa “dimensione”
Intuitivamente tutti sappiamo che una retta ha dimensione
uno, un piano ha dimensione due, un volume tre. Questo
perché è necessaria una coordinata per individuare un
punto su una retta, due per individuarlo su un piano ecc.
Formalmente possiamo anche dire che la dimensione di
uno spazio è n se per dividere tale spazio possiamo usare
un ente di dimensione n - 1 (per dividere un piano, n = 2, si
utilizza una retta n = 1).
La dimensione così definita è detta EUCLIDEA
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Definizione alternativa di
“dimensione”
È però possibile definire la dimensione di un oggetto in
modo meno intuitivo quando si lavora con oggetti che non
seguono le regole della geometria euclidea.
In ogni caso la dimensionalità definita nel nuovo modo
dovrà coincidere con quella euclidea quando si analizzano
oggetti geometrici ordinari.
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Definizione alternativa di
“dimensione”
Il modo diverso di vedere la dimensionalità di uno spazio è
collegato ad un fatto che possiamo facilmente verificare:
• prendiamo una porzione di piano e, al suo interno,
tracciamo una linea anche curva;
• sottoponiamo la porzione di piano ad una dilatazione in
cui la direzione x e la y subiscono la stessa
trasformazione (x' = k x e y' = k y);
• a questo punto misuriamo la lunghezza della linea
trasformata: si scopre che la nuova lunghezza della linea
l’ e la vecchia l stanno nella relazione l' = k l mentre per
le aree vale S' = k2 S
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Definizione alternativa di
“dimensione”
Risulta evidente che l’esponente di k è collegato alla
dimensionalità dello spazio.
Se immaginiamo di fare la stessa operazione in uno
spazio tridimensionale troviamo che la lunghezza della
curva trasformata è proporzionale a k mentre il volume
trasformato è, questa volta, proporzionale a k3.
Sarà questa l’idea che conduce ad una formulazione
alternativa di dimensionalità di uno spazio dovuta ad
Hausdorff.
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Definizione alternativa di
“dimensione”
Hausdorff definisce un modo “diverso” per misurare la
dimensionalità di un oggetto:
egli cerca di mettere in relazione il numero di tasselli
necessari per un ricoprimento (in pratica le “piastrelle”
necessarie per ricoprire un certo spazio) con il fattore di
riduzione della lunghezza dell’unità di misura lineare.
In altre parole cerca il rapporto tra i tasselli necessari per il
ricoprimento e il numero di parti che si ricavano dalla
divisione dell’unità di lunghezza lineare
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Esempio di definizione
alternativa di “dimensione”
Vediamo come si applica il ragionamento di Hausdorff nel
caso di uno spazio unidimensionale (un segmento), uno
spazio cioè dove la dimensionalità euclidea vale 1.
se si divide un segmento in n parti
si ottengono m = n ricoprimenti del
segmento.
nell’esempio n = 3
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Esempio di definizione
alternativa di “dimensione”
Il ragionamento di Hausdorff nel caso di un piano (d = 2) è
il seguente:
se si divide un segmento in n parti
si ottengono m = n2 ricoprimenti
della superficie
nell’esempio n = 3
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Esempio di definizione
alternativa di “dimensione”
Analogamente in uno spazio a 3 dimensioni
se si divide l’unità di misura lineare
in n parti saranno necessari m = n 3
cubetti per ricoprire completamente
il volume
Quindi, in generale, si può dire che se si divide l’unità
di misura lineare in n parti si ottengono, a seconda
della dimensionalità dello spazio, m ricoprimenti (m
tasselli che ricoprono lo spazio) con
m=nd
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Definizione di
“dimensione di Hausdorff”
Quindi, in base a quanto detto finora, la dimensionalità
di Hausdorff (dH) si può definire in questo modo:
dH = log m / log n
dove m è il numero di tasselli necessari per un
ricoprimento che si ottiene dividendo per n l’unità di
misura lineare.
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Applicazione della definizione
di Hausdorff
Cerchiamo di applicare la definizione di dimensionalità
data da Hausdorff ad un oggetto che apparentemente
ha dimensione uguale a 1 ma che possiede delle
proprietà che le curve ordinarie non hanno:
la curva di Koch
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La curva di Koch
Sotto i primi tre passi della costruzione della curva
1) si parte con un segmento
di lunghezza .
2) al primo segmento si sostituiscono quattro segmenti
ciascuno di lunghezza /3,
disposti a triangolo.
3) si ripete lo stesso procedimento per ogni segmento
della curva, in teoria si può
reiterare all’infinito.
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Dimensione di Hausdorff
della curva di Koch
Per calcolare la dimensionalità di Hausdorff della
curva di Koch si deve applicare la formula
dH = log m / log n
con m = 4 e n = 3
dato che da un segmento di lunghezza  si passa ad
uno lungo /3 e che sono necessari 4 di questi
segmenti per ricoprire quello iniziale.
Perciò, per la curva di Koch, dH = log 4/log 3 ≈ 1.262
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Frattali
Negli anni ‘70 il matematico Mandelbrot riprende vari
studi di matematici come Peano e Cantor e coniuga,
per gli oggetti matematici che hanno dimensione di
Hausdorff diversa da quella euclidea, il termine di
“frattali” (dal latino fractus cioè rotto, frastagliato).
In sostanza la curva di Koch è un frattale.
Questi oggetti hanno proprietà “strane”: la curva di
Koch, p. es., può delimitare una zona di piano finita
anche se il suo perimetro diventa infinito. Inoltre è
“autosimile”, cioè una parte è simile all’intero.
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Frattali
passo 1
passo 2
passo 3
E’ evidente che applicando la costruzione di Koch ad un
triangolo si ottiene una curva il cui perimetro tende ad
infinito e che delimita una porzione di piano finita, infatti:
2p = 3 al primo passo, diventa 3(4/3) al secondo, 3(4/3)2
al terzo e così via e la succesione 1, 4/3, (4/3)2, …, (4/3)n è
divergente.
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Sierpinski gasket
Il Sierpinski gasket si ottiene, sempre per ricorsione,
partendo da un triangolo e formandone altri quattro
congiungendo i punti medi dei lati del primo.
A questo punto il triangolo centrale viene scartato.
Da un punto di vista euclideo d = 2 ma per Hausdorff ?
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Dimensionalità del
Sierpinski gasket
Nel caso del Sierpinski gasket dividendo per 2 il lato
(l’unità di misura lineare) si ottengono 3 tasselli (il quarto
viene scartato). La dimensionalità di Hausdorff è quindi
dH = log 3/log 2 ≈ 1.585
è un frattale, autosimile e, fra l’altro, ha la proprietà di
avere una superficie tendente a zero mentre il suo
perimetro resta costante.
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I frattali sono reali ?
E’ possibile estendere in 3 dimensioni il Sierpinski gasket
(un tetraedro all’interno del quale se ne costruiscono altri
quattro, si scarta lo spazio centrale, unendo tutti i punti
medi dei lati) e questo solido avrebbe dH = 2.
Questo tipo di struttura richiama le spugne o un qualche
reticolo cristallino.
Sotto i primi due passi del Sierpinski gasket in 3D.
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I frattali sono reali ?
•La curva di Koch si chiama anche “fiocco di neve”. La
somiglianza è evidente e l’autosimilitudine si può
mettere in relazione con l’aumento di risoluzione, come
quando osservando un oggetto al microscopio si
aumenta l’ingrandimento.
•Inoltre Mandelbrot trova che la lunghezza delle linee di
costa ha comportamenti simili alla curva di Koch,
aumenta al diminuire dell’unità di misura lineare.
quindi i frattali esistono
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Esempi di frattali reali
Cominciamo ad analizzare le caratteristiche delle linee di
costa che si prestano ad uno studio in termini di geometria
frattale; vediamo perché:
A) nel caso di una circonferenza, un
ingrandimento di un particolare,
non modifica sostanzialmente la
geometria e quindi la lunghezza
totale dell’oggetto non cambia.
B) nel caso di una linea di costa, un
ingrandimento, rivela particolari
non visibili e ciò comporta un
“allungamento” della lunghezza
complessiva (come nella curva di
Koch).
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Esempi di frattali reali
Vediamo ora alcuni esempi di frattali che sono legati a
fenomeni reali: la diffusione o percolazione.
Questa figura rappresenta la
simulazione della diffusione di
un gas in una camera o se
preferite la diffusione dell’acqua
in un materiale granuloso
(sabbia o caffè).
La diffusione parte dal punto
centrale e il gas (o l’acqua)
occupa i punti (siti) vicini in
modo casuale.
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Esempi di frattali reali
L’immagine rappresenta un fulmine che si sviluppa in
altezza dalle nuvole al suolo.
Qui ci troviamo di fronte alla
diffusione di una scarica
elettrica nell’atmosfera, non
particelle macroscopiche ma
ioni e su scala notevolmente
più grande rispetto alla
precedente.
La struttura ha comunque le
caratteristiche dei frattali in
termini di autosimilitudine.
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Esempi di frattali reali
Questa è un immagine delle Alpi (confine italo-austriaco)
ripresa da un satellite.
La somiglianza con le
figure precedenti risulta
evidente anche se, in
questo caso, non possiamo
fare riferimento a nessun
fenomeno di diffusione.
Anche in questo caso sono
evidenti le caratteristiche
frattali.
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Esempi di frattali reali
Ancora un immagine da satellite: un fiume con il suo
complesso di affluenti.
Di nuovo una struttura molto
ramificata in cui i particolari sono
simili alla struttura intera.
É evidente, anche in questo caso,
che la possibilità di analisi mediante
la geometria frattale è realizzabile.
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Esempi di frattali reali
La figura rappresenta l’andamento della velocità e dello
spazio in funzione del tempo per un oscillatore armonico
reale (smorzato).
4
3
2
1
spazio
velocità
0
0
180
360
540
720
-1
-2
-3
Le unità di misura
sono arbitrarie
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Esempi di frattali reali
In questa figura è invece rappresentata la traiettoria
descritta nello spazio delle fasi dallo stesso oscillatore (in
ascissa è rappresentato lo spazio, in ordinata la velocità).
3.5
2.5
1.5
0.5
-1
-0.5
-0.5
-1.5
-2.5
-3.5
0
0.5
1
È chiaro che la traiettoria (una
spirale) ha, a grandi linee, lo
stesso andamento anche se
non percorre mai esattamente
lo stesso percorso. Tenderà a
raggiungere il punto di quiete
nell’origine del sistema di
riferimento:
è un attrattore strano.
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Esempi di frattali reali
Anche questo è un attrattore strano: sembra che le
orbite tendano a stabilizzarsi ma ogni volta c’è una
differenza. La situazione è più complessa ma simile a
quella precedente.
La traiettoria rappresentata in figura
è ottenuta applicando ricorsivamente
delle trasformazioni delle coordinate
x e y.
Potrebbe essere la rappresentazione di un evento fisico nello spazio
delle fasi.
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Caos
Un altro settore dove si possono reperire oggetti che
possono essere analizzati per mezzo della geometria
dei frattali è quello del “caos”.
Si definiscono “caotiche” quelle situazioni in cui le
dinamiche sono governate da processi non lineari in cui
piccole variazioni di un parametro possono causare
grosse variazioni delle grandezze in gioco.
Vediamo un esempio concreto:
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Caos
Prendiamo in esame il problema dello sviluppo di una
popolazione al passare del tempo; si può immaginare
che il numero di individui ad un certo istante di tempo
dipenda:
• dalla popolazione all’istante precedente [ p(t-1) ] ;
• dalla velocità di riproduzione degli individui [ r ] ;
• dalla presenza di risorse (p. es. cibo) [ 1 - p(t-1) ] ;
è necessario precisare che la popolazione e le risorse
sono “normalizzate” (cioè 1 significa massimo numero di
elementi sostenibile dall’ambiente).
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Caos
Con le premesse precedenti possiamo scrivere che la
popolazione ad un certo istante è:
p(t) = r p(t - 1) [1 - p(t - 1)]
a questo punto è interessante analizzare cosa succede
alla popolazione quando cambia il parametro r (velocità di
riproduzione): fino a r = 1 la popolazione va a zero, da r >
1 a r = 2.9 la popolazione si assesta stabilmente attorno
ad un certo valore. Vediamo cosa accade per valori
maggiori...
32
Caos
33
Caos
•Per 3.6 < r < 4 la situazione resta caotica e per valori
superiori a 4 la popolazione va a zero.
•Si nota dai grafici che una minima variazione di r porta
da situazioni ordinate (2, 4 o 8 livelli di popolazione) a
una situazione caotica e imprevedibile.
•La situazione è in realtà ancor più complessa perché ci
sono valori intermedi del parametro r che portano a
situazioni ordinate e con minime variazioni (< di
qualche centesimo) a situazioni completamente
disordinate.
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Caos
Il grafico rappresenta i livelli di popolazione (ordinate) in
funzione di r (ascisse).
La zona evidenziata in giallo è simile
all’intera struttura
del grafico
 autosimilitudine
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Bibliografia
•Gleick; Caos - RCS Rizzoli Libri
•Mandelbrot; The fractal geometry of nature Freeman NY
•http://earth.jsc.nasa.gov/
•http://www-chaos.umd.edu/
•http://www.dst.unipi.it/