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Modelli Nucleari


Prendiamo in esame due nucleoni nel nucleo di coordinate spaziali r1 ed r2
rispettivamente, rispetto al centro del nucleo.
Una forma generale che si ammette per il potenziale di interazione ė della




forma:
V (r12, s1 s2 ) Vc (r12 ) VLS (r12 ) VT (r12 )
Invariante per :
•Traslazioni
•Inversioni spaziali
•Inversioni temporali
centrale
 
L S
tensoriale
Spin-orbita
Il calcolo delle proprietà nucleari richiede di risolvere una equazione di
Schroedinger con 3A variabili spaziali.
Modelli Nucleari
1. Modelli a forte interazione: il nucleo viene trattato come un insieme di
nucleoni fortemente accoppiati tra loro  effetti collettivi
2. Modelli a particelle indipendenti: ciascun nucleone e’ caratterizzato da
un moto indipendente, o quasi, da quello degli altri nucleoni.
Si introduce un campo di forze che rappresenta l’azione media di tutti
gli altri nucleoni.
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Modello a goccia
liquida
3
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Unificato
Ottico
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Modello a Shell o a Strati
Introduciamo un potenziale di interazione di campo medio:

V0 (ri )
allora

V0 (ri )
Interazione residua
e’ scelto in modo da rendere piccola l’interazione residua
Le soluzioni di particella singola possono essere
ottenute per ciascun nucleone.
La funzione d’onda del sistema sara’ data dal prodotto delle funzioni d’onda i
opportunamente antisimmetrizzate per tenere conto del principio di Pauli.
Le

ri
sono calcolate rispetto al c.m. del sistema.

V0 (ri ) dovra’ fornire soluzioni tali da essere compatibile con la distribuzione di
densita’ del nucleo prevista dalla forma stessa del potenziale.
Metodo di Hartree autoconsistente.
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Modello a Strati
Nota: se il potenziale dovesse dipendere dalla quantita’ di moto p, potrebbe dipendere
solo dalle sue potenze pari per la conservazione della parita’:


V (ri ) V00(ri )  pi2  .....
Limitandosi allo sviluppo al secondo ordine in p si ottiene un termine che puo’
essere conglobato in quello per l’energia cinetica:
m* e’ detta massa efficace e tiene conto della eventuale dipendenza del potenziale dalla
velocita’ della particella
Per i nuclei sferici inoltre il campo medio agente sui singoli nucleoni ha simmetria sferica

V0 (r ) V0 (r )
Si considerano forme di potenziale realistiche in cui I protoni ed I neutroni occupano
separatamente buche diverse, che tengono conto della repulsione Coulombiana agente tra
i protoni.
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Modello a Strati – Potenziale di Woods e Saxon
Due semplici approssimazioni possono essere considerate:
Potenziale a buca quadra
Potenziale di oscillatore armonico
Dai dati sperimentali si ha che:
Introduce
una
diversa
profondita’ della buca in
funzione dello stato occupato
Energia
simmetria
di
E’ piu’ attrattivo
per i neutroni
a = {R’ + 1.1.  0.2) fm
rappresenta il raggio nucleare
b = (1.2  0.1 ) fm
rappresenta lo spessore della corteccia superficiale

Maggiore estensione della distribuzione di carica
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Osservazioni sperimentali
J = 0+
per tutti i nuclei pari-pari
J dei nuclei con A dispari negli stati fondamentali dovranno essere
attribuibili all’orbitale occupato dall’ultima particella dispari.
 = (-1)l
eccezioni
O17
la parita’ e’ data dal momento angolare
dell’ultimo nucleone con poche
J = 5/2+
l =2
(1 d5/2)+
Si dovra’ inoltre rendere conto dell’esistenza dei numeri magici:
Z(N) = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Che dovranno corrispondere al numero di nucleoni che riempiono
completamente gli “strati” o “gusci” del modello a particella singola
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Risolviamo il caso di puro oscillatore armonico
Ponendo

k
m
l’equazione radiale
si ottengono soluzioni per gli autovalori, risolvendo
Enl = - V0 +   (N + 3/2)
Dove
N = 2(n-1) + l
L’energia dei livelli dipende solo da N, pari al numero quantico principale. I livelli sono
degeneri nel numero quantico orbitale l
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I livelli sono equispaziati
I primi numeri magici sono riprodotti; ma il modello fallisce per i livelli piu’ alti.
Il potenziale realistico di Woods e Saxon e’ maggiormente attrattivo ai bordi rispetto
al potenziale di oscillatore armonico  Gli stati reali ad alto l dovrebbero essere
maggiormente legati.
Varia la spaziature tra i livelli a diverso valore del momento angolare
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Interazione spin-orbita
Es: O17
Z=8
N=9
2s
o
n in eccesso oltre la shell O16
1d
- V l (l +1)
Considerando il valore dello spin
IL modello non privilegia uno dei due valori ma sperimentalmente I=5/2
Si introduce un potenziale
 
I= l  1/2
V (r )  L  S
ls
s(s+1)
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Spin - orbita
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La successione dei
livelli nel modello a
strati riproduce i
numeri magici
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16
17
18
19
20
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